《空间向量在立体几何中的应用》教学设计

1、精品教学教案空间向量在立体几何中的应用教学设计一 . 教学目标（一）知识与技能1. 理解并会用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值；2. 理解并会用空间向量解决平行与垂直问题 .（二）过程与方法1. 体验用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值的过程；2. 体验用空间向量解决平行与垂直问题的过程（三）情感态度与价值观1. 通过理解并用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值，用空间向量解决平行与垂直问题的过程， 让学生体会几何问题代数化， 领悟解析几何的思想；2. 培养学生向量的代数运算推理能力；3. 培养学生理解、运用知识的能力二 . 教学重、难点重点：用空间向量求线线角、线面角、二面

2、角的余弦值及解决平行与垂直问题难点：用空间向量求二面角的余弦值三 . 教学方法：情景教学法、启发式教学法、练习法和讲授法四 . 教学用具：电脑、投影仪五 . 教学设计（一）新课导入1. 提问学生：（1）怎样找空间中线线角、线面角和二面角的平面角？（2）能否用代数运算来解决平行与垂直问题？（二）新课学习1. 用空间向量求线线角、线面角、二面角的余弦值.（1）设 l1 ,l 2 是两条异面直线， A, B 是 l1 上的任意两点， C , D 是直线 l 2 上的任意两点，则l1, l2 所成的角的余弦值为.ABCD（ 2）设 AB 是平面的斜线，且 B, BC 是斜线 AB 在平面内的射影，则A

3、BBC斜线 AB 与平面所成的角的余弦值为. 设 n 是平面的法向量， ABABBCABn是平面的一条斜线，则AB 与平面所成的角的余弦值为.ABn精品教学教案（ 3）设 n1, n2 是二面角n1n2l的面 ,的法向量，则就是二面角的n1n2平面角或补角的余弦值 .例 1：在棱长为 a 的正方体 ABCDA' B'C'D' 中， EF 分别是 BC, A'D' 的中点，（ 1）求直线'zAC与DE 所成角的余弦值 .A'FD '（ 2）求直线AD 与平面'所成的角的余弦值.B EDFB'C'（ 3

4、）求平面 B' EDF 与平面 ABCD 所成的角的余弦值 .AGyDxBEC分析：启发学生找出三条两两垂直的直线 AB,AD,AA，建立空间直角坐标系 A-xyz ，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就可以得到所求的结果 .解：（ 1）如图建立坐标系，则A' (0,0, a), C (a, a,0), D (0, a,0), E(a, a ,0) .2'(a, a, a), DEa,0) .AC(a,2'15cos'AC DE.AC, DEACDE15'故'15.AC与 DE 所成的角的余弦值为15（ 2）AD

5、EADF , 所以 AD 在平面 B' EDF 内的射影在EDF 的平分线上，又 B' EDF 为菱形， DB'为 EDF 的平分线，故直线 AD 与平面 B' EDF 所成的 角为''ADB，建立如图所示坐标系，则A(0,0,0), B (a,0, a), D (0, a,0) ，DA(0,a,0), DB'(a, a, a) ， cosDA, DB'DADB '3 .DADB '3故 AD 与平面 B' EDF 所成角的余弦值为3 .3精品教学教案（3）由 A(0,0,0), A'(0,0, a

6、), B' (a,0, a), D (0, a,0), E(a, a ,0) , 所以平面 ABCD 的2法向量为 mAA'(0,0, a) , 下面求平面 B'EDF 的法向量，设n (1, y, z) ，由ED (a, 0),EB'a，n ED 0y2 ，n(1,2,1).a ,(0, a,)n EB'z1220cosn, mmn6 .mn6所以，平面 B' EDF 与平面 ABCD 所成的角的余弦值为6 .6课堂练习：1. 如图， PA平面 ABC ， ACBC, PAAC 1, BC2 ，求二面角A PBC 的余弦值 .PzExDCABy

7、参考答案：解：建立如图所示空间直角坐标系Cxyz ，取 PB 的中点 D ，连 DC , 可证DCPB ，作 AEPB 于E ，则向量 DC与EA 的夹角的大小为二面角 A PB C的大小。A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,0), P(1,0,1) ， D 为 PB 的中点，( 1 ,2 , 1 ) ，在 RtPAB 中， PEAP 21 .22 2EBAB 23E分 PB的比为 1，E(3 ,2 ,3)EA(1 ,2 ,3)3444444DC (1,2 ,1)， EA DC1,EA3 ，22222精品教学教案13DC 1,cosEA, DC2.3312二面角 APC C 的

8、余弦值为3 .3引导学生归纳：用空间向量求二面角的余弦值时， 是将求二面角的余弦值问题转化为求两平面的法向量的夹角的余弦值问题，这里要明确：（ 1）当法向量 n1与 n2 的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量 n1与n2 的夹角的大小；（ 2）当法向量 n1与 n2 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量n1与n2的夹角的补角1.n , n22. 利用向量向量解决平行与垂直问题 .例 2：如图 , 在直三棱柱 ABC AB C 中， AC3，BC 4， AA4，AB 5, 点 D1 1 11是 AB的中点，（I ）求证： ACBC；（ II ）求证： A

9、 C/ 平面 CDB111.分析：启发学生找出三条两两垂直的直线 CA,CB,CC1，建立空间直角坐标系 C-xyz ，根据已知找出相关点的坐标，然后写出相关向量的坐标，并进行运算就可以得到两条直线垂直或平行 .解：直三棱柱 ABCA1B1C1 底面三边长 AC3，BC4，AB5， AC、BC、C1C两两垂直，如图，以 C 为坐标原点，直线 CA、 CB、C1C分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系，则 C（0,0 ，0）， A（ 3,0 ，0），C1（ 0,0 ，4），B（ 0,4 ，0），B1（ 0,4 ，4），D（ 3 ，2,0 ）2（ 1） AC （ 3,0 ，0），

10、BC1 （ 0， 4,0 ）， AC ? BC1 0， ACBC1.精品教学教案（ 2）设 CB1 与 C1 B 的交战为 E，则 E（ 0,2 ，2）. DE （ 3 ， 0,2 ）， AC1 2（ 3,0 ，4），11 . DE平面 CDB1， AC1平面 CDB1.DEAC1 ， DEAC2 AC1/ 平面 CDB1.引导学生归纳：（1）垂直问题转化为：判定空间向量的数量积是否为零；（2）平行问题转化为：面面平行线面平行线线平行 .课堂练习：2. 在直三棱柱 ABC A1 B1C1 中， AC 3,BC4, AB 5, AA14 ,（1）求证 ACBC1; （2）在 AB 上是否存在点

11、D 使得 AC1CD ?（3）在 AB 上是否存在点 D 使得 AC1 / 平面 CDB1 .ZC1A1B1CAByxD参考答案：解：直三棱柱 ABCA1B1C1 ， AC 3, BC 4, AB5, AC, BC,CC1 两两垂直，以 C为坐标原点，直线CA,CB,CC1 分别为 x 轴 y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系，则 C(0,0,4), A(3,0,0), C1(0,0,4) ， B(0,4,0), B1(0,4,4) .（1） AC ( 3,0,0), BC1 (0, 4,4) ，ACBC10,AC BC1ACBC .（2）假设在 AB 上存在点 D ，使得 AC1CD ，则

12、ADAB(3,4,0)其中 01，则 D (3 3 ,4 ,0) ，于是 CD(33 ,4,0) 由于 AC1( 3,0,4) ，且 AC1 CD.所以990 得1 ，所以在 AB 上存在点 D 使得 AC1CD ，且这时点 D 与点 B重合.（3）假设在 AB 上存在点 D 使得 AC1 / 平面 CDB1 ，则 ADAB(3,4,0)精品教学教案其中 01则 D(33 ,4,0) ， B1D (3 3,44, 4)又BC1(0,4,4).由于AC1 (3 ,0， , AC41 )/ 平面 CDB1，所以存在实 数m, n,使 ACmB DnBC 成立， m(3 3 )3, m(44)4n0,4m4n 4,111所以1 ，所以在 AB 上存在点 D 使得 AC1/ 平面 CDB1 ，且 D 使 AB 的中点 .2引导学生感悟：空间向量有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量运算，实现了数与形的结合， 在解决立体几何的夹角、 平行与垂直等问题中体现出巨大的优越性 .（二）课外作业1. 如图 , 在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， A