讲-一维势场例子

1、1量子力学量子力学光电子科学与工程学院光电子科学与工程学院刘劲松刘劲松第四讲第四讲一维无限深方势阱中的粒子一维无限深方势阱中的粒子态叠加原理态叠加原理方势垒的反射与透射方势垒的反射与透射一维谐振子一维谐振子2第四讲目录第四讲目录O、能量本征方程回顾能量本征方程回顾一、一、一维无限深方势阱中的能量本征态一维无限深方势阱中的能量本征态二、二、态叠加原理态叠加原理三、三、方势垒的反射与透射方势垒的反射与透射四、四、一维谐振子一维谐振子五、五、正交、归一、完备系正交、归一、完备系3能量本征方程回顾（1）薛定格方程若 不显含 ，则其中， 满足的方程称为能量本征方程 ， 称为能量本征函数， 称为能量本征值

2、),(),(2),(22trtrVmtrti),(trVt)/exp()(),(iEtrtrE)()()(222rErrVmEE)(rE)(rEE4能量本征方程回顾（2）能量本征方程是薛定格方程在 不显含t时的形式，是我们后面讨论大多数问题的理论基础。通常将略去 中的下标E，这样能量本征方程为),(),(2),(22trtrVmtrti),(trV)()()(222rErrVmEE)(rE22( ) ( )( )2V rrErm 5一、一维无限深方势阱中的能量本征态一、一维无限深方势阱中的能量本征态(1) 1、势函数如果在 ，由能量本征方程， 有其解为 ，其中由边界条件 和 ，有 和 ，波函数

3、为., 0,;0, 0)()(axxaxxVrV)(xVxa0ax 00)(2)(222xmExdxd)sin()(kxAx/2mEk 0)0(0)(a00)sin(ka)sin()()(xanAxxnnka , 3 , 2 , 1 n)0(ax 22( ) ( )( )2V rrErm 6一、一维无限深方势阱中的能量本征态一、一维无限深方势阱中的能量本征态(2)2、能量量子化由 ， 和得到 ，这说明，一维无限深方势阱中的粒子的能量是量子化量子化的。 称为体系的能量本征值，与 对应的波函数 称为能量本征函数。 nka , 3 , 2 , 1 n/2mEk 22222manEEn, 3 , 2

4、, 1 nnEnEn7一、一维无限深方势阱中的能量本征态一、一维无限深方势阱中的能量本征态(3)3、归一化波函数、归一化波函数将波函数将波函数 进行归一化：进行归一化：即令即令 ，得到，得到归一化波函数为归一化波函数为)sin()(xanAxn)0(ax 1| )(|20dxxnaaA/2| , 3 , 2 , 1., 0, 0;0),sin(2)(naxxaxaxnaxn8一、一维无限深方势阱中的能量本征态一、一维无限深方势阱中的能量本征态(4)4、讨论、讨论最低能量最低能量经典粒子，可以有经典粒子，可以有一维无限深方势阱中的粒子一维无限深方势阱中的粒子 ，由，由测不准关系测不准关系 ，得到

5、得到022221maE0Eax px0/ap9一、一维无限深方势阱中的能量本征态一、一维无限深方势阱中的能量本征态(5)在在 内，内， 有有 个节个节点点 ，在这些节点上，在这些节点上 ，说明粒子在这些节点，说明粒子在这些节点上出现的概率为零。对于经典粒子来说，上出现的概率为零。对于经典粒子来说，它在它在 内任何一点都有可能出现。内任何一点都有可能出现。( )sin()nnxAxa1nnx()sin()0nnnnxAxaax 0ax 010一、一维无限深方势阱中的能量本征态一、一维无限深方势阱中的能量本征态(6)对一维无限深方势对一维无限深方势阱中的粒子来说阱中的粒子来说:这说明粒子被束缚在势

6、阱内部。通常把这说明粒子被束缚在势阱内部。通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态在无限远处为零的波函数所描写的状态称为称为束缚态束缚态。一般来说，束缚态所属的。一般来说，束缚态所属的能级是分立的，即能级是分立的，即., 0, 0;0),sin(2)(axxaxaxnaxn22222manEEn, 3 , 2 , 1 n22|( )|0,0,|( )|0(nnxxxaxxa除个别节点外）11二、态叠加原理（二、态叠加原理（1） 量子力学的基本假设为量子力学的基本假设为1、微观粒子的状态由波函数、微观粒子的状态由波函数 描写。描写。2、波函数的模方、波函数的模方 表示表示 t 时刻粒子出现时刻粒

7、子出现在空间点在空间点(x,y,z)的概率。的概率。3、力学量用算符表示。、力学量用算符表示。4、波函数的运动满足薛定格方程。、波函数的运动满足薛定格方程。5、态叠加原理态叠加原理。),(tr2| ),(|tr12二、态叠加原理（二、态叠加原理（2）粒子在势阱中可能的态和能量为粒子在势阱中可能的态和能量为但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中但一般情况下，粒子并不只是完全处于其中的某一状态，而是以某种概率处于其中的某的某一状态，而是以某种概率处于其中的某一状态。换句话说，粒子的状态是所有这些一状态。换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即分立状态的叠加，即2sin(), 0;( )1,

8、2,3,0,0,.nn xxaxnaaxxa22222manEEn)()(xcxnnn13二、态叠加原理（二、态叠加原理（3） 粒子的状态为，粒子的状态为， 其中，其中，更加抽象地说，任何一个量子态都可按任意更加抽象地说，任何一个量子态都可按任意一组一组正交、归一、完备正交、归一、完备态分解态分解 。 , 3 , 2 , 1., 0, 0;0),sin(2)(naxxaxaxnaxn22222manEEn)()(xcxnnn的概率能量具有中发现粒子处于态表示在态nnnExxc),()(|2nnnc14量子力学的基本假设量子力学的基本假设1、量子态由波函数描写。、量子态由波函数描写。2、波函数的

9、模方代表概率，即具有统计解释。、波函数的模方代表概率，即具有统计解释。3、力学量用算符表示。、力学量用算符表示。4、波函数的运动满足薛定格方程。、波函数的运动满足薛定格方程。5、态叠加原理：量子态可按任意一组正交、态叠加原理：量子态可按任意一组正交、归一、完备态分解归一、完备态分解。 15三三、方势垒的反射与透射方势垒的反射与透射(1)经典粒子经典粒子 微观粒子微观粒子01221VhgmgmhmvEh1h0VE ., 0, 0;0,)(0axxaxVxVEa00V)()()(222rErrVm出发点，能量本征方程16三三、方势垒的反射与透射方势垒的反射与透射(2)其解为其解为粒子流密度粒子流密

10、度反射系数反射系数 ，透射系数，透射系数0)(, 0 xVaxx，有在mEkxEmxdxd20)(2)(222，设故有.,0,Re)()(axTexexxikxikxikx透反入外ikxTeikxeikxRea00Vmvkpmitrj以及)(2),(*vmkj/入vj2|R| 反vTj2| 透2|R|/入反jj2|T|/入透jj)()()(222rErrVm方程17三三、方势垒的反射与透射方势垒的反射与透射(3)解解故有，在,)(00VxVax0)(20222EVmdxd/)(20EVmxxBeAexx)()(内ikxeikxRea00VikxTe)0()0(内外)()(aa内外)0()0(内

11、外dxddxd)()(adxdadxd内外BAR1BARik/ )1 (ikaaaTeBeAeikaaaTeikBeAe)()()(222rErrVm能量本征方程18三三、方势垒的反射与透射方势垒的反射与透射(4)解代数方程，得到解代数方程，得到势垒贯穿势垒贯穿隧穿效应隧穿效应aikeikTA)()1 (2aikeikTB)()1 (22222222224)()(|kashkashkR1|22 TR222222224)(4|kashkkTikxTeikxikxe Re0Va0入射波反射波透射波19三三、方势垒的反射与透射方势垒的反射与透射(5)电子的势垒贯穿电子的势垒贯穿 1 2 5 10当势

12、垒宽度为原子限度时，透射相当可观当势垒宽度为原子限度时，透射相当可观kgm31101 . 9Js34101 . 1JEV190108)10A(10oma2|T1 . 02102 . 15107 .110100 . 3ikxeikxRea00V20四、四、 一维谐振子一维谐振子(1)1、能量本征方程、能量本征方程简谐运动：体系在平衡位置附件的微小振动简谐运动：体系在平衡位置附件的微小振动一维谐振子：粒子一维情况下的简谐运动，同时一维谐振子：粒子一维情况下的简谐运动，同时粒子的势能可以表示为粒子的势能可以表示为例如，双原子分子中两原子之间的势能例如，双原子分子中两原子之间的势能 一维谐振子的能量本

13、征方程一维谐振子的能量本征方程 2)(2KxxV2)()(20axKVxVa)(xV0 x0)()21(2)(2222xEKxmxdxd，令mK，mx)/(21E0)(222dd得到21四、一维谐振子四、一维谐振子(2)2、能量本征方程的解、能量本征方程的解当当 时，时， 有有 其解其解能量本征方程的解可表示为能量本征方程的解可表示为其中，其中， 为待求函数，代入能量本征方程，有为待求函数，代入能量本征方程，有当当 时，要求时，要求 ，可以证明，只有，可以证明，只有当当 ，才有可能，此时，才有可能，此时(1)式的式的解为厄密多项式：解为厄密多项式： 0)(222dd,222dd2/2e)()(

14、2/2uAe)(u) 1 (0) 1(222uddudud0)(., 2 , 1 , 0, 12 nn., 2 , 1 , 0,) 1()()(22 neddeHunnnn22四、四、 一维谐振子一维谐振子(3)3、能量本征值、能量本征值因为因为 同时同时故故讨论讨论 (1)能级是均匀分布的；能级是均匀分布的； (2)相邻能级差相同：相邻能级差相同： ； (3)基态能量基态能量 ，称为零点能；，称为零点能； (4)谐振子吸收谐振子吸收 能量后，有可能从下能量后，有可能从下能级跃迁到上能级。相反，放出能级跃迁到上能级。相反，放出 能量后，能量后，有可能从上能级跃迁到下能级。有可能从上能级跃迁到下

15、能级。)/(21E., 2 , 1 , 0, 12 nn., 2 , 1 , 0,)2/1( nnEEn012302/0E23四、一维谐振子四、一维谐振子(4)4、能量本征态（、能量本征态（1）因为因为 ，其中，其中， 要根据要根据 的归一化条件确定，即的归一化条件确定，即由于由于得到得到能量本征态能量本征态正交归一化正交归一化)()(2/2HAe., 2 , 1 , 0,) 1()(22 neddeHnnnnmnnnmndeHH!2)()(2nmnmmn, 0, 1A)(1)(|)()(222*deHAdn21)!2/(naAAnnma 22/2( )( )()a xnnnA eHax mn

16、nmdxxx)()(24四、一维谐振子四、一维谐振子(5)4、能量本征态（、能量本征态（2）最低三条能级上的波函数为最低三条能级上的波函数为2/0E2/31E2/52E2/4/1022)(xaeax2/4/11222)(xaaxeax2/224/1222) 12(21)(xaexaax2| )(|xn012n0 x25五、正交、归一、完备系（五、正交、归一、完备系（1）态叠加原理说，任何一个量子态都可按态叠加原理说，任何一个量子态都可按 任意一组任意一组正交、归一、完备正交、归一、完备的态来分解，的态来分解，即即 。以一维谐振子为例，以一维谐振子为例，其中，其中， 由归一化条件所确定。由归一化条件所确定。由于由于得到得到 )()(xcxnn