第五次复变函数的积分(一)

1、 第五讲 复变函数的积分（一）1. 复变函数积分概念2. 解析函数的积分3. 柯西公式2.1 复变函数积分复变函数积分1. 复平面上的有向光滑曲线（1） 复平面上曲线的参数方程表示.),(),(ttyytxxoxy),(yxC或.),()()(ttiytxtz例1.复平面上的直线xy可表示为：.,ttytx或.,)1()(ttitittzoxy例2.复平面上单位圆1z可表示为：.20,sin,costtytx或.20,sincos)(ttittzoxy为连续曲线；则称上连续在区间、）若函数（，设复平面上曲线CtytxittyytxxC,)()()()(:光滑或分段光滑曲线今后约定C:).(因因

2、而而可可求求长长注注为分段光滑曲线。则称，而成，连接点处无切线由若干段光滑曲线连接若曲线CC（2） 复平面上的连续、光滑曲线.0)()(,)()()(22是光滑曲线则称曲线，上有连续导数，且在区间、若函数Ctytxtytxii是光滑曲线；ttitz,)1()(例如：直线L:是光滑曲线；20,sincos)(ttittz圆C:折线段C=AHB:.11,)1()(是分段光滑曲线titttzoxyABH一直在观察者的左边。曲线的内部周顺此方向沿曲线前进一闭曲线的正向：观察者,.点的曲线称为有向曲线指定了曲线的起点与终CA(起点起点)B(终点终点)C.:曲线不自交起点与终点不重合，且有向开曲线.起点与

3、终点外不自交起点与终点重合，且除有向闭曲线：.起点到终点的方向开曲线的正向：.起点的方向开曲线的负向：终点到（3） 复平面上的有向光滑曲线（i）复平面上的有向曲线：）复平面上的有向曲线：（ii）复平面上的有向曲线的正向：）复平面上的有向曲线的正向：.CC的负向曲线记作.方向相反的方向闭曲线的负向：与正向C=C1+C2C1C2注：注：.:),(:,:),(),(:ttzzCttyytxxCCBAC或表示为则，对应参数值，终点对应参数值的起点设有向曲线注注方向。的境界线正向为逆时针有界单连通区域D取顺时针方向。均线取逆时针方向，内境界向为外境界线的正的境界线有界多连通区域nnCCCCCCD,11

4、（4） 复平面上的有向曲线的参数方程表示BzzzAnABLn,:)3(10小弧段个任意分划成将kkkkkzfzz)(,)4(1作乘积,max,)()5(1111knkkkkkkknkkknSzzSzzzzfS的长度为记作和式,)()1(Dzzfw设定义定义.)2(的一条光滑有向曲线点内点为区域BADLDABxyo1 1z1 kzk kz1 nzkz 2. 复变函数的积分,)(lim1)(0Izfnkkkn若如如何何取取无无论论如如何何分分割割iC ,LdzzfLzf,)(,)(记作的积分沿曲线为则称.)(,)(lim)(1的积分存在沿并称即LzfzfdzzfnkkknLA ;)()()(LLd

5、zzfdzzfi记记作作闭闭曲曲线线若若L L，则积分为.,)()()(关形状和的一般还不仅则存在如果方方向向有有与与曲曲线线有有关关, ,与与, ,LBAdzzfdzzfiiLL3. 复变函数积分的计算方法存在，且即可积沿则上连续在有向光滑曲线若LdzzfLzfLyxivyxuzf)(,)(,),(),()(命题命题1LLLudyvdxivdyudxdzzf)(Lidydxivu)(记忆注：注：.)()()(21ttLdttztzfdzzf.)()(曲线积分等数学中的两个第二类的实部与虚部相当于高Ldzzfiii注：复变函数积分的计算公式注：复变函数积分的计算公式)(LLLudyvdxivd

6、yudxdzzf则2121)()()()()(),()()(),()()(),(ttttdttytytxutxtytxvidttytytxvtxtytxu21)()()(),()(),(ttdttyitxtytxivtytxu21)()(ttdttztzf,:),()()(21ttttiytxtzL的参数方程为若有向光滑曲线；则分段光滑曲线若nLLLLndzzfdzzfLLLL)()(),()42121.()()()()(,)5估值性）则上满足在函数的长度为设MSdszfdzzfMzfLzfSLLL；LLdzzfdzzf)()()1；LLdzzfkdzzkf)()()2；LLLdzzgdzzf

7、dzzgzf)()()()()34. 复变函数积分的性质证明： 见P51-52.)4 ,3()0 ,3()4 ,3(,)2(,)Re()1(:的折线虚轴的直线到点再沿平行于沿实轴到点是从原点）（的直线段；到点是从原点）（其中计算ABOLiiAOLizdzdzzLL例例1.1227)(,1227)()2(iiiii答案：答案：AoxyB5. 举例;1229)(,629)()1(iiiii.1;,1,2121向的下半圆周，逆时针方是单位圆顺时针方向的上半圆周是单位圆其中的值计算zLzLdzzdzzLLi) 1答案答案.)2i例例2xyoz.,)(010为整数为半径的正向圆周为中心表示以这里计算nr

8、zLzzdzLn例例3,20:0irezzL提示提示oxy irezz 0 z0zrC逆时针，故,:0rzzL 0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznLn 记记住住这这个个结结果果! !A 答案答案注注1与积分路经无关。的形状无关，则称而与有关，和终点的起点仅与积分曲线若积分LLdzzfLBALdzzf)()(注注2.0)(,)(LLdzzfLDdzzfD有内任一闭曲线沿区域与积分路经无关。中，积分在平面区域例如：例如：与积分路经有关。中的积分例与积分路经无关；中的积分例LLdzzzdz21.)()(BALdzzfdzzf可记成此时，1. 区域的连通阶数（1） 有界区域D,0

9、0RzzR都满足内每一点，使区域若存在正实数D无界区域。为有界区域。否则称为则称D例如： 是有界区域；：圆盘razD是有界区域；：圆环域21razrD.4arg0是无界区域：角状区域zD2.2 解析函数的积分解析函数的积分xyoar（有界区域）xyo（有界区域）xyoD（无界区域）（2） 围线，端点相接连续曲线称为简单曲线除端点外本身不相交的.曲线，或约当闭曲线的简单曲线称为简单闭,),(:ttzzL)()(zz围线，即简单闭曲线）(非简单闭曲线）()()(zz（3） 单连通区域.称为围线分段光滑的简单闭曲线含线，曲线所围内部都只中无论怎样画约当闭曲如果在区域D. 否则为多连通区域为单连通区域

10、的点，则称区域DD.向围线的方向是曲线的正（4） 区域的连通阶数线构成，则约当的边界由几条约当闭曲如果是有界区域设DD.的连通阶数闭曲线的个数称为区域注：有界单连通区域的连通阶数为一.连通阶数大于一的有界区域是多连通区域.)(iv)(iii)(ii)(i都是单连通区域，、区域)()(iii它们都是是三连通区域是二连通区域，区域区域.)()(iviii.多连通区域2. 单连通区域上的柯西定理单连通区域上的柯西定理 设设f (z)在单连通区域在单连通区域D内内解析，则对任意解析，则对任意两点两点z0, z1D, 积分积分L f (z)dz不依赖于连接起点不依赖于连接起点z0与终点与终点z1的曲线，

11、的曲线，即积分与路径无关即积分与路径无关。证明：证明： 因为f (z)在单连通区域D内解析， 所以由高阶导数定理知，f(z)有二阶导数，从而f(z)有一阶连续导数。有连续偏导数，与则设),(),(,)(yxvvyxuuivuzf.,xvyuyvxuRC方程：并且满足与路径无关，积分积分于是，由高等数学知，Ludyvdx而也与积分路径无关，从LvdyudxLLLudyvdxivdyudxdzzf)(.也与积分路径无关证毕柯西定理的另一种形式：柯西定理的另一种形式：1C2C0z1zD.0)(,)(CdzzfDCDzzf围线，则内任一条为内解析平面上单连通区域在若证明：证明： 由图可见，有向曲线C1

12、与C2-构成单连通区域D内的围线C，则21)()()(CCCdzzfdzzfdzzf,)()(2CCdzzfdzzf,)()(21CCdzzfdzzf由柯西定理知，.0)(Cdzzf故证毕.注注1容易证明，柯西定理的这两种形式是等价的.注注2：在研究解析函数解析之初，人们将区域D上的解析函数f(z)定义为f(z)在D内可导，且导函数连续。定根据这一定义给出了年CauchyRiemann1851.理的上述简单证明0)()(1825cdzzfCDzfDCauchy的积分内沿任一条闭曲线在内处处解析的单连通区域给出了年注注3.)(,1900这一条件去掉了连续将且定理的新证明给出了年zfCauchyG

13、oursat注注4.)(:,内存在在改为从此解析函数的定义修定理为因此这一柯西定理也称DzfGoursatCauchy注注5由于单连通区域D上的复变函数f(z)沿起点为A,终点为B的曲线L的积分与L的形状无关，故简记为.)(BAdzzf.,)(,定理仍成立定理仍成立解析解析上上在在的边界的边界为为若若则有界单连通区域DCDzfDC注注6.,)(,定定理理仍仍成成立立上上在在D D的的边边界界为为若若则连续在内解析，有界单连通区域DCDzfDC3. 多连通区域上的柯西定理多连通区域上的柯西定理:)()(,)(时针方向）的积分之和沿各内境界线（逆向）的积分等于沿外境界线（逆时针方上连续，则内解析平

14、面上多连通区域在设zfzfDDzzf.)()(1 niccidzzfdzzf.0)(21dzzfCCCCn的边界，则多连通区域为若记DDC1C2C证明：（ 见P55）推论：推论：.)(续变形时，积分值不变的解析区域中，围线连在zf1C2C例例4积分路经取正向。求积分,53zzdzxy-28答案答案i2C3C.)()()()(321CCCCdzzfdzzfdzzfdzzfo32.3 Cauchy公式公式利用利用Cauchy定理，在多连通域上导出一个用边界定理，在多连通域上导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式值表示解析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了该公式不仅给出了解析函数的一个积分

15、表达式，从而成为研究解析函数的解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的1. 单连通区域上的柯西公式定理定理有内任何一点则对于上连续，在内解析在有界单连通区域设,)(aDDDzfdzazzfiaf)(21)(的正向境界。是区域其中D方法方法.).(2)(lim:,)()(,0aifdzazzfCdzazzfdzazzfazzCCC故只须证明无关的半径与的推论，由柯西定理的内部设证明：证明：dzazzfiaf)(21)(),(2)(1)()(,aifdeieafdzazafdzazafeazii

16、CCi20 则令（柯西公式）,)()(max)()(max2112)()(max)()(21)()(21)()(21afzfafzfdzdzazafzfdzazafzfdzazafzfiafdzazzfiCCCCCCCC.)(21)(, 0)()(21)()(21dzazzfiafafdzazzfiafdzazzfiC即,0)()(max0)(afzfazazazzfC时，即，处连续，因而处解析，故在在点而证毕.2. 多连通区域上的柯西公式定理定理2有内任何一点则对于上连续，在内解析在有界复连通区域设,)(aDDDzfdzazzfiaf)(21)(的正向境界。是区域其中D证明： 适当添加辅助线

17、，使多连通区域分割成单连通区域，然后运用单连通区域上的柯西公式即可。（详见P59）解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值 .推论：推论：.)Re(21)(21)(Re:,200000dzfdzzzzfizfzziLi，则若即A . . , ,f f( (z z) ) . .D D公公式式也就确定了的值则它在区域内部任一处界上的值一经确定在区域边即若表示可以用它在边界的值来内部任一点的值表明函数在区域柯西例例52.1zzdzze计算3. 举例解解内，位于圆21,)(zaezfz由柯西公式，2.2) 1 (21zzeiifdzze例例653.1zdzz

18、计算解解, 1)(53zfza内，位于圆由柯西公式，53.2)(21ziifdzz例例713.3zdzzz计算解解,13133内解析在圆域内，故函数不位于圆zzzza由柯西定理，13. 03zdzzz.1122线线在在内内的的任任意意简简单单正正向向曲曲为为包包含含求求 zCdzzzzC例例8 21222121212CCCdzzzzdzzzzdzzzz解解CC1C21xyo 21112112CCdzzzzdzzzziizzizzzz4 2122112104. 小结：小结：复变函数积分概念)1(nkkknLzfdzzf1)(lim)(复变函数积分计算)2(:)()()(:ttiytxtzzL设有向光滑曲线)(LLLudyvdxivdyudxdzzf则则dttytytxutxtytxvidttytytxvtxtytxudzzfL)()()()()(),()()(),()()(),()( .)()()(dttztz