陈殿友大学数学系列教材：4.3 线性方程组与向量组的线性相关性第三讲修改

1、3 向量组的秩向量组的秩 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩 3.1 向量组的秩向量组的秩只含零向量的向量组没有极大无关组，秩为只含零向量的向量组没有极大无关组，秩为0。 定义定义3.1 设有向量组设有向量组 a：1,2, ,s ,如果存在如果存在 a 的部的部分向量组分向量组 a0 : 满足满足 1）向量组向量组 a0 线性无关线性无关； 2）向量组向量组 a 中任一向量可用中任一向量可用 a0 线性表示线性表示，则称向量组则称向量组 a0 是向量组是向量组 a 的一个的一个极大线性无关组极大线性无关组（简称简称极大无关组极大无关组）。极大无关组所含向量的个数极大无关组所含向量的个数 r 称为

2、向量组称为向量组a的的秩秩。12,rjjj 向量组向量组1,2, ,s 的秩可记为的秩可记为r(1,2, ,s )。 由定义由定义3.1可得下面的结论：可得下面的结论： i) 向量组向量组线性无关线性无关的充分必要条件是向量组的秩的充分必要条件是向量组的秩等于等于该组向量的个数；向量组该组向量的个数；向量组线性相关线性相关的充分必要条件是向量的充分必要条件是向量组的秩组的秩小于小于该组向量的个数。该组向量的个数。 ii) 向量组向量组a的部分组的部分组a0 : 为为a的极大无关的极大无关组的充分必要条件是组的充分必要条件是12,rjjj 1）向量组）向量组 a0 线性无关；线性无关； 2）向量

3、组）向量组a中任意中任意 r+1 个向量个向量(如果存在如果存在)线性相关线性相关。 iii) 如果向量组如果向量组 a 的秩为的秩为r (r0)，则，则a中中任意任意 r 个线性个线性无关无关的向量都是的向量都是a的一个的一个极大无关组极大无关组 (即即未必惟一未必惟一) 。 例如向量组例如向量组1231021 ,2 ,4157 的秩为的秩为2，1,2;1,3;2,3都是它的极大无关组。都是它的极大无关组。 定理定理3.1 向量组与其任意一个极大无关组等价。向量组与其任意一个极大无关组等价。 证明证明 设向量组设向量组a0：1,2,r是是 a的极大无关组的极大无关组,则则a0是是a的部分组的

4、部分组,故故 a0 总能由总能由 a 线性表示；由极大无关组的线性表示；由极大无关组的定义知，对于定义知，对于a中任意向量中任意向量，r+1个向量个向量1,2,r, 线性线性相关，而相关，而1,2,r线性无关，由定理知线性无关，由定理知能由能由1,2,r线线性表示，即向量组性表示，即向量组 a 能由能由 a0 线性表示。线性表示。所以向量组所以向量组a与与a0等价。等价。 推论推论3.1 一个向量组的一个向量组的任意两个极大无关组等价任意两个极大无关组等价。 推论推论3.2 一个向量组的一个向量组的秩是惟一确定的秩是惟一确定的。 定理定理3.2 设向量组设向量组能由向量组能由向量组线性表示，则

5、向量线性表示，则向量组组的秩的秩不大于不大于向量组向量组的秩。的秩。 证明证明 设设的一个极大无关组的一个极大无关组0: :1,2,r，向量组向量组的一个极大无关组的一个极大无关组0：1, 2 , s。由定理。由定理3.1可知向量组可知向量组0能由能由线性表示，而向量组线性表示，而向量组又能由又能由线线性表示，向量组性表示，向量组又能由又能由0线性表示，故向量组线性表示，故向量组0能由能由0线性表示，由推论线性表示，由推论2.5 ,便知便知rs. 定理定理3.3 等价的向量组的秩相等。等价的向量组的秩相等。 证明证明 设向量组设向量组与向量组与向量组的秩分别为的秩分别为 r 和和 s ，因因两

6、个向量组等价，即两个向量组能相互线性表示，故两个向量组等价，即两个向量组能相互线性表示，故 r s与与 s r 同时成立，所以同时成立，所以s = r。 例例1 向量组向量组能由向量组能由向量组线性表示线性表示 ,且他们的且他们的秩相秩相等等,试证向量组试证向量组与向量组与向量组等价等价。 证明证明 设向量组设向量组：，是由向量组是由向量组和和合并成合并成的向量组，向量组的向量组，向量组和和的秩均为的秩均为r。因为向量组。因为向量组能由能由向量组向量组线性表示线性表示 ，故向量组，故向量组能由能由向量组向量组线性表示线性表示 。而向量组而向量组是是向量组向量组的部分组，故的部分组，故向量组向量

7、组总总能由能由向量向量组组线性表示线性表示 ，所以向量组，所以向量组与与向量组向量组等价等价 ，由定理，由定理3.3知，向量组知，向量组的秩为的秩为r。又因为向量组。又因为向量组秩为秩为 r ，且向，且向量组量组也是也是向量组向量组的部分组，所以的部分组，所以向量组向量组的极大无关的极大无关组也可作为向量组组也可作为向量组的一个极大无关组。由定理的一个极大无关组。由定理3.13.1，向，向量组量组与与向量组向量组的一个极大无关组等价的一个极大无关组等价, ,从而从而向量组向量组与与向量组向量组等价，由等价的传递性等价，由等价的传递性 推知，向量组推知，向量组与向与向量组量组等价。等价。 3.2

8、 矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩 定义定义3.2 矩阵矩阵a的行向量组的秩称为的行向量组的秩称为a的的行秩行秩，矩阵，矩阵a的列向量组的秩称为的列向量组的秩称为a的的列秩列秩。 例例2 设矩阵设矩阵111012 ,000a则显然则显然a的秩为的秩为2， a的行向量组为的行向量组为1=(1,1,1), 2=(0,1,2), 3=(0,0,0).易见易见, 1, 2是是a的行向量组的一个极大无关组的行向量组的一个极大无关组, 因此因此a的行的行秩是秩是2。 a的列向量组为1231110 ,1 ,2 .000 由于由于1， 2线性无关，线性无关， 3=22- - 1，故故1， 2是是a的列向的列向

9、量组的一个极大无关组，因而量组的一个极大无关组，因而a的列秩为的列秩为2。 在例在例2中，我们发现矩阵的秩等于其行秩和列秩。那中，我们发现矩阵的秩等于其行秩和列秩。那末，这一结论是否具有普遍意义呢？下面的定理回答了末，这一结论是否具有普遍意义呢？下面的定理回答了这个问题。这个问题。 定理定理3.4 矩阵的秩矩阵的秩等于其等于其行秩行秩，也等于其，也等于其列秩列秩。 证明证明 设设a = (1,2,m )，r(a) = r ，并设，并设 r 阶子式阶子式 dr 0 。根据推论。根据推论2.1，和，和dr 0知知dr所在的所在的r个列向量线性个列向量线性无关；又由于无关；又由于a中所有中所有r+1

10、阶子式均为零阶子式均为零,知知 a中任意中任意 r+1个个列向量都线性相关。因此列向量都线性相关。因此dr所在的所在的 r 列是列是 a的列向量组的的列向量组的一个极大无关组一个极大无关组,所以所以a的列秩等于的列秩等于r。即矩阵。即矩阵a的秩等于的秩等于a的列秩。的列秩。 同理可证矩阵同理可证矩阵a的行向量组的秩也等于的行向量组的秩也等于r(a) 。 由此可见：若由此可见：若dr是矩阵是矩阵a的一个最高阶非零子式，则的一个最高阶非零子式，则dr所在的所在的r列即是列向量组的一个极大无关组，列即是列向量组的一个极大无关组， dr所在的所在的r行即是行向量组的一个极大无关组。因为初等变换不改变行

11、即是行向量组的一个极大无关组。因为初等变换不改变矩阵的秩，从而不改变其行秩和列秩，所以用初等变换可矩阵的秩，从而不改变其行秩和列秩，所以用初等变换可以求向量组的秩和极大无关组。以求向量组的秩和极大无关组。例例3 设矩阵设矩阵求矩阵求矩阵a的列向量组的一个极大无关组，并把不是极大无的列向量组的一个极大无关组，并把不是极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。关组的列向量用极大无关组线性表示。解解 对对a施行初等行变换，使之变成施行初等行变换，使之变成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵2111203316112141121446224044403697903343a21112112144622436979,a

12、 显然显然r(a) = 3, 故列向量组的极大无关组含故列向量组的极大无关组含 3个列向量。个列向量。而三个非零行的非零首元在而三个非零行的非零首元在1、2、4三列上，故三列上，故 1, 2, 4为列向量组的一个极大无关组。这是因为：为列向量组的一个极大无关组。这是因为：知知 r(1,2,4 ) = 3, 故故1,2,4线性无关。线性无关。11214000260111000039 11214011100001300000, 124111011001000,行变换 为把为把3,5 用用1,2,4线性表示，把线性表示，把 a 再变成行最简形再变成行最简形矩阵矩阵101040110300013000

13、00,a 即得即得3 = 12，5 = 41 + 3234。 定理定理3.5 设设a、b均为均为mn矩阵，则矩阵，则r(a+b)r(a)+r(b)。 证明证明 显然显然a+b的列向量组可由的列向量组可由a的列向量组和的列向量组和b的列的列向量组线性表示。设向量组线性表示。设r(a)=s， r(b)=t，不妨设不妨设1, 2, , s是是a的列向量组的一个极大无关组，的列向量组的一个极大无关组，1, 2, , t是是b列向量列向量组的一个极大无关组。由于向量组与它的极大无关组等价组的一个极大无关组。由于向量组与它的极大无关组等价,由传递性知由传递性知a+b的列向量组可由向量组的列向量组可由向量组1, 2, , s, 1, 2, , t线性表示线性表示,根据定理根据定理3.2，有，有r(a+b) = (a+b)的列秩的列秩 s+t = r(a)+r(b)。 r(1, 2, , s, 1, 2, , t ) 定理定理3.6 设设cmp= amn bnp， 则则 证明证明 将矩阵将矩阵c 和和 a用其列向量表示为用其列向量表示为c = ( c1,c2,cn ) , a = ( a1,a2,an )