第十三章能量方法

1、13能量方法能量方法一、概一、概 述述几何法：应 力应 变变 形外 力物理方程平衡方程几何方程（变形协调方程）1313能量法出发点：能量守恒与转换原理。弹性体承载时，加力点发生位移荷载做功，W弹性体变形储存变形能（应变能）， U略去在该过程中的微量能量损耗，则由能量守恒与转换原理，得：外力功 = 变形能 W = U由能量的观点出发建立荷载与变形间关系的方法称为能量方法。13二、变形能的计算二、变形能的计算1.1.轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩PABLL静载：荷载：0P缓慢加力点B的位移：B= L0L缓慢13变力做功：PABLL)()(ldLlPdWLldLlPW0)(LP21此处为线弹性材料。1

2、3对于线弹性材料，变形能为：PWU21EALN221LLEA2)(21用外力功表示用“内力”表示用“变形”表示13LlpPpO（1）弹性应变只与力或位移的终值有关，与加载过程和次序无关。PLdwd(l)2113（2）在杆长范围内N、A不是常数时，一般的，有：lxEAdxxNU)(2)(2（3）单位体积的变形能称为比能：210*duVudVU13（4）变形能不能叠加。从数学观点看：U不是P或者L的线性函数，所以不能叠加。从力学观点看：例：P1LL1EAEALPU21121P2LL2EAEALPU2222113P=P1+P2LL=L1+L2EAEALPU2211321212121222122122

3、121)(2121UUEALPPUUEALPPEALPEALPEALPPEALPU所以，变形能不能叠加。13EALPPEALPPEALPP122121212121212121LPEALPP加载过程中P1在P2产生的位移上做的功12122121LPEALPP加载过程中P2在P1产生的位移上做的功13变形能不能叠加的力学本质：13一种荷载在另一种荷载引起的位移上做了功。2.2.扭转变形能扭转变形能对于线弹性材料，变形能为：100211MTdWU用外力功表示PGILT221用“内力”表示LGIP2121用“变形”表示TOT1113M0L同样，对于一般情况，有：lPxGIdxxTU)()(21213V

4、udvU21u3.3.弯曲变形能弯曲变形能13MOM（1）纯弯曲MML13对于线弹性材料，变形能为：MWU21用外力功表示LEI221用“变形”表示EILMU221 用“内力”表示EIMLLL （2）横力弯曲M(x)dx总变形能=剪切变形能+弯曲变形能13EIdxxMdU2)(2一般情况下剪切变形能很小，可以忽略不计：U 弯曲变形能 .LEIdxxMU2)(213综合轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲变形，一般地，有：P21UU广义力 广义位移U可表成P的二次函数或的二次函数 ，这也揭示了应变能不能叠加。13如果构件上有二种荷载，但其中任一种荷载在另一种荷载产生的位移上不做功，则这两种荷载单独作用时

5、产生的变形能之和等于共同作用时产生的变形能。注意：13如图，无刚性位移的线弹性结构体，承受荷载P1、P2、P3 设想采用比例加载：P1、P2、P3缓慢的按相同的比例增加，弹性体始终保持平衡，而且各外力作用点的位移1、2、3也将按与外力相同的比例增加。P1P2P31234.4.变形能的普遍表达形式变形能的普遍表达形式332211212121PPPWU于是得到用“外力功”表示的变形能的普遍表达式：13注意：式中1、2、3为所有外力P1、P2、P3共同作用引起的位移。 （即：克拉贝依隆原理）13MdxNTMNTEAdxNGIdxTEIdxMdUP222222杆件组合变形的应变能杆件组合变形的应变能1

6、3LLPLEAdxNGIdxTEIdxMU222222这就是用“内力”表示的变形能的普遍表达式注意：式中M、T、N为所有外力P1、P2、P3共同作用引起的内力。例例1 1 求图示简支梁中点的挠度 fC解：CPfW21)20( 2)(LxxPxM2022022)2(222LLEIxPEIdxMUEILP963213PEIL/2L/213UW EILPPfC9621 32EIPLfC48 3正号表示正号表示 fC 的方向与外力的方向与外力P的指向相同。的指向相同。三、互等定理三、互等定理以梁为例推导：记号：iFi：“力”的作用位置荷载：位移：ijfi：位移发生的位置j：位移发生的原因， 点的“力”

7、引起的j1F1211f21f2F1212f22f13现在梁上1、2两点加荷载 、 ，采用两种不同方式加:1F2F第一种加载方案：1、2两点同时加 、1F2F由叠加原理，1点总的位移为：1211ff2221ff2点总的位移为：)(21)(21222121211111ffFffFWU1211ff1F122F2221ff13第二种加载方案：先加 ，然后再加1F2F121222111222121fFfFfFWU先加 ， 做功为：11121fF1F1F再加 ， 做功为：22221fF2F2F在加 的过程中 做功为： 121fF2F1F1311f1F122F22f12f13线弹性结构，应变能只与力的终值有

8、关，与加载方式无关。21 UU即：12122211122212121112121)(21)(21fFfFfFffFffF121212 fFfF功的互等定理F2 在 F1 引起的位移上所做的功= F1 在 F2 引起的位移上所做的功当 F1 和 F2 在数值上相等时，由功的互等定理可得到：1221ff位移互等定理第1点的荷载引起的第2点的位移在第2点作用同样大小的荷载引起的第1点的位移13注意：（1）互等定理成立的条件：（2）ijf广义位移iF广义力ijf线位移iF集中力iF集中力偶ijf角位移线弹性、小变形、叠加原理成立。1312122F1M1221f212121fFM功互等当 M1 与 F2

9、 数值上相等时：2112f位移互等（数值上相等）13212121MM功互等当 M1 与 M2 在数值上相等时：2112位移互等（数值上相等）1M122112122M13四、卡氏第二定理四、卡氏第二定理),(21nCCPPPUUnnCCCCdPPUdPPUdPPUdU2211iiCCdPPUdU当仅有 有增量 ，其余荷载不发生变化时：iPidP（即每个荷载是独立变化的。）另一方面，因为 ，余功的增量为：idPCiiCdUdPdWiiCiidPPUdP 13iCiPU 余能定理对于线弹性结构：CUU 13所以对于线弹性结构，有：iiPU卡氏第二定理卡氏第二定理：对于线弹性体，应变能对某一外力的偏导

10、数，等于与此外力相应的位移。13（1）卡氏第二定理只能用于线弹性结构。（2）“相应”的意义：为集中力，则 为与之同方向的线位移。iPi为集中力偶，则 为与之同转向的角位移。iPiiPi与 位置相同。（3）应变能应写成外力的函数。13卡氏第二定理的具体应用：卡氏第二定理的具体应用：（1）梁lEIdxMU22lliiliiidxEIMPMdxEIMPEIdxMPPU)2(222（2）桁架njjjjEAlNU122（ n根杆）njjjjijiiEAlNPNPU113（3）轴lPGIdxTU22lPiiidxGITPTPU（4）一般地lPllGIdxTEAdxNEIdxMU222222lPililii

11、idxGITPTdxEANPNdxEIMPMPU13例例3 3 图示简支梁，求中点C的挠度。解：)20( 2)(lxxPxM2xPMPEIl/2l/213EIPlxEIPdxEIPxxdxEIMPMflllC4832 222 32/032/00正号表示正号表示 fC 的方向与的方向与P的指向一致。的指向一致。13例例4 4 图示悬臂梁，求B截面的转角 。BlPEI在 B 截面加一与 “相应”的假想外力MBB解：因为在 B 截面没有与 相应的外力，所以要进行处理。13xPEIM 1MM)()(MxlPxMEIPldxEIxlPdxEIMxlPdxEIMMMlMllMB2)( )( 200000（

12、顺时针）13（1）负号表示 的转向与 M 的转向相反。B（2）要求某点的“位移”，则必须在该点有与之相应的“力”，若没有，则必须在该处加上假想的附加“力”，求导后再令其为零。注意：注意：13例例5 5 图示悬臂梁，求C截面的挠度 fC 。P=P2EIl/2l/2P=P1BACxylxlxlPlxxlPxlPxM2 )(20 )2()()(212解：13lxlxllxxlPM2 )(20 )(2EIPldxEIxlPdxEIxlPxlPxldxEIMPMfllllPPPC167)( )2()()( 322200221（向下）13例例6 6 图示结构，求 A、B 两点的相对位移。PEI2aaPDC

13、BAx1x2x3axPxxMaxPaxMaxPxxM333221110 )(20 )(0 )(解：1311xPMaPM233xPMEIPadxEIPxdxEIPadxEIPxdxEIMPMdxEIMPMdxEIMPMaaaaaaAB38 3032320220121033320222011113五、虚功原理五、虚功原理1.1.虚位移虚位移虚位移虚位移约束所允许的微小位移。0*v0*v)(*xv1*v2*v1F2F13（1）与结构上的荷载完全无关的原因导致的位移（如别的荷载、温度变化、纯假想原因）。（2）微小，并且符合约束条件。注意：注意：132.2.虚功原理虚功原理 对于处于平衡状态的弹性体，从

14、平衡位置令其有一微小的虚位移，则作用在弹性体上的外力在虚位移上所作的功，等于弹性体内力在相应的虚位移上所做的功。前者称为外力虚功 ，后者称为内力虚功 。extWintW即： intextWW 弹性体平衡弹性体平衡13 另一方面，如果弹性体上的外力和内力在各自的虚位移上所作的功相等，则弹性体处于平衡状态，即：intextWW 弹性体平衡弹性体平衡综合上述两方面，即为弹性体的虚功原理虚功原理： 弹性体平衡的充分必要条件是，外力虚功等于内力虚功，即：intextWW 弹性体平衡弹性体平衡13必要条件的简单证明，即证：intextWW 弹性体平衡弹性体平衡以梁为例：（1）设图所示梁发生虚位移 ，可得：

15、)(*xv)(*22*11lextdxxqvvFvFW0*v0*v)(*xv1*v2*v1F2F)(xq13（2）设想：将处于平衡状态的梁分成无数个长度为dx的微段，考察其中任一微段，如图所示：)(*xv（刚体虚位移）MdxCq(x)NNM变形前C变形后)(*ld *d)(*d)(*d（虚 变 形）13小微段上的虚位移可分解为：刚体虚位移（形心位移）和虚变形。质点虚功原理：处于平衡状态下的力系在刚体虚位移上的虚功之和等于0。小微段上的虚功仅为力系在虚变形上做的功。*)(TdQdMdlNddW所有微段上的虚功之和即为总的虚功。llllTdQdMdlNdW*)(intextWWW六、余六、余 能能

16、（补充）（补充）13定义：余功P0*)( pdWClp*PpWCOdp*W余功无物理意义PCWW13定义：余能P0*)( pdWUCCP0*)(duC对于线弹性材料，显然有：CUU 数值相同，概念不同一般地，应变能总能表为位移的函数，余能总能表为荷载的函数。131.1.卡氏第一定理（应变能法）卡氏第一定理（应变能法）),(21nUUnndUdUdUdU2211当仅 发生微小增量 ，其余位移无增量时：iidiidUdU13另一方面，当仅 发生增量 时， 将做功，从而导致应变能发生增量：iidiFiidPdU（常力做功）iiiidUdP iiUP 13卡氏第一定理：弹性结构的应变能对某一位移的偏导

17、数，等于与此位移相应的外力。（1）卡氏第一定理既适用于线性弹性，也适用于非线性弹性。（2）“相应”的意义：为集中力，则 为与之同方向的线位移。iPi为集中力偶，则 为与之同转向的角位移。iPiiPi与 位置相同。13例例2 2 图示结构，AB杆与BC杆的横截面积均为A应力-应变关系为：B试求AB杆和BC杆的轴力。解：节点B有两个未知位移：水平位移：1垂直位移：2计算应变能：CBAPL4512B13也即，将应变能表为位移的函数：1ABl122222BClBABD1C4521BBBClDE13LLllBCBCBC2)(2)(2212122312300)(3232LBBdBduABABABAB231

18、2230)2(3232LBBduBCBCBCLllABABAB1均匀变形：13LALBALLBLAuALuVuVuUBCABBCBCABAB2)2(32)(32 2 2312231由卡氏第一定理：0)(22211221111LABUPPLABUP211222)(213联立以上两式，求解可得：2221BALP22225BALP2221BAPLAB（拉伸）2221222)(BAPLBC（压缩）13APBABAB（拉）APBBCBC2（压）PANABAB（拉）PANBCBC2（压）13七、单位力法七、单位力法（1）建立单位力系统：欲求结构上某点沿某方向的位移，就在该点沿该方向加相应的单位力，作为单位

19、力系统。“相应”：线位移集中力 角位移集中力偶。对应的单位力系统ABaa1求图示结构B点沿a-a方向的线位移ABaa13（2）将原荷载系统的位移（变形）作为单位力系统的虚位移。显然满足： 原荷载系统的变形与单位力系统的力完全无关。 微小且符合约束条件。（3）运用虚功原理：BextW 113llllintdTdQdMldNW*)(llllBdTdQdMldN*)( )()()()(xTxMxQxN，其中为单位力系统对应的内力。注意：上式既适用于线性系统，也适用于非线性系统。13对于线性结构：EAdxxNld)()(*GAdxxQds)(*EIdxxMd)(*PGIdxxTd)(*lPllslBG

20、IdxxTxTEIdxxMxMGAdxxQxQEAdxxNxN)()()()()()()()( 莫尔积分法13桁架lBEAdxxNxN)()(轴lPBGIdxxTxT)()(梁以弯曲变形为主，可略去轴力、剪力、扭矩的影响lBEIdxxMxM)()(TMQN、上式中为实际荷载引起的内力；s是个大于1的系数，是切应力实际上不均匀并与截面形状有关的修正系数。13例例7 7 求图示结构C点的竖直位移。aqEIaABCDEAaEIx3x2x111112qax3x2qa2qax1q（1）建立单位力系统如图。解解：（2）建立坐标系如图。荷载系统与单位力系统坐标系要一致。13（3）求内力。荷载系统：荷载系统：

21、2)(211qxxM222)(xqaxM2)(3qaxNx3x2qa2qax12qaqx3x2x1111113单位力系统：单位力系统：1)(3xN11)(xxM22)(xxM单位力系统与荷载系统的内力符号规定必须一致。13（4）利用单位力法求C点的竖直位移。EAqaEIqadxEAqadxEIqaxdxEIqxEAdxxNxNEIdxxMxMEIdxxMxMfaaalllC22472122)()()()()()(240302220131333222111321 符号为正表明 的指向与单位力 的指向相同。CfCf1F13lAEI2qlqBxABx1解解：（1）建立单位力系统和坐标系：例例8 8

22、求图示结构 A 截面的转角 。A无论实际结构中A点有无与 相应的外力，都必须建立单位力系统。A（2）求内力：2)(1)(22qxqlxMxM13（3）求 ：AEIqlEIqlEIqldxEIqxqlEIdxxMxMllA6762)()(3330220 前的负号表示 的转向与单位力 的转向相反。AA1M13八、计算莫尔积分的图乘法八、计算莫尔积分的图乘法梁、刚架等线性结构，单位力法主要是计算莫尔积分：EIdxxMxM)()(EAdxxNxN)()(PGIdxxTxT)()(对于最常见的均质等直杆，EI为常数，可以提取到积分号的外面，莫尔积分变为：dxxMxM)()(13图乘法图乘法：将积分图形相

23、乘。出发点：直杆在单位力作用下的内力图必定是直线段或者折线段。dxxMxM)()(的计算转化为考察任一梁段AB，其上由荷载引起的弯矩 可为任意图形，而由单位力引起的弯矩 为斜直线。)(xM)(xMOxy)(xMABOxy)(xMAB13建立坐标系：以 与 x 轴的交点O为坐标原点，设 与 x轴的夹角为 。)(xM)(xM)()()()()()(CCClllxMtgxxtgdxxxMtgdxtgxxMdxxMxMtgxxM Oxy)(CxMABOxyMdxABdx)(xMxxCl13Oxy)(CxMABOxyMdxABdx)(xMxxCldxxM)(阴影部分面积dxxMx)(阴 影 部 分 面积

24、对 y 轴之矩ldxxxM)()(xM图对 y 轴之静矩Cxtg)(xM图上对应 xC 的值)(xM图的面积Cx)(xM图形心的横坐标)(CxMCxCM)(xM图上对应的值，简记为CMdxxMxM)()(13例例9 9 求图示悬臂梁在自由端的挠度。BA1BlAEIF解解：（1）建立单位力系统：（2）作荷载系统和单位力系统的弯矩图：l3lCxFl图M图MlCMl3lCxFl图M图MlCM（3）计算 、 、 ：CMCxlFl 213lxClM32CEIFllFlEIMEIfCA3)32)(2(1132“正号”表明 的指向与单位力 的指向相同。Af1F13例例10 10 求图示外伸梁 A 截面的转角。FAEIBCal解解：（1）建立单位力系统：1（2）作 、 图：)(xM)(xM1l31l211231C2C3CFa图M图M2CM3CM1CM281ql13（3）图乘求 ：A)321(24)322112121832(1)(1)()(1232332211alEIFaEIqllFaaFalqlEIMMMEIdxxMxMEICCClA 与 引起的弯矩图分开画，易于确定各图形的面积和形心位置。Fq 与 在基线同一侧时， 为正，在基线异侧时， 为负。MMCM CM 1l31l211231C2C