马尔科夫链模型

1、马尔马尔柯夫柯夫链模型链模型张俊丽张俊丽2马尔马尔柯夫柯夫预测预测法法 马尔柯夫（Markov）法是以俄国数学家 A A Markov名字命名的一种方法.它将时间序列看作一个随机过程，通过对事物不同状态的初步概率和状态之间转移概率的研究，确定状态变化趋势，以预测事物的未来，马尔可夫法和博克斯一詹金斯法都是随机时间序列分析法。3 马尔柯夫过程就是时间转移和状态转移的过程。马尔柯夫链是马尔柯夫过程的一种特殊情况。马尔柯夫过程所研究的时间是无限的，是连续变量，其数值是连续不断的，相邻两个值之间可作无限分割。马尔柯夫过程所研究的状态也是无效的。而马尔柯夫链的时间参数取离散数值如日、月、季、年，其状况是

2、有限的只有可到个状态 马尔柯夫链表明事物的状态由过去转变到现在，马尔柯夫链表明事物的状态由过去转变到现在，由现在转变到将来，一环接一环，象一根链条。其由现在转变到将来，一环接一环，象一根链条。其特点是特点是“无后效应性无后效应性”1 1、马尔、马尔柯夫柯夫链模型简介链模型简介 设考察对象为一系统，若该系统在某一时刻可能出现的事件集合为 ，且 两两互斥，则称 为状态。称该系统从一种状态 到另一状态 的过程为状态转移，并把整个系统不断实现状态转移的过程称为马尔柯夫过程。12,.,NE EE12,.,NE EEiE(1,2,.,)iNiEjE 马尔柯夫链：（1）无后效性，即系统的第n次试验结果出现的

3、状态，只与第n-1时系统所处的状态有关，而与它以前所处的状态无关；（2）具有稳定性，该过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。概率向量： 向量 称为概率向量，如果 满足：概率矩阵： 如果方阵P的每行都为概率向量，则称此方阵为概率矩阵。u10,1,2,.,1jnjjujnu= 12( ,.)nuu uu=转移矩阵： 系统由状态 经过一次转移到状态 的概率记为 ，称矩阵为一次（一步）转移矩阵。iEjEijP转移矩阵的性质： （1） （2） 其中 为 次转移矩阵。( )kPk111211111111111111 PPPPPPPPPP轾犏犏犏=犏犏犏犏臌( )(1)kkPPP-=( )kkPP= 正规

4、概率矩阵： 对概率矩阵 ，若幂次方 的所有元素皆为正数，则称矩阵 为正规概率矩阵 。 定理： 正规概率矩阵 幂次方 趋近于某一方阵 ， 的每一行均为同一概率向量 ，且满足 。PmPP(2)m P23,.P PPTTttPt= 马尔可夫链模型： 设系统在 时所处的初始状态 为已知的，经过 次转移后所处的状态向量 则 此式即为马尔可夫预测模型。 0k =(0)(0)(0)(0)12(,.,)NSSSS=k( )( )( )( )12(,.,)kkkkNSSSS=(1,2,.)k 111211111111( )(0)111111 kPPPPPPSSPPP轾犏犏犏=犏犏犏犏臌2 2、市场占有率预测、市

5、场占有率预测 例 设有甲乙丙三家企业，生产同一种产品，共同供应1000家用户，各用户在各企业间自由选购，但不超出这三家企业，也无新用户。假定在10月末经过市场调查得知，甲乙丙三家企业拥有的客户分别是250户，300户，450户，而11月份用户可能的流动情况如下：从 到甲乙丙甲2301010250乙2025030300丙30104104502802704501000 问题： 假定该产品用户的流动按上述方向继续变化下去（转移矩阵不变），预测12月份三家企业市场用户各自的拥有量，并计算经过一段时间后，三家企业在稳定状态下该种产品的市场占有率。问题分析与求解第一步：确定初始状态概率向量，这里(0)(0

6、)(0)(0)123(,)250300450 (,)1000 1000 1000 (0.25,0.3,0.45)SSSS= 第二步：确定一次转移概率矩阵。此例由用户可能流动情况调查表可知，一次转移概率矩阵为： 矩阵中每一行的元素，代表着各企业保持和失去用户的概率。2301010 2502502500.92 0.04 0.042025030 0.067 0.833 0067 0.022 0.9113010410 450450450P轾犏犏轾犏犏犏犏=犏犏犏犏犏臌犏犏臌 第三步：利用马尔科夫链模型进行预测。显然，12月份三家企业市场占有率为 12月份三个企业市场用户拥有量

7、分别为： 甲： 户 乙： 户 丙： 户 (2)(2)(2)(2)123(0)22(,) 0.92 0.04 0.04 (0.25 0.3 0.45) 0.067 0.833 0.10.067 0.022 0.911 (0.306 0.246 0.448)SSSSSP=轾犏犏=犏犏臌=1000 0.306306=10000.246246=10000.448448= 现在假定该产品用户的流动情况按上述方向继续变化下去，我们来求三个企业的该种产品市场占有的稳定状态概率。 易证 为正规矩阵，设 令 ，则 解得 ，故 P( , ,1)tx yxy=-tPt=0.92 0.04 0.04( , ,1) 0

8、.067 0.833 0.1( , ,1)0.067 0.022 0.911x yxyx yxy轾犏犏-=-犏犏臌0.4558,0.1598xy=( , ,1)(0.4558,0.1598,0.3844)x yxy-=163、项目选址预测、项目选址预测 某汽车维修公司在合肥有A、B和C3个维修厂。由于公司注重对员工技术的提高，树立顾客至上、信誉第一的理念,采用先进的管理模式。 由于资金的原因，公司目前打算只对其中的一个维修厂进行改造，并扩大规模。试分析应选择哪一个维修厂。176 . 02 . 02 . 08 . 002 . 002 . 08 . 0丙乙甲p公司在本行业具有良好的形象，形成了一定规模的、稳定的客户群。的客户的调查显示，客户在A、B和C3个维修厂之间的转移概率为： 易证 为正规矩阵