概率论与数理统计浙大四版 第五章 习题课45

1、一、重点与难点一、重点与难点二、主要内容二、主要内容 三、典型例题三、典型例题 第四章随机变量的数字特征第四章随机变量的数字特征习习 题题 课课一、重点与难点一、重点与难点1.重点重点数学期望的性质和计算数学期望的性质和计算2.难点难点数字特征的计算数字特征的计算方差的性质和计算方差的性质和计算相关系数的性质和计算相关系数的性质和计算二、主要内容二、主要内容数学期望数学期望方方 差差离散离散型型连续连续型型性性 质质协方差与相关协方差与相关系数系数二维随机变量的数学期二维随机变量的数学期望望定定 义义计计 算算性性 质质随机变量函数的随机变量函数的数学期望数学期望定定 义义协方差协方差的性质的

2、性质相关系数相关系数定理定理).1 ,min( ,)1(1)( 2xexxfx求求的概率密度的概率密度设随机变量设随机变量 解解)1 ,min( xe xxfxd)()1,min( 11d)(d)(xxxxfxxfx 12112d111d11xxxxxx 12102d112d12xxxxx.212ln1 例例1解解 ).( )( ),cos( , 0,20,20),sin(21),( ),( zdzeyxzyxyxyxfyx和和求求且且其他其他函数为函数为的联合密度的联合密度设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量 yxyxfyxzedd),()cos()( yxyxyxdd)sin()cos

3、(212020 20d)2cos(2cos21xxx, 0 例例2)()(2zezd yxyxyxdd)sin()(cos2120202 2033d2coscos61xxx.92 解解 . ),( , 0, 20, 10),21(76),( ),( 2数数的协方差矩阵及相关系的协方差矩阵及相关系求求其他其他函数为函数为的联合密度的联合密度设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量yxyxxyxyxfyx yxyxfxxedd),()( xyxyxxdd )21(7610202 xxxd767121023 ,75 例例3yxxyxxxedd )21(76)(1020222 ,7039 ,49023

4、757039)( 2 xd故故xyxyxyyedd )21(76)(10202 因为因为,78 xyxyxyyedd )21(76)(1020222 ,2134 ( 2 yd故故xyxyxxyxyedd )21(76)(10202 ,2117 )()()(),(cov yexexyeyx 故故,147178752117 ),( 的协方差矩阵为的协方差矩阵为于是于是yx.147461471147149023 的相关系数的相关系数与与yx)()(),(covydxdyxxy .6915 备备 用用 例例 题题例例4., 22的数学期望的数学期望求求正态分布正态分布且都服从

5、标准且都服从标准相互独立相互独立和和设随机变量设随机变量yxzyx 解解的联合概率密度为的联合概率密度为和和相互独立相互独立和和yxyxnynx,),1 , 0(),1 , 0( 2222e21e21),(yxyxf ,e212)(22yx 于是于是)()(22yxeze .dde2122222yxyxyx 得得令令,sin,cos ryrx dde21)(220022rrzer rrrde222022 rrrrdee020222 .2 例例5. , 0, 10 ,2)(. , 0, 10 ,3)(,00:1300:12 2时间的数学期望时间的数学期望求先到达者需要等待的求先到达者需要等待的其

6、他其他其他其他的概率密度分别为的概率密度分别为已知已知立立相互独相互独和和且设且设间间分别是甲、乙到达的时分别是甲、乙到达的时设设会面会面在在甲、乙两人相约于某地甲、乙两人相约于某地 yyyfxxxfyxyxyxyx解解的联合概率密度为的联合概率密度为和和 yx . , 0, 10 , 10 ,6),(2其他其他yxyxyxf因此所求数学期望为因此所求数学期望为yxyxyxyxedd6)(10102 21dd6)(dd6)(22ddyxyxyxyxyxyx61121 ).(41小时小时 例例6.),min(,1, 2121的数学期望和方差的数学期望和方差求求的指数分布的指数分布从数学期望为从数

7、学期望为且都服且都服量相互独立量相互独立设随机变量设随机变量nnxxxzxxx 解解的分布函数为的分布函数为), 2 , 1(nixi . , 0, 0 ,e1)(其他其他xxfx的分布函数为的分布函数为),min(21nxxxz . , 0, 0 ,e1)(11)(其他其他zzfzfnznz的概率密度为的概率密度为z . , 0, 0 ,e)(其他其他znzfnzz于是于是 0de)(zznzenz 00deezznznz.1n 而而,2de)(2022nznzzenz 于是于是22)()()(zezezd .12n 例例7.,31 的数学期望的数学期望求求刑事案件的天数刑事案件的天数记一年

8、内未发生严重记一年内未发生严重以以为参数的泊松分布为参数的泊松分布服从以服从以刑事案件数刑事案件数某城市一天内发生严重某城市一天内发生严重xxy解解 引入随机变量引入随机变量: .365, 2, 1 , , 0, , 1iixi其他其他天未发生严重行事案件天未发生严重行事案件若在第若在第.36521xxxx 则则由于由于01 ypxpi! 0e)31(310 ,e31 的分布律为的分布律为知知ix3131ee110 kipx.365, 2, 1 i.e)(31 ixe于是于是的数学期望为的数学期望为即得即得 x 365131e)(ixe31e365 ).(262 天天 ?1000161,600

9、0,61,的概率是多少的概率是多少之差的绝对值小于之差的绝对值小于所占的比例与所占的比例与试问在这些种子中良种试问在这些种子中良种粒粒选选今在其中任今在其中任其中良种占其中良种占现有一批种子现有一批种子解解 , 0, 1粒不是良种粒不是良种第第粒是良种粒是良种第第令令iixi., 2, 1ni ,61)1( ixp则则,1 niinxy记记.6000,61, nnbyn则则例例8根据题意根据题意, 所求概率为所求概率为 10001616000nyp),61000( nyp,61,6000 byn因为因为由由中心极限定理中心极限定理有有:,651000,1000 nyn近似服从近似服从 10001616000nyp所以所以 6/5100066/510001000nyp15000662 1)208. 0(2 15832. 02 .1664. 0 .30)2(;5040)1(9.,5,的概率的概率人人多于多于人人人人个月内接受的患者个月内接受的患者求一年中前求一年中前相互独立相互独立接受破伤风患者的人数接受破伤风患者的人数各月各月的泊松分布的泊松分布它服从参数它服从参数个随机变量个随机变量风患者的人数是一风患者的人数是一某医院一个月接受破伤某医院一个月接受破伤 ,)9 , 2, 1(伤风患者的人数伤风患者的人数个月医院接受破个月医院接受破是