第三章,静力学平衡

1、3-3 3-3 3-2 3-2 3-4 3-4 第第 3 3 章章 静力学平衡问题静力学平衡问题3-1 3-1 01niiRFF3-1 平面力系平衡条件与平衡方程平面力系平衡条件与平衡方程yx(b)OF RMOxy(a)F4F2F1F5F3OniiooFMM1)(一、一、01niiooFMM)(01niixF01niiyF01niioFM)(2222iyixRyRxRFFFFFniiRFF1平面一般力系的平衡方程平面一般力系的平衡方程 （基本形式）（基本形式）01niixF01niiyF01niioFM)(为了书写方便，通常将平面一般力系的平衡方程简写为为了书写方便，通常将平面一般力系的平衡方

2、程简写为0 xF0)(FMo0yF求解力系平衡问题的方法和步骤。求解力系平衡问题的方法和步骤。（1 1）选取研究对象）选取研究对象；（2 2）分析研究对象受力，画受力图；）分析研究对象受力，画受力图；（3 3）根据力系的类型列写平衡方程；选取适当的）根据力系的类型列写平衡方程；选取适当的 坐标轴和矩心，以使方程中未知量个数最少；尽可坐标轴和矩心，以使方程中未知量个数最少；尽可能每个方程中只有一个未知量。能每个方程中只有一个未知量。（4 4）求解未知量，分析和讨论计算结果。）求解未知量，分析和讨论计算结果。 图示简支梁图示简支梁AB，梁的自重及各处摩擦均梁的自重及各处摩擦均不计。试求不计。试求A

3、和和B处的支座约束力。处的支座约束力。(b)qACBDMe2aa4axyFNBFAxFAy(a)qACBDMe2aa4a解：解： (1)(1)选选AB 梁为研究对象。梁为研究对象。 (2)(2)画受力图如右图所示。画受力图如右图所示。例题例题 3-1(4) (4) 列平衡方程列平衡方程解得解得eNe0 ,1,243.24A xBA yFMFqaaMFqaa(b)qACBDMe2aa4axyFNBFAxFAy0 xF0AxF0yF02NBAyFaqF0)(FMo042aFMaaqNBe。0:0 xAxFFqb0:0yAyFFP()0:AMF0212qbPaMA解得：解得：AxFqbAyFP221

4、qbPaMA例1。APabqAPqFAyFAxMA例题例题 3-2 平面刚架的所有外力的作用线都位于刚架平平面刚架的所有外力的作用线都位于刚架平面内。面内。A处为固定端约束。若图中处为固定端约束。若图中q、FP、M、l 等均为等均为已知，已知，A处的约束力。处的约束力。qlll2lM例题例题 3-31.1.选择研究对象。选择研究对象。2 2 受力分析受力分析, ,画出受力图如图所示。画出受力图如图所示。FP Aqlll2lMFPA3. 3. 建立平衡方程求解未知力建立平衡方程求解未知力 应用平衡方程应用平衡方程 Fx = 0, MA= 0， Fy = 0,0 qlFAxP0AyFFP302Al

5、MMF lql由此解得由此解得 qlFAxPAyFFqlll2lMFPAP32AMMF lql2 二力矩式二力矩式（AB不垂直于不垂直于x轴轴）0()0()0 xABMMFFFxy(b)ABF R=0 xy(a)F4F2F1F5F3M()0()0()0ABCMMMFFF 三力矩式三力矩式( (A、B、C三点不共线三点不共线) )xy(a)F4F2F1F5F3Mxy(b)ABF RC=0。0:cos0 xAxFFP()0:sin()0ABMF aPabmFcosAxFP sin ()BmPabFasinAymPbFa ABCPabmABCPmFBFAyFAx例题例题 3-400bPmaFFMAy

6、B sin:)(F5OF4F2F1F3xyxyRFORxFRyF0iRFF02222yxRyRxRFFFFF0 xF0yF平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程三、平面汇交力系与平面力偶系的平衡方程三、平面汇交力系与平面力偶系的平衡方程1.1.平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系的平衡方程2.2.F1h1F2h2h3F3hF平面力偶系的平衡方程平面力偶系的平衡方程图示平面刚架的支反力。图示平面刚架的支反力。PABAFBFxy解：以刚架为研究对象，受解：以刚架为研究对象，受力如图，建立如图坐标。力如图，建立如图坐标。0PcosF:0FAx PABm4m8由几何关系由几何关系55255 cos

7、,sin解得解得PFPFBA2125,例题例题 3-50FsinF:0FBAy xy yB B解：解：1. 1. 取滑轮取滑轮B B 连同销钉作为研究对象。连同销钉作为研究对象。2. 2. 画出受力图画出受力图 利用铰车绕过定滑轮利用铰车绕过定滑轮B B的绳子吊起一重的绳子吊起一重P=20kN的的货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆AB 和斜刚杆和斜刚杆BC 支持于点支持于点B ( (图图(a) )。不计滑轮的自重，试求杆不计滑轮的自重，试求杆AB 和和BC 所受的力所受的力。F FABABF FBCBCFT2FT130303030B BP PA AC C3030303

8、0例题例题 3-6F FABAB3030F FBCBCFT2FT1xy3030B B3. 3. 列出平衡方程：列出平衡方程：4. 4. 联立求解，得联立求解，得 反力反力FAB 为负值，说明该力实际指向与图上假为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆定指向相反。即杆AB 实际上受拉力。实际上受拉力。 030300020sincos:TABBCxFFFF030cosFF30sinF:0F02T1T0BCy KNFAB554.KNFBC574. 折杆折杆ABAB的支承方式如图所示，设有一力矩数的支承方式如图所示，设有一力矩数值为值为M M的力偶作用在折杆的力偶作用在折杆ABAB上，求支承处

9、的约束力大小。上，求支承处的约束力大小。FAFB解：解：0MlFAlMFFBAABLL2MABLL2M例题例题 3-7 工件上作用有三个力偶如图所示。已知：工件上作用有三个力偶如图所示。已知：M1= M2= 10Nm， M3 =20Nm，固定螺栓固定螺栓A和和B的距的距离离l=200mm。求两光滑螺栓所受的水平力。求两光滑螺栓所受的水平力。 ABL1M2M3MABL1M2M3M例题例题 3-8AFBF解：取工件为研究对象、画受力解：取工件为研究对象、画受力图。图。0321MMMlFAmNFFBA200解得解得 不计自重的杆不计自重的杆AB与与DC在在C处为光滑接触处为光滑接触, ,它们分别受力

10、偶矩为它们分别受力偶矩为M1与与M2的力偶作用的力偶作用 ，转向如图转向如图。问问M1与与M2的比值为多大的比值为多大，结构才能平衡结构才能平衡? ?60o60oABCDM1M2例题例题 3-9解解: : 取杆取杆AB为研究对象画受力图为研究对象画受力图。 杆杆AB只只受力偶的作用而平衡且受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束，则处为光滑面约束，则A处约束反力的方位可定。处约束反力的方位可定。ABCM1FAFC Mi = 0FA = FC = F,AC = aa F - M1 = 0M1 = a F (1)60o60oABCDM1M2取杆取杆CD为研究对象。因为研究对象。因C点约束方位已定点约束

11、方位已定 , , 则则D点点约束反力方位亦可确定，画受力图。约束反力方位亦可确定，画受力图。60o60oDM2BCAFDFCFD = FC = F Mi = 0- 0.5a F + M2 = 0M2 = 0.5 a F (2)联立联立(1)(2)(1)(2)两式得两式得: :M1/M2=260o60oABCDM1M239页页， 习题习题 1128181页页 习题习题 31 （a) (b) 85页页 习题习题 3-18作作 业业 1 1、静定问题静定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未知量：一个静力平衡问题，如果系统中未知量的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就的数目正好等于独立的平衡方

12、程数，单用平衡方程就能解出全部未知量能解出全部未知量。qACBMe2aaF8a3-2 简单的刚体系统平衡问题简单的刚体系统平衡问题一、刚体系统静定一、刚体系统静定与静不定的概念与静不定的概念 2、静不定问题：静不定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未一个静力平衡问题，如果系统中未知量的数目超过独立的平衡方程数目，用知量的数目超过独立的平衡方程数目，用刚体静力学刚体静力学方法方法就不能解出所有的未知量。就不能解出所有的未知量。qACBMe2aaFD4a4a约束反力数约束反力数 m独立平衡方程数独立平衡方程数 n m = n 静定问题静定问题 m n 静不定问题静不定问题 静不定的次数为：静不定的

13、次数为： k=m-n二、刚体系统的平衡问题的特点与解法二、刚体系统的平衡问题的特点与解法 1. 刚体系统：由几个刚体通过一定的约束方式联刚体系统：由几个刚体通过一定的约束方式联系在一起的系统系在一起的系统。返回返回qCBAaaaaM弄清弄清题意，题意，标出标出已知已知量量选选整体整体为研究为研究对象画对象画受力图受力图，列平衡列平衡方程方程检检查查结结果，果，验验算算选选局部为局部为研究对象研究对象画受力图，画受力图，列平衡方列平衡方程求解程求解。注意：注意： 力偶力偶 M 在任一轴上的投影为零；在任一轴上的投影为零； 力偶对任一点之矩即为力偶对任一点之矩即为M。 选取适当的坐标轴和矩心，注意

14、正负号选取适当的坐标轴和矩心，注意正负号。弄清弄清题意，题意，标出标出已知已知量量选选局部局部为研究为研究对象画对象画受力图受力图，列平衡列平衡方程方程检检查查结结果，果，验验算算再选局部再选局部为研究对为研究对象象画受力画受力图，列平图，列平衡方程求衡方程求解解。注意：注意： 力偶力偶 M 在任一轴上的投影为零；在任一轴上的投影为零； 力偶对任一点之矩即为力偶对任一点之矩即为M。 选取适当的坐标轴和矩心，注意正负号选取适当的坐标轴和矩心，注意正负号。 图图a a所示铰接横梁。已知荷载所示铰接横梁。已知荷载q q，力偶矩，力偶矩M和尺寸和尺寸a，试求杆的固定端，试求杆的固定端A及可动铰及可动铰

15、B、C 端约束力。端约束力。 2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题qCBAaaaaM例题例题 3-100AxF0 xF 0yF20AyCFFqa4220ACMFaqa aM0AM 2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题AxFAyFAMMCBAaaaaqCF 研究方法研究方法 一一: : 整体到局部整体到局部 1.1.取整体为研究对象取整体为研究对象CFqCBAaaaaMBxFByFCBMq 0 xF0BxF 0yF0cByFqaF 0BM022aFMaqac2. 2. BC 梁为研究梁为研究42CqaMFaaMqaFBy243aMqaFAy247MqaMA23CFqCBAaaaaMBxF

16、ByFCBMq 0 xF0BxF 0yF0cByFqaF 0AM022aFMaqac1 1、 BC 梁为研究梁为研究研究方法二研究方法二: : 局部到局部局部到局部2-4 物体系统平衡问题物体系统平衡问题AxFAyFAMByFaaABq1 1、再以、再以ABAB梁为研究对象梁为研究对象BxFqCBAaaaaM0FqaFByAy 0a2F2a3qaMByA 42CqaMFaaMqaFBy2430BxAxFF 0 xF 0yF 0BMaMqaFAy247MqaMA231m 如图所示的三铰拱桥由两部分组成，彼此如图所示的三铰拱桥由两部分组成，彼此用铰链用铰链A联结，再用铰链联结，再用铰链B和和C固结

17、在两岸桥墩上。每固结在两岸桥墩上。每一部分的重量一部分的重量P1=40 KN，其重心分别在点其重心分别在点D和和E点。点。桥上载荷桥上载荷P=20KN。求。求A、B、C 三处的约束力三处的约束力。C3mBP4m1mP1P14m10mADE例题例题 3-11CxFBxF001CyByyFPPFF2 ，解：解：1.1.取整体为研究对象取整体为研究对象00CxBxxFFF， 04011CyFPPP M1091B，解得：解得：KNFCy48KNFBy52ByFCyF1mC3mBP4m1mP1P14m10mADE1m 3m4m1mCBPP1P14m10mADE2.2.取取AC部分为研究对象：部分为研究对

18、象：001CyAyyFPFF， 0414401PFF MCyCxA)(，00CxAxxFFF， KNFCx20KNFFCxAx20)(KNFAy8KNFBx20解得：解得：CxFCyFAyFAxF1mC3mBP4m1mP1P14m10mADECP1AE4mCA4m1m1m8mBWP 列平衡方程：列平衡方程： Fx=FAx=0 -（1） 例题例题 3-12 MA(F) =MA+12FBy-4W-8P=0 -（3） Fy=FAy+FBy-P-W=0 -（2）4mWP1m1mDE 2)2)为研究对象，列平衡方程：为研究对象，列平衡方程：3)3)取取为研究对象，有：为研究对象，有：C1m8mB Fy=

19、FD+FE-W-P=0 FD=10kN MD(F)=2FE-W-5P=0 FE=(50+50)/2=50kN 将将FBy代入代入(2)、(3)式，求得：式，求得： MC(F)=8FBy-FE=0 FBy=FE/8=6.25kNFAy=P+W-FBy=53.75 kNMA=4W+8P-12FBy=205 kNm4mCA4m1m1m8mBWP例12 两根铅直梁两根铅直梁AB、CD与水平梁与水平梁BC铰接，铰接，B、C、D均为光滑铰链，均为光滑铰链，A为固定支座，各梁的长度为固定支座，各梁的长度均为均为l2 m，受力情况如图所示。已知水平力受力情况如图所示。已知水平力F6 kN，M4 kNm，q3

20、kN/m。求固定端求固定端A及铰链及铰链C的约束的约束反力。反力。ABCDF2l/3l/2 Mq0MBCFByFBxFCxFCy解解: : (1) 取取BC分析分析()0:0BCyMMFl F2 kNCyMFl 求得结果为负说明与假设方向相反。求得结果为负说明与假设方向相反。例例 题题 3-13(2) 取取CD分析分析FCDFCxFCyFDxFDy2()0:03DCxlMFlF F24 kN3CxFF 求得结果为负说明与假设方向相反。求得结果为负说明与假设方向相反。ABCDF2l/3l/2 Mq0Mq0FCxFCyFAyMAFAxBCA(3) 取取AB、BC分析分析10:02xCxAxFFFq

21、l11( 4)3 21kN22AxCxFFql 0:0yAyCyFFF( 2)2 kNAyCyFF ()0:11023AACyCxMMMqllFlFl F6 kN mAM 求得结果为负说明与假设方向相反，即为顺时针方向。求得结果为负说明与假设方向相反，即为顺时针方向。ABCDF2l/3l/2 Mq08787页页 习题习题 326 （a) (c) (d) 87页页 习题习题 3-27作作 业业静摩擦力的大小随主动力的情况而改变。静摩擦力的大小随主动力的情况而改变。1. 1. 静滑动摩擦力静滑动摩擦力 作用点作用点: : 方向方向: :2-6-1 滑动摩擦力 大小大小: : 接触面。接触面。 沿着

22、接触面的公切线与相对滑动趋势方向相反沿着接触面的公切线与相对滑动趋势方向相反。dF045摩擦力0外力NFGAPFFmaxFF 0静摩擦静摩擦动摩擦动摩擦maxF临界临界2. 2. 最大静摩擦力最大静摩擦力 库仑摩擦定律，库仑摩擦定律， 17811781年，由法国库仑总结。年，由法国库仑总结。maxNSFF f静摩擦因数。由材质及表面条件定。静摩擦因数。由材质及表面条件定。 3. 3. 动滑动摩擦力动滑动摩擦力 dNFF fsf 方向方向: :SSff ,ff 一般f动摩擦因数动摩擦因数 大小大小: : 作用点作用点: : 接触面。接触面。 沿着接触面的公切线与相对滑动方向相反。沿着接触面的公切

23、线与相对滑动方向相反。（4 4） 静止时主动力合力与全反力二力平衡静止时主动力合力与全反力二力平衡。 （3 3）摩擦锥摩擦锥，1. 摩擦角摩擦角 （1 1） 全反力全反力 ：静滑动摩擦力与法静滑动摩擦力与法 向约束力的合力。向约束力的合力。maxNSmSNNtanFF ffFFm全反力与法线的最大夹角。全反力与法线的最大夹角。如图所示如图所示mgOPFANFRFF F（2 2）摩擦角）摩擦角 m0FFFNR因因NFF tanmaxFF 0所以所以 mAmR maxFNFmaxFm2 RFo2. 自锁现象自锁现象mmAFRAmFRma )(1如果作用于物块的全部主动力如果作用于物块的全部主动力的

24、合力的合力FR的作用线在摩擦角之的作用线在摩擦角之内，则无论这个力怎样大，物内，则无论这个力怎样大，物块必保持静止。这种现象称为块必保持静止。这种现象称为自锁现象自锁现象。 mmA如果全部主动力的合力如果全部主动力的合力FR的作的作用线在摩擦角之外，则无论这用线在摩擦角之外，则无论这个力怎样小，物块一定会滑动。个力怎样小，物块一定会滑动。应用这个道理，可以设法避免应用这个道理，可以设法避免发生自锁现象。发生自锁现象。FRAma )(2FRm3.3.测测定摩擦因数的一种简易方法，斜面自锁条件定摩擦因数的一种简易方法，斜面自锁条件自锁条件：自锁条件：msmf tantanNFFRFNFmmaxFm

25、axRF2-6 考虑摩擦的物体平衡考虑摩擦的物体平衡 仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本相同面基本相同2 2 严格区分物体处于临界、非临界状态严格区分物体处于临界、非临界状态；3.3.因因 ，问题的解有时在一个范围内。问题的解有时在一个范围内。maxFF 01 1 画受力图时，必须考虑摩擦力；画受力图时，必须考虑摩擦力；几个新特点几个新特点AOMCaL2）制动杆制动杆受力如图。受力如图。 1）取轮取轮O研究研究，画受力图。，画受力图。A有平衡方程有平衡方程 MO(F)=M-Fmaxr=0 得到得到 Fmax=M/r有平衡方程有平衡方程 MA(F)=FNa-Fmaxe-F1minL=0摩擦方程摩擦方程 Fmax=f FN; FN=M/fr代入后求得代入后求得 F