自动控制理论第二章自动控制系统的数学模型

1、第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型内容提要：本章重点: a、微分方程 建立系统输入输出模式数学模型：b、传递函数c、方块图d、信号流图典型环节传递函数、传递函数的函数 方块图等效变换、信号流图的化简 第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型 通过前面的学习我们知道，自动控制理论是通过前面的学习我们知道，自动控制理论是研究自动控制系统三方面性能的基本理论。研究自动控制系统三方面性能的基本理论。 设控制系统设控制系统求出输出响应求出输出响应控制系统控制系统输入输入输出输出tr(t)0tc(t)0有输入信号时有输入信号时第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制

2、系统的数学模型第一节 引言第四节 控制系统的结构图及其等效变换 第五节 反馈控制系统的传递函数第二节 微分方程的建立第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型第三节 传递函数第一节第一节 引言引言问题：第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型何为数学模型?数学模型的种类? 常用数学模型的种类： 静态模型 动态模型 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式就称为数学模型 数学模型描述的是各变量间的动态关系， 则为动态数学模型 数学模型表示的是各阶倒数均为零的静态下各变量之间的关系，则为静态数学模型第一节第一节 引言引言输入输出描述 ：状态变量描述 ：

3、描述系统的输入与输出之间的数学关系 用一组（几个）独立的状态变量，来描述一个n阶系统的数学关系 第二节 微分方程的建立一、建立微分方程的一般步骤二、常见环节和系统的微分方程的建立 三、 线性微分方程式的求解第二章自动控制系统的数学模型（1） 确定系统的输入变量和输出变量一、建立系统微分方程的一般步骤 系统通常由一些环节连接而成，将系统中的每个环节的微分方程求出来，便可求出整个系统的微分方程。列写系统微分方程的一般步骤： 根据各环节所遵循的基本物理规律，根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写出相应的微分方程组。分别列写出相应的微分方程组。（2 2） 建立初始微分方程建立初始微分方程组组 将与输

4、入量有关的项写在方程式等号右将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。边，与输出量有关的项写在等号的左边。（3）消除中间变量，将式子标准化 下面举例说明常用环节和系统的微分方程的建立ucur1 1 RCRC电路电路+-ucur+-CiR输入量：输入量：输出量输出量：(1) 确定输入量和输出量(2) 建立初始微分方程组(3) (3) 消除中间变量，使式子标准化消除中间变量，使式子标准化ur= Ri + uci = Cducdt根据基尔霍夫定律得： 微分方程中只能留下输入、输出变量，及系统的一些常数。RCducdt+ uc= urRC电路是一阶常系数线性微分方程。电路是

5、一阶常系数线性微分方程。RLCRLrucuiC)(tur)(tuc)()(1)()(tRidttiCdttdiLturdttiCtuc)(1)()(ti)()()()(22tutudttduRCdttudLCrcccRLC列写图所示列写图所示 网络的微分方程。网络的微分方程。解解: 1.: 1.明确输入量、输出量网络的输明确输入量、输出量网络的输入量为电压入量为电压 ，输出量为电压，输出量为电压2.2.列出原始微分方程式。根据电路列出原始微分方程式。根据电路理论得理论得 为网络电流，是除输入量、输出量之外的中间变量。为网络电流，是除输入量、输出量之外的中间变量。3.3.消去中间变量消去中间变量

6、, ,整理得整理得 显然，这是一个二阶线性微分方程，也就是图显然，这是一个二阶线性微分方程，也就是图2-42-4所示所示无源网络的数学模型。无源网络的数学模型。RLCRLC无源网络无源网络2-12-12机械位移系统系统组成：系统组成：质量弹簧弹簧阻尼器输入量输入量弹簧系数弹簧系数km阻尼系数阻尼系数fF(t) 输出量输出量y(t) (2) 初始微分方程组F = ma根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律系统工作过程：(1) 确定输入和输出F(t) FB(t) FK(t) = ma中间变量关系式:FB(t) = fdy(t)dtFK(t) = k y(t)a =d2y(t)dt2md2y(t)dt2f

7、dy(t)dt+ ky(t) = F(t)+消除中间 变量得:3他激直流电动机Ud系统组成：系统组成：直流电机直流电机负载负载输入:电枢电压励磁电流励磁电流If电磁转矩电磁转矩Te负载转矩负载转矩TL摩擦转矩摩擦转矩Tf工作原理：工作原理： 电枢电压作用下产生电枢电流，从而产生电磁转矩使电动机转动.输出:电动机速度n图图 所示为电枢控制直流电动所示为电枢控制直流电动机的微分方程，要求取电机的微分方程，要求取电枢电压枢电压u ua a(t)(t)(v)(v)为输入量，为输入量，电动机转速电动机转速mm(t)(rad/s)(t)(rad/s)为为输出量，列写微分方程。输出量，列写微分方程。图中图中

8、R Ra a()()、L La a(H)(H)分别是分别是电枢电路的电阻和电感，电枢电路的电阻和电感，MMc c(N(NM)M)是折合到电动机轴是折合到电动机轴上的总负载转距。激磁磁上的总负载转距。激磁磁通为常值。通为常值。图图2-2解：解： 电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的1. 1.确定输入输出量确定输入输出量 电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压U Ua a(t)(t)在电枢在电枢回路中产生电枢电流回路中产生电枢电流i ia a(t)(t)，再由电流，再由电流i ia a(t)(t)与激磁磁通相互作用与

9、激磁磁通相互作用产生电磁转距产生电磁转距MMmm(t)(t)，从而拖动负载运动。因此，直流电动，从而拖动负载运动。因此，直流电动机的运动方程可由以下三部分组成。机的运动方程可由以下三部分组成。 电枢回路电压平衡方程电枢回路电压平衡方程电磁转距方程电磁转距方程电动机轴上的转距平衡方程电动机轴上的转距平衡方程 aaaaaaEtiRdttdiLtU)()()(E Ea a 是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，是电枢反电势，它是当电枢旋转时产生的反电势，其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压U Ua a(t)(t)相反，即相反，即E Ea a=

10、C=Ce emm(t)(t) C Ce e反电势系数反电势系数(v/rad/s)(v/rad/s)电枢回路电压平衡方程：电枢回路电压平衡方程：2.列微分方程列微分方程2-1)()(tiCtMammmC)(tMm)()()()(tMtMtfdttdJcmmmmm(2-2)(2-2)(2-3)(2-3)- -电动机转距系数电动机转距系数 （NNmm/A/A）是电动机转距系数）是电动机转距系数- -是由电枢电流产生的电磁转距（是由电枢电流产生的电磁转距（NNmm）电动机轴上的转距平衡方程：电动机轴上的转距平衡方程： f fmm- -电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数电动机和负载折合到电动机轴

11、上的粘性摩擦系数（NNm/rad/sm/rad/s）J Jmm转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的）转动惯量（电动机和负载折合到电动机轴上的） kgkgmm电磁转距方程：电磁转距方程： )()()()()()()()(2tMRdttdMLtUCtCCfRdttdJRfLdttdJLcacaammemmammamamma)()()()(21tMKtUKtdttdTcammmemmamamCCfRJRTemmaCCRafRK2emmamCCfRCK1电动机机电时间常数（电动机机电时间常数（s s） (2-4)(2-4)(2-5)(2-5)在工程应用中，由于电枢电路电感在工程应用中，由于电枢电路

12、电感LaLa较小，通常忽略不计，因而较小，通常忽略不计，因而(2-4)(2-4)可简化为可简化为、求出求出ia(t)ia(t)，代入代入同时同时亦代入亦代入得：得：3.消去中间变量消去中间变量如果电枢电阻如果电枢电阻RaRa和电动机的转动惯量和电动机的转动惯量JmJm都很小而忽略不计时都很小而忽略不计时 (2-5)(2-5)还可进一步简化为还可进一步简化为)(tm)()(tUtCame(2-6)(2-6)(tUa电动机的转速电动机的转速 与电枢电压与电枢电压 成正比，于是成正比，于是 电动机可电动机可作为测速发电机使用。作为测速发电机使用。4液位系统第一章里已经介绍了工作原理：第一章里已经介绍

13、了工作原理：其中其中:qi0流入箱体流入箱体 的流量的流量qo0流出箱体流出箱体 的流量的流量qi0qo0h0液面高度液面高度h0qi流入箱体流入箱体 流量增量流量增量+qiqo流出箱体流出箱体 流量增量流量增量+qoh液面高度液面高度 增量增量+hA箱体面积箱体面积根据物料平衡关系根据物料平衡关系dtAdh0+h(t)=qi0+qi(t)-qo0+qo(t)平衡时：平衡时：qi0=qo0故故dtAdh(t)=qi(t)-qo(t)qo(t)的流量公式的流量公式qo(t)=ah(t)得得:dtAdh(t)=qi(t)+ah(t)齿轮系的运动方程齿轮系的运动方程)112(),102(221122

14、11rrMMJ J1 1J J2 2mM,111, MZ22, MZ1f2f2CM基本关系式基本关系式)142(),132(22111212MzzMzz)122(2121zzrr齿轮齿轮1 1和齿轮和齿轮2 2的运动方程的运动方程1以齿轮以齿轮1 1的角速度的角速度 为输出，外部为输出，外部 为输入为输入mM221221211111MMfdtdJMMfdtdJCm（2-152-15）（2-162-16）mMMzzfdtdJ2211111212121212MMzzfdtdzzJC)172(21122211122211CmMzzMfzzfdtdJzzJ)212(11CmMMfdtdJ)202(12

15、CCMzzM)182(22121JzzJJ)192(22121fzzff非线性系统微分方程的线性化（举例）)(cos)(0txExy )()()(0 xyxyxy xxEy 00sin取一次近似，且令取一次近似，且令 既有既有已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。 200000)(! 21)()()(xxxyxxxyxyxy解解. . 在工作点在工作点( (x0, y0)处展开泰勒级数处展开泰勒级数)(sin000 xxxE rQShSdtdh1 hhhhdthdhhh 00021|0)(1)21()(0000rrQQShhhSdt

16、hhd SQhSdtdhr000 rQShhSdthd 120 解解. . 在在 处泰勒展开，取一次近似处泰勒展开，取一次近似 0h代入原方程可得代入原方程可得在平衡点处系统满足在平衡点处系统满足 上两式相减可得线性化方程上两式相减可得线性化方程 某容器的液位高度某容器的液位高度 h h 与液体流入量与液体流入量 Q Q 满足方程满足方程 式中式中 S 为液位容器的横截面积。若为液位容器的横截面积。若 h 与与 Q 在其工作点附近做微量在其工作点附近做微量 变化，试导出变化，试导出 h h 关于关于 Q Q 的线性化方程。的线性化方程。基本步骤：基本步骤：（1）由系统原理图画出系统方框图或直接

17、确定系统中各）由系统原理图画出系统方框图或直接确定系统中各个基本部件（元件）个基本部件（元件）（2）列写各方框图的输入输出之间的微分方程，要注意）列写各方框图的输入输出之间的微分方程，要注意前后连接的两个元件中，后级元件对前级元件的负载效应前后连接的两个元件中，后级元件对前级元件的负载效应（3）消去中间变量）消去中间变量2.控制系统微分方程的建立控制系统微分方程的建立例例: :速度控制系统的微分方程速度控制系统的微分方程-k2SM负载-k1TGgufu1u2uau1R2RC2R1Rm系统输出系统输出 系统输入参考量系统输入参考量gu控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放控制系统的主要部件

18、（元件）：给定电位器、运放1 1、运放、运放2 2、功、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机121111),222()(RRKuKuuKuefg12211122,),232()(RRKCRudtduKu)242(23uKua)252( CCammmmMKuKdtdT运放运放1 1运放运放2 2功放功放直流电动机直流电动机)262(1mi减速器（齿轮系）减速器（齿轮系）测速发电机测速发电机)272( ttKu消去中间变量消去中间变量matuuuu21控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为)()(321

19、321tmtmmmKKKKKiKKKKKiTT)(321321tmmgKKKKKiKKKKK)(321321tmmgKKKKKiKKKKK)()()()(22tutudttduRCdttudLCrCCC)()()()(22tFtKxdttdxfdttxdm)282( CCggggmMKuKdtduKdtdT)(321tmCCKKKKKiKK比较比较 R-L-CR-L-C电路运动方程与电路运动方程与 M-S-DM-S-D机械系统运动方程机械系统运动方程相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系 根据实例可知：系统微分方程由输出量各阶导数和输入量各阶导数以

20、及系统的一些参数构成。系统微分方程的一般表达式为系统微分方程的一般表达式为：dtm+bmr(t) = b0dm-1r(t)dtm-1+b1+dmr(t)dr(t)dt+bm-1+anc(t)+dnc(t)dtna0dn-1c(t)dt n-1+a1dc(t)dt +an-1 将已知输入信号代入微分方程中，求解微分方程即可求得系统输的出响应。微分方程微分方程r(t)c(t)三、线性微分方程式的求解 工程实践中常采用拉氏变换法求解线性常微分方程。拉氏变换法求解微分方程的基本思路：拉氏变换法求解微分方程的基本思路：线性微分方程时域t拉氏变换代数方程复数域s代数方程的解求求解解拉氏反变换微分方程的解1

21、 1拉氏变换的定义如果有一函数满足下列条件：如果有一函数满足下列条件：(1) t m:L)().(0111sCasasasannnn )(.)(01110111sRasasasabsbsbsbsCnnnnmmmm 011011)()(.)(asasabsbsbsCnnnnmmmmttr nnsCsCsC 2211tnttneCeCeCsCLtc 21211)()(: : 特征根（极点）特征根（极点）i : : 相对于相对于 的的模态模态tie i :1 Lrbrbrbrbmmmm01)1(1)(. )().(0111sRbsbsbsbmmmm 复习拉普拉斯变换有关内容（14）用留数法分解部分分

22、式用留数法分解部分分式一般有一般有其中：其中：)(.)()()(011011mnasasabsbsbsAsBsFnnnnmmmm 设设)()(.)(21011nnnnnpspspsasasasA 0)( sAI. 当当 无重根时无重根时 niiinnpsCpsCpsCpsCF(s)12211 nitpitpntptpineCeCeCeCtf12121)().F(s)p(sCipsii limipsi(s)AB(s)C 复习拉普拉斯变换有关内容（15）342)(2 ssssF例例2 2 已知已知，求，求?)( tf解解. .3131221 sCsC)(s(ssF(s)2131213121lim1

23、1 )(s(ss)(sCs2113233123lim32 )(s(ss)(sCs321121 ssF(s)tteef(t)32121 3455)(22 sssssF例例3 3 已知已知，求，求?)( tf解解. .34)2()34(22 sssssF(s)3)(1(21 ssstteetf(t)32121)( 复习拉普拉斯变换有关内容（16）223)(2 ssssF例例4 4 已知已知，求，求?)( tf解一解一. .jjj)j)(s(ssj)(sCjs221131lim11 jij)j)(s(ssj)(sCjs221131lim12 tjtjejjejjf(t)1()1(2222 解二：解二

24、：jsC-jsCj)-j)(s(ssF(s) 1111321 jtjttejejej )2()2(21 ttjejtsin4cos221 ttetsin2cos 22113 )(ssF(s)t etef(t)ttsin2cos 22221112111 )(s)(ss221121 )(ss 复习拉普拉斯变换有关内容（17）0)()()(1 npspssAII. 当当 有重根时有重根时nnmmm-m-mms-pCs-pCs-pC)(s-pC)(s-pCF(s) 11111111( (设设 为为m m重根，其余为单根重根，其余为单根) )1p1111111s-pC)(s-pC)(s-pCLf(t)m

25、-m-mm .F(s)p(sdsd)(m-C .F(s)p(sdsdjC .F(s)p(sdsdC.F(s)p(sCmmmpsmjjpsm-jmpsm-mpsm11)1(11)(1111111lim!11lim!1lim! 11lim11nnmms-pCs-pC tpmm-mm.eCtCt)(mCt)(mC1!2!112211 tpnmiiieC 1 复习拉普拉斯变换有关内容（18）nnmmm-m-mms-pCs-pCs-pC)(s-pC)(s-pCF(s) 11111111mmpsC.F(s)p(s 11lim111212111 mm-m-mm)(s-pC)(s-pC)(s-pCCF(s)(

26、s-pnmnmmms-p)(s-pCs-p)(s-pC1111 2111211)()1()(20mmmmpsCmpsCC.F(s)p(sdsd 111lim! 11m-mpsC.F(s)p(sdsd 3112122)()2)(1(200mmmpsCmmC.F(s)p(sdsd 21221lim! 21m-mpsC.F(s)p(sdsd 复习拉普拉斯变换有关内容（19）)3()1(2)(2 sssssF例例5 5 已知已知，求，求?)( tf解解. .31143122 scscsc)(scF(s)(s)s(ss)(sCs3121lim2212 )(s)s(ss)(sdsdCs3121lim! 1

27、12211)(s)s(sss.Cs312lim203 31121132114311212 s.s.s.)(s.F(s)ttteetef(t)3121324321 )(s)s(sssCs312)3(lim234 2131121 )(221)3(3)2()3(lim ssssssss43 32 121 线性定常微分方程求解tRCctRCceueEEtu1100)0()( ccrccruuRCuuCiuRiu )()()0()(sUsUussURCrccc 1)0()1(1)0(1)()(0 RCsRCuRCssERCsRCuRCssUsUccrc 00110000)1()1(lim)1(limER

28、CssRCERCsCERCssRCEsCRCssRCsuRCsEsEsUcc1)0(1)(00 sEsUtEturr00)()( 1)( 例例6 6 R-C R-C 电路计算电路计算rccuuuRC RCsuRCsCsCRCsuRCssRCEcc1)0(11)0()1(100 tRCcceuEEtu100)0()( )0()()()1(crcRCusUsURCs (1) (1) 输入输入 u r (t)影响系统响应的因素影响系统响应的因素(2) (2) 初始条件初始条件(3) (3) 系统的结构参数系统的结构参数 规定规定 r(t) = 1(t) 规定规定0 初始条件初始条件 自身特性决定系统

29、性能自身特性决定系统性能影响系统响应的因素影响系统响应的因素2.3 控制系统的复域模型传递函数)()()(sRsCsG )(.01)1(1)(01)1(1)(trbrbrbrbcacacacammmmnnnn )(.)()(01110111sGasasasabsbsbsbsRsCnnnnmmmm )(.)(.01110111sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn niimjjpszsKsG11*)()()( 211212211221)12()1()12()1()(njjjniimkllmlksTsTsTssssKsGv 2.3.2.3.1 1 传递函数的定义传递函数的定义 在零初

30、始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。2.3.2.3.2 2 传递函数的标准形式传递函数的标准形式微分方程一般形式微分方程一般形式：拉氏变换拉氏变换：传递函数：传递函数： 首首1 1标准型：标准型： 尾尾1 1标准型：标准型： 2.3 控制系统的复域模型传递函数sssss2344)G(23 例例7 7 已知已知将其化为首将其化为首1 1、尾、尾1 1标准型，并确定其增益。标准型，并确定其增益。解解. .sssssG23)1(4)(23 2 K)12321(124)(2 sssssG首首1 1标准型标准型尾尾1 1

31、标准型标准型增益增益)2)(1()1(4 ssss)1)(121()1(2 ssss 2.3 控制系统的复域模型传递函数2 2.3.3.3 3 传递函数的性质传递函数的性质 (1) G(s)是复函数；是复函数； (2) G(s)只与系统自身的结构参数有关；只与系统自身的结构参数有关； (3) G(s)与系统微分方程直接关联；与系统微分方程直接关联； (4) G(s) = L k(t) ； (5) G(s) 与与 s 平面上的零极点图相对应。平面上的零极点图相对应。 例例8 8 已知某系统在已知某系统在0 0初条件下的阶跃响应为：初条件下的阶跃响应为： 试求试求：（：（1 1） 系统的传递函数；

32、系统的传递函数； （2 2） 系统的增益；系统的增益； （3 3） 系统的特征根及相应的模态；系统的特征根及相应的模态； （4 4） 画出对应的零极点图；画出对应的零极点图； （5 5） 求系统的单位脉冲响应；求系统的单位脉冲响应； （6 6） 求系统微分方程；求系统微分方程； （7 7） 当当 c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) c(0)=-1, c(0)=0; r(t)=1(t) 时，求系统的响应。时，求系统的响应。 解解. .（1 1） 2.3.3 传递函数的性质(1)4)(1()2(2413111321)( ssssssssC)4)(1()2(2)(1)()()()(

33、 ssssGssSCsRsCsGtteetc431321)( 2.3.3 传递函数的性质(2)1422 K ttee42141 41)4)(1()2(2)()(21111sCsCLsssLsGLtk324)2(2lim11 ssCstteessLtk41343241341132)( )()(4542)4)(1()2(2)(2sRsCsssssssG rrcccLsRssCss4245:)()42()()45(12 (2)(2) (4)(4) 如图所示如图所示(3)(3) (5)(5) (6)(6) 341)2(2lim42 ssCs2.3.3 传递函数的性质(3)344)5(lim11 ssC

34、s)(4)0()( 5)0()0()(:2sCcssCcscsCsL )4)(1(43455145)2(2)(222 sssssssssssssC4131113441)4)(1()5()(210 sssCsCssssC413134)(0 setcttttttreeeeetctctc 213134131321)()()(440（7 7）其中初条件引起的自由响应部分其中初条件引起的自由响应部分)()2(2)0()0()5()()45(2sRsccssCss 311)5(lim42 ssCs(1) 不相等实数极点不相等实数极点Ai= F(s)(s-pi ) s=pi解：解：例例 求拉氏变换求拉氏变换

35、 s2+4s+3 F(s)= s2+5s+5 (s+1)(s+3) F(s)=1+ s+2=1+s+1A1s+3A2A1=F(s)(s-p1 ) s=p1(s+1)(s+3) = s2+5s+5 s=-1=(s+1)(s+3) (s+2)(s+1)21=A2=F(s)(s-p2 ) s=p2s=-3=(s+1)(s+3) (s+2)(s+3)21=21+f(t)=(t)(t)+ +e-t21e-3t(2) 复复数极点数极点A(s)(s p1 )(s p2 )(s pn )F(s)=p1 ,p2 共轭共轭复数复数极点极点分解为分解为=(s-p1 )(s-p2 )A1 s+A2+s-p3A3+s-

36、pnAn F(s)(s-p1 )(s-p2 ) s=p1=A1s+A2 s=p1根据根据求待定系数求待定系数A1 ,A2 . 例例 求拉氏变换求拉氏变换 s(s2+9) F(s)= s+1解：解：A1s+A2 +s (s2+9) F(s)=A3 =A1s+A2 s=j3F(s)(s2+9)s=j3A2=1 19A1= - 19A3= -s/9+1 +s(s2+9) =1/9 s/9 -s(s2+9) F(s)=1/9 1 +(s2+9) 1391-f(t)=Sin3t91Cos3t +(3) 重极点重极点A(s)(s p1 )r(s pr+1 )(s pn )F(s)=有有r个重个重极点极点分

37、解为分解为=(s-p1 )rA1 +s-pr+1Ar+1+s-pnAn+(s-p1 )r-1A2 +s-p1Ar dr-1F(s)(s-p1 )rAr= s=p11 ( (r-1)! dsr-1)下面举例说明下面举例说明例例 求拉氏变换求拉氏变换 (s+2)F(s)= s(s+1)2(s+3) 解：解：F(s)=+s+1A1s+3A2(s+1)2+sA3+A4分解为分解为按不相等实数极点确定按不相等实数极点确定A1 ,A3 ,A4 得：得：-12A1= 23A3= 112A4= d2-1F(s)(s-p1 )2A2= s=p11 ( (2-1)! ds2-1)d= s=-1 ds(s+2) s

38、(s+3) -34= -34A2= +-43+f(t)=e-t32e-3t2-te-t121将各待定系数代入上式得：将各待定系数代入上式得：5用拉氏变换解微分方程 下面举例说明求解线性微分方程的方法。下面举例说明求解线性微分方程的方法。例例 求拉氏反变换求拉氏反变换 r(t) =20I(t)+2c (t) = r(t)+3d2c(t)dt2dc(t)dt c(0)=5c(0)=15解：解：(1) 将微分方程拉氏变换将微分方程拉氏变换s2C(s)-sc(0)-c(0)+3sC(s)-3c(0)+2C(s) = 20s20s+5s+30= C(s)(s2+3s+2) (2) 解代数方程解代数方程

39、s(s2+3s+2) C(s)= 5s2+30s+20(3) 求拉氏反变换求拉氏反变换 s(s+1)(s+2)= 5s2+30s+20s+C(s)=+s+1A1s+2A2A3s+=+s+110s+25-10-10ec(t)=10+5e-t-2t例 已知系统的微分方程式，求系统的 输出响应。r(t) =(t) + 2c (t) = r(t) +2d2c(t)dt2dc(t)dt c(0) = c(0) = 0解：解：将方程两边求拉氏变换得：将方程两边求拉氏变换得：s2C(s) + 2sC(s) + 2C(s) = R(s)R(s) = 1 C (s) = s2 + 2s +21=(s+1)2 +

40、 11求拉氏反变换得：求拉氏反变换得：c(t) = e t sin t 输出响应曲线输出响应曲线 c(t)r(t)r(t)t0c(t)第三节传递函数一、传递函数的定义及求取二、典型环节的传递函数 及其动态响应 拉氏变换可以简化线性微分方程的求解。还可将线性定常微分方程转换为复数S域内的数学模型传递函数。第二章自动控制系统的数学模型第三节传递函数使用传函应注意的问题 :1传递函数只适用于线性定常系统 2分子阶次分母的阶次，即mn 3传函取决于系统的结构、元件参数，与输 入信号的形式无关 4传函是在初始条件为零时（卷积公式微分方程）进行拉氏变换得到的 5一个传函只能表示一个输入对一个输出的关系；它

41、不能完全反映信号传输中的中间变量，也无法全面反映多输入多输出系统的特性。输出拉氏输出拉氏 变换变换 一、 传递函数的定义及求取 设一控制系统设一控制系统输入输入输入拉氏输入拉氏 变换变换输出输出传递函数的定义：传递函数的定义： 零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。R(S)C(S)r(t)c(t)R(s)C(s)G(s) =表示为：将微分方程拉氏变换便可求得传递函数。系统系统G(S)第三节传递函数例 求图示RLC电路的传递函数。+-uruc+-CLRi解：解：输出量输出量输入量输入量根据基尔霍 夫定律：i = CducdtLdidtur= R i + uc拉氏变换：RCsU

42、c(s)+LCs2Uc (s)+Uc (s)=Ur (s) 传递函 数为: G (s) =Uc (s)Ur (s)1LCs2 + RCs + 1=RCducdt+uc=ur+LCd2ucdt2第三节传递函数dh(tdh(t) )1 1= =q qi i(t(t) )dtdtA Ah(th(t) )2A2A+ +a ah h0 0例 求液位控制系统的传递函数. 将上式两边求拉氏变换：将上式两边求拉氏变换： 设设解：解：得得 asH(s)+H(s)Qi(s)=h02A1AH(s)A(s+=ah02A)1Q(s)s+1=ah02A/ah02=Abah02Aa =bh02传递函数为传递函数为H(s)A

43、bs+1b=Q(s)第三节传递函数零初始条件下拉氏变换得：零初始条件下拉氏变换得：(a0 sn + a1 sn-1 + + an-1 s + an )C(s) = (b0 sm + b1 sm-1 + + bm-1 s + bm )R(s) 系统微分方程的一般表达式为：系统微分方程的一般表达式为：dtm+bmr(t) = b0dm-1r(t)dtm-1+b1+dmr(t)dr(t)dt+bm-1+anc(t)+dnc(t)dtna0dn-1c(t)dt n-1+a1dc(t)dt +an-1系统传递函数的一般表达式为系统传递函数的一般表达式为=b0sm+b1sm-1+bm-1s+bma0sn

44、+a1sn-1+an-1s+anR(s)C(s)G(s)= 将传递函数中的分子与分母多项式分别用因式连乘的形式来表示，即n=mG(s)=K0(s z1)(s z2)(s zm)(s s1)(s s2)(s sn)放大系数传递函数的极点传递函数的零点第三节传递函数传递函数性质：（1） 传递函数只适用于线性定常系统。（2） 传递函数取决于系统的结构和参数， 与外施信号的大小和形式无关。（3） 传递函数为复变量S 的有理分式。 （4） 传递函数是在零初始条件下定义的， 不能反映非零初始条件下系统的运 动过程。第三节传递函数 不同的物理系统，其结构差别很大。但若从系统的数学模型来看，一般可将自动控制系

45、统的数学模型看作由若干个典型环节所组成。研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系统性能的了解。 二、 典型环节的传递函数及其 动态响应第三节传递函数c(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)放大倍数放大倍数取拉氏变换取拉氏变换:得传递函数得传递函数:1比例环节微分方程微分方程:R(s)C(s)G(s) =K 比例环节方框图比例环节方框图 KR(S)C(S)K1SC(s)=R(s)=1S单位阶跃响应：单位阶跃响应：拉氏反变换得:c(t)=K 单位阶跃响应曲线r(t)t0c(t)1r(t)Kc(t)第三节传递函数K= -R1R2 比例环节实例(a)uruc-+R1R2运算放大器(b)线性电位器uc(

46、t)+-R1R2+-ur(t)K=R2+R1R2传动齿轮(c)r(t)c(t)iK=i第三节传递函数单位阶跃信号作用下的响应单位阶跃信号作用下的响应:KTs+11sC(s)=Ks+1/TKs+=R(s)=1s2惯性环节微分方程微分方程: +c(t)=Kr(t)dc(t)dtT时间常数比例系数拉氏变换：拉氏变换：TsC(s)+C(s)=KR(s)惯性环节的传递函数惯性环节的传递函数:R(s)C(s)G(s)=KTs + 1= 惯性环节方框图惯性环节方框图 R(S)C(S)1+Ts1拉氏反变换得:c(t) = K(1 e tT-) 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线设设 K=1r(t)t0c(t)1

47、r(t)c(t)T0.632第三节传递函数uruc-+R2R1C 惯性环节实例(a)运算放大器R2CS+1R2/R1G(s) = (b)RL电路+-u(t)RLuL(t)1/R(L/R)S+1G(s) = 第三节传递函数R(s)C(s)G(s) =1TsTsC(s) = R(s) = r(t)dc(t)dtT微分方程：微分方程：时间常数时间常数3积分环节传递函数：传递函数：拉氏变换：拉氏变换： 积分环节方框图积分环节方框图 R(S)C(S)Ts1单位阶跃响应：单位阶跃响应：1TS1SC(s)=R(s)=1S1TS2=1Tc(t)=t 单位阶跃响应曲线r(t)t0c(t)1c(t)r(t)T拉氏

48、反变换得:第三节传递函数 积分环节实例积分环节实例(a) 运算放大器运算放大器uc-+RCur1RCSG(s) = (b) 直流伺服电机直流伺服电机+-UdMSKG(s) =第三节传递函数4微分环节R(S)C(S)Ts理想微分环节微分方程：理想微分环节微分方程：微分时间常数微分时间常数 微分环节方框图微分环节方框图 单位阶跃响应：单位阶跃响应：c (t)=Tdr(t)dtR(s)C(s)G(s) = TsTS1SC(s)=R(s)=1S拉氏反变换得拉氏反变换得:c(t) =T(t) 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线r(t)t0c(t)c(t)r(t)运算放大器构运算放大器构成的微分环节成的微分

49、环节-+RucCurG(s) =RC s第三节传递函数+-uc+-CRurRC电路构成的实用微分环节电路构成的实用微分环节RCsRCS+1 G(s)= TsTs+1= 理想微分环节实际中是难以实现的，理想微分环节实际中是难以实现的，实际中常用含有惯性的实用微分环节。实际中常用含有惯性的实用微分环节。传递函数传递函数:单位阶跃响应单位阶跃响应: 1sTsTs+1G(s)=1s+1/T c(t) = e tT-单位阶跃响应曲线r(t)r(t)t0c(t)c(t)1 由于微分环节的输出只能反映输入信号的变化率，不能反映输入量本身的大小，故常采用比例微分环节。 第三节传递函数采用运算放大器构成的比例微

50、分环节：采用运算放大器构成的比例微分环节：R1ucC1R2ur-+传递函数：传递函数：单位阶跃响应：单位阶跃响应：c(t)=KT(t)+K R(s)C(s)G(s)=K(Ts+1) 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 1c(t)r(t)r(t)t0c(t)第三节传递函数5. 振荡环节 微分方程：微分方程： + c (t) = r(t)+2T d2c(t)dt2dc(t)dtT 2 时间常数时间常数 阻尼比阻尼比T传递函数：传递函数：1T2S2 + 2T S+ 1=R(s)C(s)G(s) =G(s) =T 21T 21T 2S2 +S+n2n2n S2+2 S+=T1n = 无阻尼自然振荡频率无

51、阻尼自然振荡频率 振荡环节方框图振荡环节方框图 S2+2nS+n2n2R(S)C(S)单位阶跃响应：单位阶跃响应： c(t)=1-1-2Sin(dt+)etn 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线1c(t)r(t)r(t)t0c(t)第三节传递函数1 ms2+fs+k=F(s)Y(s)G(s)=常见振荡环节的实例：常见振荡环节的实例：(1) (1) 机械位移系统机械位移系统 (2) (2) 他激直流电动机他激直流电动机 (3) RLC(3) RLC电路电路1/Ce TaTms2+Tms+1=U(s)N(s)G(s)=Ur(s)Uc(s)1 LCs2+RCs+1=G(s)=第三节传递函数R(s)C(

52、s)G(s)= e-s c(t) = r (t )1(t ) R(S)C(S)e-s6时滞环节延时时间延时时间数学模型：数学模型： 时滞环节方框图时滞环节方框图 传递函数：传递函数：时滞环节作近似处理得时滞环节作近似处理得1+s1G(s) =1+s+2!2s2+ 11 阶跃响应曲线阶跃响应曲线 1c(t)r(t)r(t)t0c(t)第三节传递函数一、建立动态结构图的一般方法一、建立动态结构图的一般方法二、动态结构图的等效变换与化简二、动态结构图的等效变换与化简 动态结构图是系统数学模型的另一种形式，它表示出系统中各变量之间的数学关系及信号的传递过程。第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系

53、统的数学模型第四节 控制系统的结构图及其等效变换 一、 建立动态结构图的一般方法 设一设一RC电路如图电路如图:初始微分初始微分 方程组方程组ur=Ri+ucduci=dtc取拉氏变换：取拉氏变换：Ur(s)=RI(s)+Uc(s)I(s)=CSUc(s)+-uruc+-CiR=I(s) RUr(s)Uc(s)Ur(s)1R-I(s)Uc(s)I(s)Uc(s)1CS表示为：表示为：组合为：组合为：Uc(s)1CS以电流作为以电流作为 输出：输出：Ur(s)1R-I(s)Uc(s)1CSUc(s)=I(s)1CS 系统动态结构图由四种基本符号构成：系统动态结构图由四种基本符号构成： 信号线信号

54、线 综合点综合点方框方框 引出点引出点 系统动态结构图将各变量之间的数学关系用结系统动态结构图将各变量之间的数学关系用结构图表示出来，将结构图简化，可方便地求出任构图表示出来，将结构图简化，可方便地求出任意两变量之间的传递函数。意两变量之间的传递函数。 第四节 控制系统的结构图及其等效变换 绘制动态结构图的一般步骤:（1）确定系统中各元件或环节的传递函数。（2）绘出各环节的方框，方框中标出其传 递函数、输入量和输出量。（3）根据信号在系统中的流向，依次将各 方框连接起来。第四节 控制系统的结构图及其等效变换 例 建立他激直流电动机的动态结构图。 解：解：电枢回路部分：电枢回路部分： 微分方程为

55、微分方程为+ebud =Ra id+Ladiddt取拉氏变换取拉氏变换:Ud(s)=RaId(s)+La sId(s)+Eb(s) 整理得：整理得：Ud (s)Eb(s)=Id(s)(Ra+Las)=Id(s)Ra(1+s)La Ra令：令：La RaTa=则有则有Ra(Tas+1)Ud(s)Eb(s)=Id (s) 1/RaTas+1Ud(s)_Eb(s)Id(s)第四节 控制系统的结构图及其等效变换 电机转轴部分：电机转轴部分：微分方程微分方程:TeTL=GD2375dndt.Te=Cmid TL=CmiL 拉氏变换得：拉氏变换得：Te(s)TL(s)=GD2375sN(s)Te(s)=C

56、mId(s) TL(s)=CmIL(s) 整理得：整理得： Id (s)IL(s)=GD2375CmsN(s)即即令令得GD2 Ra375CmCeTm= Id (s) IL (s) =N(s)SGD2 Ra375CmCeCeRaId (s) IL (s) =N(s)CeRaTmS 用框图表示为 Id(s) IL(s)RaCeTmSN(s)_反电势部分：拉氏变换微分方程 用框图表示为 CeN(s)Eb(s)eb=CenEb(s)=CeN(s) 第四节 控制系统的结构图及其等效变换 N(s)Eb(s) 将三部分框图连接起来即得电动机的动态结构图。 Ud(s)_Eb(s)1/Rd1+TdsIL(s)

57、RaCeTms_N(s)Ce 电动机的动态结构图电动机的动态结构图Id(s)IL(s)RaCeTms_N(s)Id(s)第四节 控制系统的结构图及其等效变换 例例 液位控制系统如图所示，试建立系液位控制系统如图所示，试建立系 统的动态结构图。统的动态结构图。解：解：系统输入系统输入 系统输出系统输出液位控制系统液位控制系统 结构图：结构图：hr(s)h(t)构机构机阀门阀门浮球浮球水箱水箱杠杆杠杆(1) 水箱水箱bAbs+1Qi (s)H(s)= Qi(s)(2) 浮球和杆杠浮球和杆杠 流量的变化量与液位流量的变化量与液位的偏差量成正比：的偏差量成正比：Qi (s)=pH(s)H(s)=Hr(

58、s)-H(s)浮球质量忽略不计：浮球质量忽略不计：(s)系统的动态系统的动态 结构图结构图:H(s)PH(s)_bAbs+1Hr(s)Qi(s)第四节 控制系统的结构图及其等效变换 例 试建立位置随动系统的动态结构图。解解： 第一章已介绍工作原理第一章已介绍工作原理系统的构成系统的构成电位器电位器放大器放大器电动机电动机减速器减速器负载负载第四节 控制系统的结构图及其等效变换 (1) 电位器电位器系统结构框图r r c c电位器电位器放大器放大器电动机电动机减速器减速器- -=r-cUe=Ks=Ks(r-c )r(s)_KSc(s)Ue(2) 放大器放大器Ud=KaUeUd(s)Ka(3) 电

59、动机电动机已求得已求得n为输出的动态为输出的动态结构图结构图,以以m 为输出时为输出时:dmn=dtN(s)=sm (s)La忽略不计时电忽略不计时电机的动态结构图机的动态结构图:CeS_m(s)IL(s)_1RaCeTmSRa1S(4) 齿轮减速器m=ic c(s)1i第四节 控制系统的结构图及其等效变换 对于对于RLC电路，可以运用电流和电电路，可以运用电流和电压平衡定律及复阻抗的概念，直接画出系压平衡定律及复阻抗的概念，直接画出系统的动态结构图。统的动态结构图。例例 求图所示电路的动态结构图。求图所示电路的动态结构图。ii2+-uruc+-R2R1ci1解：解： I2(s)I1(s)+U

60、c(s)Ur(s)_CS1R1+R2Uc(s) RC电路动态电路动态 结构图：结构图： I(s)第四节 控制系统的结构图及其等效变换 i1i2+-urC1uc+-C2R1R2例 画出图所示电路的动态结构图。解：解：1R1I1(s)_1 C1S1R21 C2SUr(s)UC(s)I2(s)_U1(s)U1(s)I2(s)UC(s)U1(s)i1-i2第四节 控制系统的结构图及其等效变换 二、 动态结构图的等效变换与化简 系统的动态结构图直观地反映了系统内部系统的动态结构图直观地反映了系统内部各变量之间的动态关系。将复杂的动态结构图进各变量之间的动态关系。将复杂的动态结构图进行化简可求出传递函数。