第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)

1、 DFS 和 DFT 的导出 DFS 和 DFT 的性质 Z 变换与 DFS 的关系 FFT IDFT 频谱分析频谱分析第三章第三章 DFT离散付氏变换离散付氏变换 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系2n 连续信号连续信号 xa(t)，其傅里叶变换为：，其傅里叶变换为： xa(t) 为为时域连续信号时域连续信号 Xa() 为为频域连续信号频域连续信号()( )jtaaXx t edt 1( )()2jtaated xX3.1 问题的提出：连续信号的傅里叶变换问题的提出：连续信号的傅里叶变换 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系3n 离散信号在两种变换域中的表示方法离散信号在两种变换域

2、中的表示方法 （1）离散时间傅里叶变换）离散时间傅里叶变换 DTFT - 提供了绝对可加的离散时间序列提供了绝对可加的离散时间序列在频域（在频域（）中的表示方法。）中的表示方法。 （2）Z 变换变换 - 提供任意序列的提供任意序列的 z 域表示。域表示。()( )jwjnwnX ex n e 这两种变换有两个共同特征：这两种变换有两个共同特征： （1）变换适合于变换适合于无限长序列无限长序列 （2）它们是）它们是连续变量连续变量 或或 z 的函数的函数( )( )nnX zx n z 3.1 问题的提出：离散信号的变换问题的提出：离散信号的变换 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系4n问题

3、：问题：X(z)，X(ejw) 都是连续的，都是连续的，利用计算机处理有困难，例如使用利用计算机处理有困难，例如使用 Matlab，因此，因此 提出了在频域内取样，使频谱离散化的问题；提出了在频域内取样，使频谱离散化的问题； 必须截断序列，得到有限个点的序列。必须截断序列，得到有限个点的序列。n目标：目标：我们需要得到一个我们需要得到一个可进行数值计算可进行数值计算的变换的变换n方法：方法： （1 1）DTFT - 频域中原始信号频谱的周期拓展频域中原始信号频谱的周期拓展 （2）对对 DTFT 在频域中采样在频域中采样 - DFS （3）将将 DFS 推广到有限持续时间序列推广到有限持续时间序

4、列 DFT （DFT 避免了前面提到的那两个问题，并且它是计算机可实现避免了前面提到的那两个问题，并且它是计算机可实现 的变换方式。）的变换方式。）nDFT DFT 已成为已成为 DSP DSP 算法中的核心变换，算法中的核心变换，原因：原因： （1 1）有限长序列傅里叶变换的重要方法）有限长序列傅里叶变换的重要方法 （2 2）有快速算法）有快速算法3.1 问题的提出：可计算性问题的提出：可计算性 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系5 时间函数时间函数 频率函数频率函数3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （1）n 非周期连续时间非周期连续时间傅里叶变

5、换傅里叶变换(FT)(FT)连续频率连续频率n 周期连续时间周期连续时间傅里叶级数傅里叶级数(FS)(FS)离散频率离散频率n 非周期离散时间非周期离散时间离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换(DTFT)(DTFT)连续频率连续频率n 周期离散时间周期离散时间离散傅里叶级数离散傅里叶级数(DFS)(DFS)离散频率离散频率 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系63.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （2）1. 连续信号（非周期）的付氏变换连续信号（非周期）的付氏变换) (txt)(XtXtx),()(deXtxtj)(21)(dtetxXtj)()(n时

6、域连续时域连续函数造成频域是函数造成频域是非周期的谱非周期的谱n时域的非周期时域的非周期造成频域是造成频域是连续的谱连续的谱 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系7 2. 周期连续时间信号：周期连续时间信号：傅里叶级数傅里叶级数 FSn 时域连续时域连续函数函数造成频域造成频域是是非周期的谱非周期的谱。n 频域的离散频域的离散对应对应时域是周期函数时域是周期函数。02021()( )TjntTX nx t edtT 0jnt0n -x(t)X(n)e 3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）时域周期时域周期频域离散频域离散)(0nXT20)(txtT

7、 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系83. 非周期离散信号：非周期离散信号：离散时间傅里叶变换离散时间傅里叶变换 DTFTn 时域的离散化时域的离散化造成频域的造成频域的周期延拓周期延拓n 时域的非周期时域的非周期对应于对应于频域的连续频域的连续3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （4）T)(nTxT2)(TjeX时域离散时域离散频域周期频域周期()()2jTjn TTTTx nTX eed 01()()()jTjn TnnX ex nT eXT 取样定理取样定理 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系94. 周期离散时间信号：离散傅里叶级数周期离

8、散时间信号：离散傅里叶级数 DFSn 一个域的离散造成另一个域的周期延拓一个域的离散造成另一个域的周期延拓n 离散傅里叶级数的时域和频域都是离散傅里叶级数的时域和频域都是离散的离散的和和周期的周期的210()()NjnkNnXkx n e2101( )( )NjnkNkx nX k eN3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式问题的提出：傅里叶变换的四种形式 (5)k02T 0()X k 12T TT1n周期取样间隔1()x nT 11 T=NTTNT 0122TNT 012NT 时域周期、离散时域周期、离散频域周期、离散频域周期、离散 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系10n四种傅里叶

9、变换形式的归纳总结：四种傅里叶变换形式的归纳总结：形式形式时间函数时间函数频率函数频率函数傅里叶傅里叶变换变换 FT连续连续非周期非周期非周期非周期连续连续傅里叶傅里叶级数级数 FS连续连续周期周期(T0)非周期非周期离散离散(0=2/T0)离散时间离散时间傅里叶变傅里叶变换换DTFT离散离散(T)非周期非周期周期周期(s=2/T)连续连续离散傅里离散傅里叶级数叶级数DFS离散离散(T)周期周期(T0)周期周期(s=2/T)离散离散(0=2/T0)离散时间函数的取样间隔：离散时间函数的取样间隔：T1，取样频率：，取样频率：112ssfT 离散频率函数的取样间隔：离散频率函数的取样间隔：F0，时

10、间周期：，时间周期：00012TF 3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （6）结论：结论： 时域中函数取样时域中函数取样(离散离散) （映射）映射）频域中函数周期重复；频域中函数周期重复； 频域中函数取样频域中函数取样 （映射）（映射） 时时域中函数周期重复；域中函数周期重复； 取样间隔取样间隔 （映射）（映射） 周期（周期（2/间隔）间隔）0nN(d) DFSk0N-N)()(nTxnx1/T)()(1kXkX-N(c) FS-mXa(k1)tTm0T1-T1)(tx11mnx(n) = xa(nT)Tm0(b) DTFTm-ms-s1/T)(XTtxa

11、(t)Tm0(a) FTm-mXa()时域中函数的取样和频域中函数的取样时域中函数的取样和频域中函数的取样3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式问题的提出：傅里叶变换的四种形式 (7) 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系12n由以上讨论可以清楚地看到，由以上讨论可以清楚地看到，时域取样将引起频时域取样将引起频域的周期延拓，频域取样也将引起时域的周期延域的周期延拓，频域取样也将引起时域的周期延拓拓。n因此可以设想，如果因此可以设想，如果同时对频域和时域取样同时对频域和时域取样，其，其结果是结果是时域和频域的波形都变成离散、周期性的时域和频域的波形都变成离散、周期性的波形波形，从而我们可以

12、利用付氏级数这一工具，得，从而我们可以利用付氏级数这一工具，得到它们之间的到它们之间的离散付氏级数离散付氏级数 DFS DFS 关系关系。3.2 DFS 及其性质及其性质 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系132jNNWe n 基本关系式基本关系式 若若 r，m 都是整数都是整数,则则:2100()Njk rmNkNrmerm 221120011011()()()()()()r m Njr mNNjk r mk r mNNNr mjr mkkNNWeeWWe 其中其中:1-00NkrkmNNkNrmWWrmDFS 定义：定义：预备知识预备知识证明证明: 对于对于r=m：不论：不论 k 取

13、何值，显然等式成立。取何值，显然等式成立。 对于对于rm： 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系14n 为了推导为了推导 的关系，作下列变量代换：的关系，作下列变量代换：时域：时域：频域：频域：n 则得：则得：n)(nx01Nk)(kX01NDFS10()()DFSx nTX k 1nTn0kk ?DFS 定义：定义：正变换正变换 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系15n 周期离散序列的周期离散序列的 Z Z 变换存在（收敛）的问题变换存在（收敛）的问题 因为周期离散序列，因为周期离散序列， 而对于周期信号，严格数学意义上讲，其而对于周期信号，严格数学意义上讲，其 Z 变换不收敛，变

14、换不收敛，因为：因为： 而对于而对于 找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函数，其数，其 Z 变换：变换：()(),x nx nNmm 为为 整整 数数( )( )nnX zx n z ( )nnx nz DFS 定义：定义：正变换正变换 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系16n 其频谱：（其频谱：（ 是连续变量，需要对其离散化）是连续变量，需要对其离散化） 10)()()(NnnnnznxznxzX10)()(| )(NnjnjezenxeXzXj jeX20n)(nx0 1 21NDFS 定义：定义：正变换正变换（取取 的

15、一个主周期进行的一个主周期进行 Z 变换变换） ( )x n 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系17n 频域取样频域取样 X(ej) 是连续变量是连续变量 的周期函数，周期为的周期函数，周期为2。把。把 离散化，即在离散化，即在02区间内等间隔取区间内等间隔取 N 个点，取样间隔为个点，取样间隔为 2/N。 另一个角度看，另一个角度看， X(ej) 是是 Z 平面单位圆上的平面单位圆上的 Z 变换。连续变量变换。连续变量 的离散化也可以认为是把单位圆分的离散化也可以认为是把单位圆分 N 等分，每分为等分，每分为 2/N 。 其中：其中： 称为称为频域中的取样间隔频域中的取样间隔， 也称为

16、也称为频率分辨率频率分辨率。 2N DFS 定义：定义：正变换正变换eRmI1平面ZN2kN2 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系1822() |()( )jkjNkNX eX eX k 10( )|()( )jNjjnz enX zX ex n eDFS 定义：定义：正变换正变换21100210()( )( )( )( )NNjnknkjNnnNknNnNX kx n ex nx n We 2jNNWe 则则其中其中 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系192211200210()()()()()( )( )( )( )NNjk N njknjnNNnnNjknNnX k Nx n

17、 ex n eex n eX k 211()00( )( )( )NNjknknNNnnX kx n ex nWDFS：DFS 定义：定义：正变换正变换( )X k也仅有也仅有 0 0，1 1，N-1 N-1 个独立值个独立值, ,周期为周期为 N N。因为因为随随 k 周期变化，周期变化，仅有仅有 0，1，N-1 个独立值。个独立值。仅有仅有 0，1，N-1 个独立值。个独立值。所以所以 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系20n 反变换反变换IDFS IDFS 正变换两端乘以正变换两端乘以 ，m=0,1,N-1 然后令然后令 k=0，1，N-1 求和，得：求和，得：2jkmNe 221

18、1100021100()() ()() ()( )( )( )NNNjkmjk m nNNkknNNjk m nNnkX k ex n ex ne 2100() ()Njk m nNkNnmenm DFS 定义：定义：反变换反变换 用正交条件：用正交条件： 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系212100 11()( )( )(), ,NjkmNkn mX k ex n NNx m mN DFS 定义：定义：反变换反变换即即（只有（只有 m=n 时，才有值，而时，才有值，而 m 不等于不等于 n 时，为零，因此，时，为零，因此，x(n) 只取只取 x(m) ）2101()()( )Njkm

19、Nkx mX k eN 2110011()( )( )( )NNjknknNNkkx nX k eX k WNN 变量变量m替换为替换为n，得，得 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系22n DFS 变换对变换对：时域周期序列与频域周期序列间的关系时域周期序列与频域周期序列间的关系DFS 定义：定义：反变换反变换10101()()()()NknNnNknNkX kx n Wx nX k WN 2jNNWe 其中其中 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系23n 在什么条件下不产生混迭失真？在什么条件下不产生混迭失真？ 频率取样频率取样 频率取样：若时间信号有限长，当满足下列条件时，频率取

20、样：若时间信号有限长，当满足下列条件时，X(ej) 的样本值的样本值 X(k) 能不失真的恢复成原信号。能不失真的恢复成原信号。 为了避免时间上的混迭：为了避免时间上的混迭： （1）必须是时间限制（有限时宽）必须是时间限制（有限时宽） （2）取样频率间隔小于）取样频率间隔小于2( )()|jkNX kX e 00122 NNT 或或DFS 定义：定义：几点说明几点说明( ),01( )0,x nnNx n 其其它它 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系24n 频率分量频率分量 如果变量如果变量 DFS 可表示为：可表示为： 因此，因此，时域时域 n n 及频域及频域 k k 都是有物理意义

21、的都是有物理意义的。01,kknTn10)2(10)()(NnknNjenTxkX10)2(11)2(1)(NkknNjeNTkXNnTxDFS 定义：定义：几点说明几点说明（指数项（指数项 kn 不变）不变） 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系25更具体地，傅里叶系数的标号更具体地，傅里叶系数的标号 k 和频率和频率 f 的关系为：的关系为：所以：所以： 对应关系对应关系： 傅里叶系数标号傅里叶系数标号k ：0N 数字频率数字频率：02 模拟频率模拟频率 f ：0fs 01222skkfNTfNk sffkN DFS 定义：定义：几点说明几点说明| ( )|jHe 0000222/ss

22、Nf 2ssNf k () Hz/f 变变换换系系数数标标号号（弧弧度度，数数字字频频率率）（，模模拟拟频频率率）（弧弧度度 秒秒，模模拟拟角角频频率率） 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系26DFS 定义：定义：几点说明几点说明 频率成份频率成份直流分量直流分量： 当当 k=0 时，时， ，此时得到的傅里叶级数的系数，此时得到的傅里叶级数的系数称为信号的直流分量（称为信号的直流分量（DC Component），）， 是信号的平均值；是信号的平均值；交流分量交流分量：其它频率（其它频率（k0）称为周期信号的谐波，此时的傅里叶级数系数称为）称为周期信号的谐波，此时的傅里叶级数系数称为信号的

23、交流分量。信号的交流分量。k=1 时的频率为信号的一次谐波，或时的频率为信号的一次谐波，或基频基频，频率大小为，频率大小为 fs/N，时间为，时间为 NTs，等于完成一个周期所需要的时间。其它谐波为基频的整数倍。，等于完成一个周期所需要的时间。其它谐波为基频的整数倍。离散傅里叶级数包含了离散傅里叶级数包含了 0 到到 (N-1)fs/N 的频率，因而的频率，因而 N 个傅里叶级数的系个傅里叶级数的系数位于从数位于从 0 直到接近取样频率的频率上。直到接近取样频率的频率上。11000(0)( )( )NNnNnnXx n Wx n (0)/XN 时域时域2NsfNsfkN频域频域 华北电力大学自

24、动化系华北电力大学自动化系27DFS 定义：定义：几点说明几点说明周期信号的频谱周期信号的频谱由傅里叶系数由傅里叶系数 可得到可得到 的幅度频谱的幅度频谱 和相位频和相位频谱谱 ，不难证明，如果，不难证明，如果 是实序列，那么是实序列，那么幅度频谱是周期幅度频谱是周期性偶函数性偶函数，相位频谱是周期性奇函数相位频谱是周期性奇函数。周期信号由离散傅里叶级数周期信号由离散傅里叶级数 DFS 得到的频谱，和非周期信号由离得到的频谱，和非周期信号由离散时间傅里叶变换散时间傅里叶变换 DTFT 得到的频谱之间有重要区别。得到的频谱之间有重要区别。 DTFT 产生连续频谱产生连续频谱，这意味着频谱在所有的

25、频率处都有值，因而非，这意味着频谱在所有的频率处都有值，因而非周期信号的幅度和相位频谱是光滑无间断的曲线。周期信号的幅度和相位频谱是光滑无间断的曲线。 与之相反，与之相反，DFS 仅有仅有 N 点的频谱，仅包含有限个频率，因而周期信点的频谱，仅包含有限个频率，因而周期信号的幅度和相位频谱是号的幅度和相位频谱是线谱线谱，即相等间隔的竖线，当频谱的横坐标，即相等间隔的竖线，当频谱的横坐标变量用实际频率变量用实际频率 f 代替代替 k 时，谱线间隔为时，谱线间隔为 fs/N。并不是所有的周期信并不是所有的周期信号都含有全部谐波号都含有全部谐波，例如有些频谱只有奇次谐波，比如三角波，偶，例如有些频谱只

26、有奇次谐波，比如三角波，偶次谐波为次谐波为0，而有些频谱仅在一些谐波处的值为，而有些频谱仅在一些谐波处的值为0。( )X k ( )X karg( )X kx(n) x(n) 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系28DFS 的的 Matlab 的实现的实现由由 DFS 的定义可以看出它是一种可进行数值计算表示式，的定义可以看出它是一种可进行数值计算表示式，它可由多种方式实现。它可由多种方式实现。（1）利用循环语句 for.end 实现 为了计算每个样本为了计算每个样本 ，可用，可用 for . end 语句实现求和。语句实现求和。 为了计算所有的为了计算所有的 DFS 系数，需要另外一个系

27、数，需要另外一个for.end 循循环，这将导致运行嵌套的两个环，这将导致运行嵌套的两个for .end 循环。显然，这种循环。显然，这种方法的效率较低。方法的效率较低。 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系29设设 和和 代表序列代表序列 x(n) 和和 X(k) 主周期的列向量，主周期的列向量，则则 DFS 的正反变换表达式由下式给出：的正反变换表达式由下式给出： 其中矩阵其中矩阵 WN 由下式给出：由下式给出： )(kx)(kXXNxxXWWNN1*WWWWNNNNNNNNnk WWnkknNN2) 1(1111,011111矩阵矩阵 WN 为方阵，叫做为方阵，叫做 DFS 矩阵矩阵

28、. . （2）利用矩阵）利用矩阵矢量乘法矢量乘法 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系30function Xk = dfs(xn,N)n = 0:1:N-1; % row vector for nk = 0:1:N-1; % row vecor for kWN = exp(-j*2*pi/N); % Wn factornk = n*k; % creates a N by N matrix of nk valuesWNnk = WN . nk; % DFS matrixXk = xn * WNnk; % row vector for DFS coefficients function xn

29、 = idfs(Xk,N)n = 0:1:N-1; % row vector for nk = 0:1:N-1; % row vecor for kWN = exp(-j*2*pi/N); % Wn factornk = n*k; % creates a N by N matrix of nk valuesWNnk = WN . (-nk); % IDFS matrixxn = (Xk * WNnk)/N; % row vector for IDFS valuesDFS 的的 Matlab 的实现的实现例例 ：求出下面周期序列的 DFS 表示式 .3 , 2 , 1 , 0 , 3 , 2 ,

30、 1 , 0 , 3 , 2 , 1 , 0.,)(nx解解：上述序列的基本周期为 N=4，因而 W4 = e-j2/4 = -j， 304)()(nnkWnxkX)22()()() 3(2)()()2()22(320)()() 1 (6) 3()2() 1 ()0()()()0(3033034302302430304303004jjnxWnxXjnxWnxXjjjjnxWnxXxxxxnxWnxXnnnnnnnnnnnnnnn4( )( ), ( )8( )( )x nR nx nNx nx nDFS ：已已知知序序列列将将以以为为周周期期 进进行行周周期期延延拓拓成成，求求的的例例。 解法

31、一：数值解1780038022223888( )( )( )1NnknkNnnnknjkjkjkX kx n Wx n WWeee (1)121(3)12(0)4(2)0(1(5)121(7)1214)0(6)0XXXXXjXjXjXj 221780022243440488838( )11sin2sin8NjknjknNnnjkjkjkjkjknjkjkjkjknjkX kDFS x nx n ex n eeeeeeeeeekek 解解法法二二：公公式式解解例例: 下面给出一周期下面给出一周期“方波方波”序列：序列： 其中，其中， m=0, 1, 2,，N 是基本周期，是基本周期， L/N 是

32、占空比。是占空比。(a)确定一种用确定一种用 L 与与 N 描述的描述的 的表达式。的表达式。(b)分别画出当分别画出当 L =5, N = 20；L=5，N=40；L=5，N=60；L=7，N=60 时时 表达式。表达式。(c)对所得结果进行讨论。对所得结果进行讨论。1, ( )0,(1)1 mNnmNL1x n mNLnmN ()X k ()X k 解：解：(a) 由由 DFS 定义可得定义可得12220002211( )( )11nNjnkjnkNjkNNNnnnjLkNLjkNX kx nL , k0, N, 2N,. , otherseeeee 2(1)2sin()1sin()1LL

33、kLkLkjkjjjLkNNNNjNkkkkjjjjNNNNkLNkNeeeeeeeee 而：而： 的幅值可表示为：的幅值可表示为： ( )X k ( )sin(/)sin(/)L , k0, N, 2N,.X kkL N , othersk N b. Matlab 程序如下：程序如下：% Chapter 3: Example 3.03L = 5; N = 20;(改变参数）改变参数）x = ones(1,L), zeros(1,N-L);xn = x * ones(1,3);xn = (xn(:);n = -N:1:2*N-1;subplot(1,1,1);subplot(2,1,2);st

34、em(n,xn); xlabel(n);ylabel(xtilde(n)title(Three periods of xtilde(n)axis(-N,2*N-1,-0.5,1.5) -20-100102030-0.500.511.5nxtilde(n)Three periods of xtilde(n)1 2 3 , , x 123x 1111(1,3)2 1,1,12223333xnx one 1231(:)23123xn (:)123123123xn % Part (b)L = 5; N = 20;(改变参数）改变参数）xn = ones(1,L), zeros(1,N-L);Xk =

35、dfs(xn,N);magXk = abs(Xk(N/2+1:N) Xk(1:N/2+1);k = -N/2:N/2;subplot(2,2,1); stem(k,magXk); axis(-N/2,N/2,-0.5,5.5)xlabel(k); ylabel(Xtilde(k)title(DFS of SQ. wave: L=5, N=20)-10010012345kXtilde(k)DFS of SQ. wave: L=5, N=20-20020012345kXtilde(k)DFS of SQ. wave: L=5, N=40-20020012345kXtilde(k)DFS of SQ

36、. wave: L=5, N=60-200200246kXtilde(k)DFS of SQ. wave: L=7, N=605个峰值个峰值5个峰值个峰值5个峰值个峰值7个峰值个峰值n 注意： 是周期信号，图中只画出了从 N/2 到 N/2 的部分。n c. 从图中可以看到，方波的 DFS 系数的包络像“ Sinc ”函数， K=0 时的幅度等于 L； 同时函数的零点位于 N/L（占空比的倒数）的整数倍处； L=5 不变，N变大（即填0，但有效信息没有增加），则形状不变，只是更平滑，即获得了一个高密度谱； N=60 不变，L 变大（即增加了原始数据长度），则变换后得形状发生了变化，获得了更多的

37、信息，即高分辨率谱。( )X k 例例 ： 设设 当当 N=5、10、20、50 时，分别对其时，分别对其 Z 变换在单位圆变换在单位圆上取样，研究不同的上取样，研究不同的 N 对时域的影响。对时域的影响。( )(0.7)( )nx nu n 11( )0.710.70.7zX z , zzz 可用可用 Matlab 来实现取样运算：来实现取样运算：22/2/( )( )| .0.7kjNjk Njk Nz eeX kX z , k0, 1, e 用用 IDFS 计算，确定相应的时域序列。计算，确定相应的时域序列。解：可得解：可得 x(n) 的的 Z 变换为：变换为：% Frequency-d

38、omain sampling% x(n)=(0.7)n * u(n)% X(z)=z/(z-0.7); |z|0.7 subplot(1,1,1)N = 5; (改变参数）改变参数）k = 0:1:N-1;wk = 2*pi*k/N;zk = exp(j*wk);Xk = (zk)./(zk-0.7);xn = real(idfs(Xk,N);%只取实部，去掉产生的虚部误差只取实部，去掉产生的虚部误差xtilde = xn* ones(1,8); % 画出画出8个周期个周期 xtilde = (xtilde(:);subplot(2,2,1);stem(0:39,xtilde);axis(0,

39、40,-0.1,1.5);xlabel(n);ylabel(xtilde(n); title(N=5)0204000.511.5nxtilde(n)N=50204000.511.5nxtilde(n)N=100204000.511.5nxtilde(n)N=200204000.511.5nxtilde(n)N=40n 从图中清楚地表明在时域中出现的混叠，尤其是当从图中清楚地表明在时域中出现的混叠，尤其是当 N=5 与与 N=10 时。时。对于大的对于大的 N 值，其值，其 x(n) 的尾部足够小，实际上不会导致明显的混迭。的尾部足够小，实际上不会导致明显的混迭。这对于变换前，有效截取无限序列，

40、是非常有效的。这对于变换前，有效截取无限序列，是非常有效的。1.20201.02911.00081.0000 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系42n 线性线性11( )( )X kDFS x n 22( )( )XkDFS x n 且：且：1212( )( )( )( )DFS ax nbx naX kbX k 则则 a,b为任意常数为任意常数12 x(n) x (n) N若若： 两两个个周周期期序序列列和和，周周期期均均为为 DFS 的性质：的性质：线性线性 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系432 ()( )( )jmkmkNNDFS x nmWX keX k 11011(0

41、)111 ()() () ( ) ( )( )( )( )NnkNnNmNmk i mmkkiNNNi mi mNNmkNmkiNi NkimkkikiNNNNNimmi mmkNNiDFS x nmx nm Wx i WWx i WWx i WWx i Wx i WWx i Wnmx iiW 令令10( )NkimkNiWX k n序列的周期移位（时域）序列的周期移位（时域） 若若 是周期序列，其周期为是周期序列，其周期为N，移位后仍为周期序列，且：，移位后仍为周期序列，且：DFS 的性质：的性质：序列的周期移位序列的周期移位证明：证明：( )x n 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系

42、44n调制特性（频域周期移位）调制特性（频域周期移位）( )()nlNDFS Wx nX kl 101()0( )( )( )()NlnlnnkNNNnNl k nNnDFS Wx nWx n Wx n WX kl nm22NX (k)X(km) x (n)Wx(n)若若：则则有有：DFS 的性质：的性质：调制特性调制特性证明：证明： 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系45n 周期卷积（时域）周期卷积（时域）12 x (n) x (n) N , 设设：两两 个个 周周 期期 序序 列列和和， 周周 期期 均均 为为则则 周周 期期 卷卷 积积11( )( )DFS x nX k若若121

43、2( )( )*( )( )( )( )IDFSy nxnxnY kXkXk 则则22( )( )DFS x nXk 频域相乘频域相乘 时域卷积时域卷积周期卷积周期卷积：两个周期序列在一个周期上的线性卷积，是一种两个周期序列在一个周期上的线性卷积，是一种特殊的特殊的卷积计算形式。卷积计算形式。DFS 的性质：的性质：周期卷积周期卷积 （1）1211122100( )( )*( )()()()()NNmmy nx nx nx m x nmx m x nm 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系461211201201101112011002111()( )( )( )( )( )( )()()

44、()()NNn m kNNknNkNknNmkNmkkNmNmy nIDFS X kXkX k Xk WNXk WNx mx mxWm xNnmXk W DFS 的性质：的性质：周期卷积周期卷积 （2）证明：证明： 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系47DFS 的性质：的性质：周期卷积周期卷积 （3）0N-Nm1( )x m0N-Nm2( )x m0N-Nm220()()xmxm 0N-Nm21 ()xm （1）x1(n)和和x2(n)是周期的。是周期的。 （2）求和范围为）求和范围为一个周期一个周期（3）周期序列周）周期序列周期卷积后，序期卷积后，序列的长度仍然列的长度仍然是周期的；是

45、周期的；位置保持位置保持不变不变 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系48n序列的线性卷积与周期卷积的几点区别：序列的线性卷积与周期卷积的几点区别：线性卷积的求和对参与卷积的两个序列无任何线性卷积的求和对参与卷积的两个序列无任何 要求，要求，而周期卷积要求两个序列是周期相同的周期序列。而周期卷积要求两个序列是周期相同的周期序列。线性卷积的求和范围由两个序列的长度线性卷积的求和范围由两个序列的长度 和所在的区和所在的区间决定，间决定，而周期卷积的求和范围是一个周期而周期卷积的求和范围是一个周期 N。线性卷积所得序列的长度线性卷积所得序列的长度 (M+N-1) 由参与卷积的两由参与卷积的两个序

46、列的长度确定，个序列的长度确定，而周期卷积的结果仍是周期序而周期卷积的结果仍是周期序列列 ，且周期与原来的两个序列周期相同。，且周期与原来的两个序列周期相同。周期卷积等同于两个周期序列在一个周期上的线性卷周期卷积等同于两个周期序列在一个周期上的线性卷积计算。积计算。 DFS 的性质：的性质：周期卷积周期卷积 （4）15121200( )()()()()Nmmy nx m x nmx m x nm 解：解：例：例： 已知序列已知序列 x1(n)=R4(n)，x2(n)=(n+1)R5(n)，分别将序列以周期为分别将序列以周期为 N=6 拓展成周期序列，求拓展成周期序列，求两个周期序列的周期卷积和

47、。两个周期序列的周期卷积和。154512 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系51n 频域周期卷积频域周期卷积 利用利用 DFS DFS 的对偶性有：的对偶性有： 12( )( )( )y nxn xn 若若1011201210( ) ( )( )1( )()1( )()NnkNnNlNlY kDFS y ny n WX l XklNXl X klN 则则时域相乘时域相乘 频域卷积频域卷积DFS 的性质：的性质：周期卷积周期卷积 (5)注 意 频 域 卷注 意 频 域 卷积 的 求 和 号积 的 求 和 号前面有前面有 1/N。 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系52DFS 的性质：

48、的性质：共轭对称性共轭对称性n 由任一周期性序列由任一周期性序列 ，定义如下两个序列：，定义如下两个序列： 共轭偶对称周期性序列共轭偶对称周期性序列 共轭奇对称周期性序列共轭奇对称周期性序列 ( )exn *1( )( )()2exnx nxn0( )xn *01( )( )()2xnx nxn( )x n( )( )( )( )( )( )eoeox nx nx nx nx nx n显显然然，、和和具具有有相相同同的的周周期期，则则可可表表示示为为与与之之和和( )( )( )eox nxnxn且具有如下关系：且具有如下关系： *()( )()( )eoeoxnxnxnxn 其它对称性其它对

49、称性质见教科书质见教科书 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系53DFS 定义和性质：定义和性质：小结小结n 时域周期序列与频域周期序列的关系 DFSn DFS 的性质 重点：周期移位 调制特性 周期卷积10101( )( )( )( )NknNnNknNkX kx n Wx nX k WN 2()()()jm km kNNDFS x nmWXkeXk 1120( )()()Nmy nxm xnm ( )()nlNDFS Wx nX kl 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系54n 对于一段有限长信号（连续），分析频谱问题是对于一段有限长信号（连续），分析频谱问题是付氏积付氏积分分问题

50、，进行时域周期重复和取样两过程，就可把广义问题，进行时域周期重复和取样两过程，就可把广义积分问题变成积分问题变成有限项求和有限项求和，即由，即由CTFTDFS。n DFS 变换：周期离散时间函数与一周期离散频率函数的变换：周期离散时间函数与一周期离散频率函数的组合，它们是有限求和（而不是积分），组合，它们是有限求和（而不是积分），常用常用 DFS 来逼来逼近连续时间过程的傅氏变换近连续时间过程的傅氏变换。 也即要用数字运算能完全计算出付氏积分，必须对时间函数和频也即要用数字运算能完全计算出付氏积分，必须对时间函数和频率函数取样（即率函数取样（即DFS），选择时间有限和频率有限的信号。），选择时

51、间有限和频率有限的信号。 时间取样：取样频率大于信号最高频率两倍；时间取样：取样频率大于信号最高频率两倍； 频率取样：取样间隔足够小，使时间函数的周期（频率取样：取样间隔足够小，使时间函数的周期（单位圆上单位圆上等分（取样）的点数等分（取样）的点数）大于信号的时域长度。）大于信号的时域长度。 结果：频域和时域中均不出现混迭现象。结果：频域和时域中均不出现混迭现象。3.3 有限离散傅里叶变换及其性质有限离散傅里叶变换及其性质 (1) 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系55n 离散傅氏级数提供了一种对离散时间傅氏变换作数值计离散傅氏级数提供了一种对离散时间傅氏变换作数值计算的技巧，它在时域和

52、频域都是周期的，算的技巧，它在时域和频域都是周期的，但在实际中大但在实际中大多数信号不具有周期性，它们很可能具有有限持续时间。多数信号不具有周期性，它们很可能具有有限持续时间。n 对这些信号，怎样探讨一种可数值计算的傅氏表达式？对这些信号，怎样探讨一种可数值计算的傅氏表达式？理论上，可通过理论上，可通过构造一周期信号构造一周期信号，其基本形状为有限，其基本形状为有限持续时间信号，然后计算此周期信号的持续时间信号，然后计算此周期信号的 DFS。实际上，这也就是定义了一种新的变换，称为离散傅实际上，这也就是定义了一种新的变换，称为离散傅氏变换（氏变换（DFT），它是），它是 DFS 的主周期。的主

53、周期。DFT 是对任意有限持续时间序列可数值计算的傅氏变是对任意有限持续时间序列可数值计算的傅氏变换。换。3.3 有限离散傅里叶变换及其性质有限离散傅里叶变换及其性质 (2) 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系56( )()( )Nrx nx nrNx n( )( )( ) Nx nx n Rn( )( )NX kXk( )( )( )NX kX k Rk同样：同样：X(k)也是一个也是一个N点的有限长序列点的有限长序列( )( )Nx nNx n长度为的有限长序列周期为的周期序列( ) x n的主值序列（加窗处理）( ) x n 的周期延拓关系关系 ?( )NnnN模其中其中:DFT

54、定义：表达式定义：表达式 (1)n 周期序列的表示周期序列的表示 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系57DFT 定义：表达式定义：表达式 (2)n 若若 n=n1+n2N 成立，且成立，且 n1 满足满足 0n1N-1，则把，则把 n1 称做称做 n 对对N的模数的模数，用符号，用符号 (n)N 表示，即：表示，即：n 模模 N=(n)N=n1，也就是也就是 n 对对 N 取余数。取余数。例例: 是周期为是周期为 N=6 的序列，求的序列，求 n=19及及 n= -2 两数对两数对N的的余数。余数。解：解： n=19=1+36 ， (19)6=1n=-2=(-1)6+4 ，(-2)6=4

55、即：即：( )x n 6(19)(19)(1)xxx 6( 2)( 2)(4)xxx 0 1 2 35421 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系58n 在无混迭的情况下，我们看如何把在无混迭的情况下，我们看如何把 DFS 变成变成 DFT ?1010( )( )1( )( )NknNnNknNkX kx n Wx nX k WN DFS:DFT 定义：表达式定义：表达式 (3)2jNNWe n 因无混迭，则时域中一个周期长的主值序列对应于频域因无混迭，则时域中一个周期长的主值序列对应于频域中一个周期长的主值序列。从中一个周期长的主值序列。从DFS的时域和频域中各取的时域和频域中各取出一个

56、周期，即出一个周期，即得到有限长度离散序列的时域和频域傅得到有限长度离散序列的时域和频域傅氏变换。氏变换。 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系59n 有限长序列的有限长序列的 DFT 正变换和反变换：正变换和反变换：1010( ) ( )( ) 011( )( )( ) 01NnkNnNnkNkX kDFT x nx n WkNx nIDFT X kX k WnNN 2jNNWe其中：其中：1010( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )NnkNNNnNnkNNNkX kx n WRkX k Rkx nX k WRnx n RnN DFTDFT 定义：表达式定义：表

57、达式 (4)或或注意：注意：从工程角度看，从工程角度看，DFS 和和 DFT 的表达式没有本质区别。的表达式没有本质区别。 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系60 0 01 0(1) 00 11 1(1) 10 (1)1 (1)(1) (1)(0), (1), (1)(0),(1),(1)TTNNNNNNNNNNNNNNNxxxx NXXXX NWWWWWWWWWW n DFT的矩阵表示形式的矩阵表示形式若令：若令：*111TXW xWxxWXWXNN 则：则：DFT 定义：定义：表达式表达式 (5) 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系61DFT 定义：定义：表达式表达式 (6)

58、DFT图形解释图形解释 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系62n 不仅浓缩了不仅浓缩了 的全部内容，同时也浓缩了的全部内容，同时也浓缩了 的全部内容。的全部内容。n 能够如实、全面地表示能够如实、全面地表示 的频域特征，所以的频域特征，所以 DFT DFT 具备明确的物理含义。具备明确的物理含义。 ( )X k1010( ) ( )( ) 011( )( )( ) 01NnkNnNnkNkX kDFT x nx n WkNx nIDFT X kX k WnNN ()jX e( )X k( )x n( )X kDFT 定义：定义：表达式表达式 （7）n DFT 意义意义 华北电力大学自动化

59、系华北电力大学自动化系63n 由上面的讨论可知，由上面的讨论可知，在在 0nN-1 上，上，DFS 和和 DFT 相同相同。n 因此，可用类似的方法实现因此，可用类似的方法实现 DFT。把原先名为把原先名为 dfs 和和 idfs 的的 Matlab 函数改名为函数改名为 dft 和和 idft 函数，函数，即可实现离散傅即可实现离散傅氏变换氏变换 DFT。n 实际中，我们用的更多的是实际中，我们用的更多的是 DFT 的快速算法的快速算法 FFT，见后，见后续内容。续内容。DFT 定义：定义：Matlab 实现实现 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系64例：例： x(n) 是一个是一个

60、4 点序列：点序列： （1）计算离散时间傅氏变换）计算离散时间傅氏变换 X(ejw)，并画出它的幅度和相位。，并画出它的幅度和相位。（2）计算）计算 x(n) 的的 4 点点 DFT。1,()0, 0n3x n others DFT 定义：定义：举例举例 华北电力大学自动化系华北电力大学自动化系65解解：（：（1） 离散时间傅氏变换为：离散时间傅氏变换为：323043/2()( )11sin21sin/2jj njjjjjjX ex n eeeeeee 3,02sin( /2)()3,02sin( /2)jsin(2) Xsin(2) e 因而因而sin2()sin/2jX e DFT 定义：