初一数学：平方根与立方根的综合应用

1、课程信息年级七年级学科数学版 本通用版课程标题平方根与立方根的综合运用平方根和立方根的区别与联系:平方根立方根定义如果一个数的平方等于a,那 么这个数叫做a的平方根。其 中正数a的正的平方根称算 术平方根。如果一个数的立方等于a,那 么这个数就称为a的立方根， 例如：x的立方=a, x就是a 的立方根。性质（1）正数的平方根都有两个， 它们互为相反数。（2）0的平方根是它本身。（3）负数没有平方根。（1）任何数都有立力根，且 都只有一个立方根。（2）正数的立方根是正数， 负数的立方根是负数，0的立 方根是0。个数有2个，并且互为相反数（0 的只有一个）。只有唯一一个取值范围非负数所有实数表示方

2、法记为“、历”读作“根号a”， 其中d叫被开方数，2叫根指 数，通常省略不写。例如： ±的表示9的平方根，蔚表 示是9的算术平方根。记作扬，读作：“三次根号 ci”，其屮g叫被开方数，3 叫根指数，不能省略，若省略 表示平方。例如：“27表示 27的立方根。运算力式开方运算，是乘方运算的逆运 算，可以通过平方来检验。开方运算，是乘方运算的逆运 算，可以通过立方来检验。例题1 一届的立方根是（）a. -8b. -4c. -2d.不存在解析：先根据算术平方根的定义求出-届，再根据立方根的定义进行计算。 答案：解：一辰=一8,v64的立方根是一2。故选c。点拨：本题考查了立方根的定义、算术

3、平方根的定义，先化简一個是解题的关键。例题2 （高淳县一模）在2的平方根是2的平方根是±v2;2的立方根 是务0 2的立方根是士紡中，正确的结论有几个（）a. 1个b. 2个c. 3个d. 4个解析：根据立方根、平方根的定义分别求出2的平方根与立方根，则可求得答案。 答案：解：2的平方根是士伍，2的立方根是越，正确，错误；正确的结论有2个。故选b。点拨：此题主要考查了平方根与立方根的定义和性质。注意熟记定义是解此题的关键。例题(1)判断下列各式是否正确成立。 i陳=20也(2)(3)(4)判断完以后，你有什么体会？你能否得到更一般的结论？若能，请写出你的一般结论。 解析：经过对上述式

4、子的计算，可得出式子均正确，故可得出结论为3n 3 nn3-l vn3-1 答案：解：由已知能。(1)(2)(3)(4)经观察发现，上述的等式均满足这样的规律:3门4=叫华，n3-l 忖 _n _31 n点拨：本题要求学生具有一定的观察能力和总结规律的能力。故推广后可得31.如果一个有理数的平方根和立方根相同，那么这个数是（）a. ± ib.oc. 1d 0 和 12. 如果需巨是数a的立方根，一爭是b的一个平方根，则a叭（一b） °等于（）a. 2b. -2c. 1d. 13. 耍使斯（4_& 上a - 4，则a的取值范围是（）a. a>4b. a <

5、4c. a = 4d.任意数4. 下列说法：（1）1的平方根是1； （2） -1的平方根是一 1； （3） 0的平方根是0； （4） 1是1的平方根；（5）只有正数才有立方根。其中正确的有（）a. 1个b.2个c. 3个d.4个5. （黄冈）下列说法中正确的是（）a. 两是一个无理数b. 函数尸/ 1的自变量x的取值范圉是x>lc. 8的立方根是±2d. 若点p （-2, a）和点q （b, -3）关于x轴对称，则a+b的值为56. 一个自然数a的算术平歹根为x,贝0 a+1的立方根是（）久b.引 &+1） 2 c.d.7. 若一个数的平方根为±8,则这个数的

6、立方根为o8. 已知昕是m的立方根，尸循三是x的相反数，且m = 3a-7,那么x的平方根是o9. 务丽的平方根是: （-5） 2的算术平方根是-10. 一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，求这个数。11. 己知：x-2的平方根是±2, 2x + y+7的立方根是3,求x2+y2的算术平方根。12. 王老师有两个棱长为40cm的正方体纸箱，都装满了书，他现在把这些书都放入一个 新制的正方体木箱中，正好装满，那么这个木箱的棱长大约是多少？想想看。（结果精确到 0.01 cm）1. b解析：根据平方根和立方根的概念可知，一个有理数的平方根和立方根相同，那么 这个数是0。所以，

7、0的平方根和立方根相同。故选b。2. b解析：此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个 数是哪一个数的立方。由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根。注意 一个数的立方根与原数的性质符号相同。先根据立方根、平方根的定义求出a、b的值，再 代入所求代数式中计算即可求解。由题意得，a=2, b=22所以 3畋（-b） 9= （-2） ,（）x （丄）9=223. c解析：此题主要考查开立方。求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一 个数的立方。由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根。注意一个数的 立方根与原数的符号相同。由立方根的定义可

8、知，此时根式的值应为4 a,再由题意可得a 4=4 a,由此即可求出a的值。故选c。4. b解析：此题主要考查了平方根的定义，注意：一个非负数的平方根有两个，一正一 负。正值为算术平方根。（1）根据平方根的定义即可判定；1的平方根是±1，故说法错误；（2）根据平方根的定义即可判定；一1的平方根是一1,负数没有平方根，故说法错谋;（3）根据平方根的定义即可判定；0的平方根是0,故说法正确；（4）根据平方根的定义即可判定；1是1的平方根，故说法正确；（5）利用立方根的定义分析即可判定。只有正数才有立方根，不对，负数也有立方根, 故说法错误。故选b。5. b解析：判断一个数是否是无理数，应

9、先化简后判断；二次根式有意义的条件是被开 方数大于或等于0,分式有意义的条件是分母不等于0；掌握立方根的性质和关于x轴对称 的两点的坐标之间的关系。a. 丙=2,是一个有理数，故a错误；c. 正数有一个正的立方根，故c错课；d. 两点若关于x轴对称，则横坐标相等，纵坐标互为相反数，得a=3, b=2,则a+b =1,故d错误；b. 根据二次根式和分式有意义的条件得x>l,故b正确；故选b。6. d 解析：此题考查了立方根及算术平方根的知识，关键是根据这个数的算术平方根表 示出这个数，难度一般。根据这个数的算术平方根可得出这个数a,继而可得出下一个a+1 的立方根。由题意得这个数为：x2,

10、故a+1为：x2+1, a+1的立方根为:故选d。7.4解析：此题主要考查了立方根、平方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要 求的这个数是哪一个数的立方。由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方 根。 （±8） 4,a64的立方根为4。故答案：4o8. ±v2解析：rfl于x=a+听是m的立方根，所以a+b=3，而尸刃b 一 6是x的相 反数，所以 m=- (b-6),而 m = 3a7,代入 m = (b6),得 3a-7 = - (b-6), 联立解方程组即可求出a、b,然后就可以求出x的平方根。7x=a+vm是m的立方根，aa+b=3 ，而尸托飞是x的

11、相反数，：m= (b 6),而 m = 3a7,代入 m= (b6)，得 3a-7 = - (t 联立得：<-(b-6)，严z3* 3a-7=- (b-6)v.解之得：8二 5b二 一2/m=3a7=8,-x=x的平方根是±迈。 故答案为：±v29, ±v7 , 5解析：根据立方根的定义求出勿丽的值，再根据平方根的定义进行计算即 可求解；先求汕(-5) 2的值是25,再根据算术平方根的定义进行计算。v73=343,a 343=7,i暂莎的平方根是士听；t (5) 2=25,又 52=25,(-5) $的算术平方根是5。故答案为：土听，5。10. 0或64解：设这个数为x,根据已知条件即可列出关于x的方程，先在方程的两边 同吋6次方，去掉根号后，再解方程即可。设这个数为x,x2 (x 一 64) = 0 => x = 0或兀=64 o故这个数是0或64。11. x2+y2的算术平方根为10解析：根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x-2 =4, 2x + y+7 = 27,列方程解出x、y,最后代入代数式求解即可。解：tx2的平方根是±2,/x 2=4,v2x+y+7的立方根是32x+y + 7=27把x的值代入解得：y = 8,ax2+y2的算术平方