高等数学张明望D92二重积分的计算法

1、目录 上页 下页 返回 结束 一、直角坐标系中二重积分的计算一、直角坐标系中二重积分的计算二、极坐标中二重积分的计算二、极坐标中二重积分的计算 二重积分的计算法目录 上页 下页 返回 结束 X型区域的特点：穿过区域且平行于型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点. .bxaxyxyxD, )()(,21O)(1xy)(2xyxbyDax目录 上页 下页 返回 结束 Y型区域的特点：穿过区域且平行于型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直轴的直线与区域边界相交不多于两个交点线与区域边界相交不多于两个交点.dycyxyyxD, )()(

2、,21Oydcx)(2yx)(1yxy目录 上页 下页 返回 结束 yyxfxxxbad),(d)()(21xbad 任取任取, ,0bax 平面平面0 xx 故曲顶柱体体积为故曲顶柱体体积为( , )dDVf x yyyxfxAxxd),()()()(000201截面积为截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱体的截柱体的)(2xy)(1xy0 x),(yxfz zxyabDO记作记作 0),(yxf当被积函数且在且在D上连续上连续 时，时，bxaxyxyxD),()(,21目录 上页 下页 返回 结束 ydcd dycyxyyxD),()(),(21同样同样, 曲顶柱

3、体的底为曲顶柱体的底为则其体积可按如下两次积分计算则其体积可按如下两次积分计算( , )dDVf x yxyxfyyd),()()(21xyxfyyd),()()(21dcydOydcx)(2yx)(1yxy记作记作 Oy)(1yx)(2yxxdc目录 上页 下页 返回 结束 ),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非负均非负1( , )d d( , )d dDDf x yx yf x yx y在在D上变号时上变号时,因此上面讨论的累次积分法仍然有效因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .由于由于2( , )d dDfx yx y目

4、录 上页 下页 返回 结束 xyOxyDODyxyxfdd),(为计算方便为计算方便,可选择积分序可选择积分序, 必要时还可以交换积分序必要时还可以交换积分序.)(2xyba)(1yx)(2yxdc则有则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2) 若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干2D1D3DX - 型域或型域或Y - 型域型域 , 321DDDD则则 目录 上页 下页 返回 结束 xy 1解解积分区域如图积分区域如图例例1. 改变积分改变积分1100d,dxxf x yy的次序的次序 .1100d,dyyf

5、x yx原原式式= =目录 上页 下页 返回 结束 xy 222xxy 原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解积分区域如图积分区域如图目录 上页 下页 返回 结束 222802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 积分域由两部分组成积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxO222280:22xxyD21DDD将:D视为视为Y - 型区域型区域 , 则则282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy1D221xy 目录 上页 下页 返回 结束 解解两两曲曲线线的的交交点点),1 , 1( ,)

6、0 , 0(22 yxxyd dDx y210ddxxxy120dxxx312xy 2yx 2xy 2yx 例例 4. 求由抛物线求由抛物线2xy 和2yx 所围平面闭所围平面闭区域区域 D 的面积的面积. 目录 上页 下页 返回 结束 121221d yd ,DIxy其中其中D 是直线是直线 y1, x2, 及及yx 所围的闭区域所围的闭区域. 解法解法1. 将将D看作看作X - 型区域型区域, 则则:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 将将D看作看作Y - 型区域型区域, 则则:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy8

7、91xy2xy 121 x2 xy21 yxy xyxyO目录 上页 下页 返回 结束 d ,Dxy其中其中D 是抛物线是抛物线xy 2所围成的闭区域所围成的闭区域. 解解: 为计算简便为计算简便, 先对先对 x 后对后对 y 积分积分,:Dxyx ddDxy21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214Oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线及直线则则 目录 上页 下页 返回 结束 sind d ,Dxx yx其中其中D 是直线是直线 ,0,yxy所围成的闭区域所围成的闭区域.OxyDxxy 解解: 由被积

8、函数可知由被积函数可知,因此取因此取D 为为X - 型域型域 :00:xxyDsind dDxx yxxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对先对 x 积分不行积分不行, 目录 上页 下页 返回 结束 解解 积积分分时时必必须须考考虑虑次次序序22ed dyDxx y21200dedyyyxx2310ed3yyy22120ed6yyy12(1).6e例例 8. 求求 Dydxdyex22，其中，其中 D 是以是以),1 , 1(),0 , 0( )1 , 0(为为顶点的三角形顶点的三角形. . 目录 上页 下页 返回 结束 解解 121)(dxeexx.2183ee 2xy x

9、y 目录 上页 下页 返回 结束 2ln1d d ,DIxyyx y其中其中D 由由,42xy1,3xxy所围成所围成.Oyx124xyxy32D1D1x解解: 令令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如图所示如图所示)显然显然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxf12ln1d dDIxyyx y0422ln1d dDxyyx y目录 上页 下页 返回 结束 解解: 设两个直圆柱方程为设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性利用对称性, 考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为其曲顶柱体的顶为则所求体积为则所求体积为228d dDVRxx y22

10、0dxRyxxRRd)(80223316R222Rzx22xRz 00:),(22RxxRyDyxxxRRd8022222Ryx222RzxDxyzRRO目录 上页 下页 返回 结束 Oxkkkkkkkkksin,cos对应有对应有在极坐标系下在极坐标系下, 用同心圆用同心圆 =常数常数则除包含边界点的小区域外则除包含边界点的小区域外,小区域的面积小区域的面积kkkkkk)(21),2, 1(nkk在在k),(kkkkkkkkk221内取点内取点kkk221)(及射线及射线 =常数常数, 分划区域分划区域D 为为目录 上页 下页 返回 结束 kkkkkkknkf)sin,cos(lim10kk

11、nkkf),(lim10( , )dDf x ydd即即Df)sin,cos(ddddO目录 上页 下页 返回 结束 (1)如果极点如果极点O在积分区域在积分区域D的内部的内部20)(0:DDfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(f20dx)(DO目录 上页 下页 返回 结束 ,)()(:21D且且Dfdd)sin,cos(d)(2D)(1Ox)()(21d)sin,cos(f)(1OxD)(2目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x , y 轴相切于原点轴相切于原点,试试答答: ;0) 1 (问问 的变化范围是什么的变化范围是什么?

12、(1)(2)22)2(D)(yxO)(DyxO目录 上页 下页 返回 结束 22,xRRyRRxRyyx222(2) D2 :(1) D1 :目录 上页 下页 返回 结束 xyO36sin422d dDxyx ysin4sin22d)32(15yyx422yyx22203 yx其中其中D 为由圆为由圆所围成的所围成的22d d ,Dxyx y,222yyxyyx42203 xy及直线及直线, 03yx解：解：平面闭区域平面闭区域.03 xysin22436dD目录 上页 下页 返回 结束 22ed d ,xyDx y其中其中222:,0,0.D xyRxy解解: 在极坐标系下在极坐标系下0:,

13、02RD原式原式D20edR201e22R2(1e)4R2ex的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角故本题无法用直角2edd20d由于由于故故坐标计算坐标计算.目录 上页 下页 返回 结束 解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD , 022 yxe Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2目录 上页 下页 返回 结束 2200ededRRxyxy220(ed ) ;Rxx2200dedRrr r2(1e);4R);1(422Re 目录

14、上页 下页 返回 结束 当当 R时时,41 I,42 I故故当当 R时时,4 I即即 20)(2dxex4 ,所求广义积分所求广义积分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 目录 上页 下页 返回 结束 22224azyx被圆柱面被圆柱面xayx222)0( a所截得的所截得的(含在柱面内的含在柱面内的)立体的体积立体的体积. 解解: 设设由对称性可知由对称性可知20,cos20:aD2244d dDVa 20d4cos2022d4aad)sin1 (3322033a)322(3323axya2DO2 cosaxyza2O目录 上页 下页 返回

15、结束 ,dd)sin(2222yxyxyxD2226yxz所围成所围成的立体体积的立体体积. 222yxz及及 其中积分区域其中积分区域.41),(22yxyxD例例17.计算二重积分计算二重积分目录 上页 下页 返回 结束 (1) 二重积分化为二次积分的方法二重积分化为二次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 : 若积分区域为若积分区域为bxaxyyxyyxD, )()(),(21则则21( )( )( , )dd( , )dbyxayxDf x yxf x yy 若积分区域为若积分区域为dycyxxyxyxD, )()(),(21则则21( )( )( , )dd( , )ddxycxy

16、Df x yyf x yx)(1xyy )(2xyy xybaDOxy)(1yxx Ddc)(2yxx O目录 上页 下页 返回 结束 , )()(),(21D( , )d( cos ,sin)DDf x yf 则则)()(21d)sin,cos(dfdd)(2D)(1Ox目录 上页 下页 返回 结束 画出积分域画出积分域 选择坐标系选择坐标系 确定积分序确定积分序 写出积分限写出积分限 计算要简便计算要简便,域边界应尽量多为坐标线域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少积分域分块要少累次积分好算为妙累次积分好算为妙图示法图示法不等式不等式充分利用对称性充分利用对称性目录 上页 下页 返回 结束 yx1xy 1O1. 设设, 1 ,0)(Cxf且且,d)(10Axxf求求.d)()(d110yyfxfxIx提示提示: 交换积分顺序后交换积分顺序后, x , y互换互换 yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyfxxf2A目录 上页 下页 返回 结束 )0(d),(dcos022afIa提示提示: 积分域如图积分域如图cosaxaOaarccosa0daarccosaar