信号与系统：第4章 周期信号的频域分析

1、 从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。 从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应, 而且可求得每个正弦分量通过系统后的变化。1. . 周期信号展开为傅里叶级数周期信号展开为傅里叶级数条件条件 周期信号f (t)应满足Dirichlet条件，即： (1) 在一个周期内绝对可积，即满足 (2) 在一个周期内只有有限个有限的不连续点； (3) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。注意：条件（1） 为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。 ttfTTd

2、)( 2/2/tnnnCtf0j=e )(ttfTCTTtnnde )(1 22 j0连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示为其中1n两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量2n的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量Nn的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量物理含义： 周期信号f (t)可以分解为不同频率虚指数信号之和 若 f (t)为实函数，则有nnCC利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为tnnntnnnCCCtf00j1j10ee)(tnntnnnCCC00jj10ee) e Re(20j10tnnnCC令令2jnnnbaC由于C0是

3、实的，所以 b0= 0，故200aC 2/2/0d)(2TTttfTa其中：)sincos(2)(1000nnntnbtnaatf2/2/0)1,2=( d)cos()(2TTnnttntfTa2/2/0)1,2=( d)sin()(2TTnnttntfTb100cos2)(nnntnAatf）（22nnnbaA nnnabarctg其中 a0/2称为信号的直流分量， An cos(n0 t + n) 称为信号的n次谐波分量。例1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的傅里叶级数展开式。解解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件， 必然存在傅里叶级数展开式。At)(tfT-T0)2(

4、Sa0nTAtATttfTCtnTTtnnde1de )(122j22j00因此， f (t)的指数形式傅里叶级数展开式为tj=00e )2(Sa nnnTAtnnnCtf0j=e )(T20例1 试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的傅里叶级数展开式。解解: At)(tfT-T0tnnTATAtfn001cos)2/(Sa)/2()/()(可得， f(t)的三角形式傅里叶级数展开式为)5cos513cos31(cos22)(000tttAAtf若 =T/2，则有 ) e Re(2)(0j10tnnnCCtf由 T20例例2 2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。t)(tf2-201

5、解解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在)dede(21de )(110j01j2/2/j000ttttttfTCtntnTTtnn)deedee(j2110j10j01j01j00000ttttntntntntn) 1(cos)(12nn20T例例2 2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。t)(tf2-201 tmmm0) 12( j=2e) 1(22 21tnnnCtf0j=e )(0, 2/1,)/(2) 1(cos)(122nnnnnCn为奇数周期三角脉冲信号的指数形式傅里叶级数展开式为20T例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。t)(

6、tf2-201 周期三角脉冲信号的三角形式傅里叶级数展开式为) e Re(2)(0j10tnnnCCtf由 tnmtfm01=2cos) 1(24 21)(ttt0202025cos2543cos94cos42120T 求 Cn 。 )4cos(3)(0ttf)4( j)4( j00ee213tttt00j4 jj4 jee23ee234 j14 j1e23,e23CC1, 0nCn)4cos(3)(0ttf根据指数形式傅里叶级数的定义可得nnCtfCtf2211)( , )( 若nnCaCatfatfa22112211)()( 则有 )( nCtf若ntnCtt f00j0e)( 则有若 f

7、1(t) 和 f2(t) 均是周期为T0的周期信号，且 nnCtfCtf2211)( , )(nnCCTtftf21021)(*)( 则有 )( nCtf若nCnt f0j)( 则有| nnCC则nn若 f(t) 为实信号纵轴对称信号纵轴对称信号 f (t) = f (t)2/002/2/0d)cos()( 4d)cos()(2TTTnttntfTttntfTa0d)sin()(22/2/0TTnttntfTb 纵轴对称周期信号其傅里叶级数展开式中只含有直流项与余弦项。原点对称信号原点对称信号 f (t) = f (t) 原点对称周期信号其傅里叶级数展开式中只含有正弦项。0d)cos()(22

8、/2/0TTnttntfTa2/002/2/0d)sin()( 4d)sin()(2TTTnttntfTttntfTb半波重迭信号半波重迭信号 f (t) = f (tT/2) 半波重叠周期信号只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。T/2T/2f(t)t半波镜像信号半波镜像信号 半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。t)(tfT/2T0 ：某些信号某些信号波形经上下或左右平移后，波形经上下或左右平移后，才呈现出某种才呈现出某种)(tf0TT2T3TT2T3A)(tf0TT2T3TT2T32/A去掉直流分量后， 信号呈奇对称，只含有正弦各次谐波分量。 因此该信号含有正弦各次谐波分量，直流分量。求图示周期信号f(t)的傅里叶级