第一章晶体的结构v

1、1第一章第一章 晶体的结构晶体的结构21.1 晶体的特征晶体的特征基本现象：基本现象：（1）不同原子构成的晶体，性质具有很大的差别。）不同原子构成的晶体，性质具有很大的差别。nAl是电的良导体。是电的良导体。Al2O3是优良的绝缘体；是优良的绝缘体；（2）同种原子构成的晶体，如果结构不同，性质能）同种原子构成的晶体，如果结构不同，性质能有很大的差别。有很大的差别。n金刚石：硬度高，不导电；金刚石：硬度高，不导电；n石墨：硬度低，良好的导电性能石墨：硬度低，良好的导电性能（3）不同的晶体存在共同的特征）不同的晶体存在共同的特征31、晶体的长程有序、晶体的长程有序原子按一定的规则排列；原子按一定的

2、规则排列；范围至少在微米量级内的有序排列范围至少在微米量级内的有序排列（1）对于单晶体：整体范围内原子是有序排列的；）对于单晶体：整体范围内原子是有序排列的；（2）对于多晶体：在各晶粒范围内原子是有序排列的。）对于多晶体：在各晶粒范围内原子是有序排列的。1.1 晶体的共性晶体的共性42、晶体的自限性、晶体的自限性 现象：晶体物质在适当的条件下能自发地成长为单晶体，现象：晶体物质在适当的条件下能自发地成长为单晶体，一般以平面作为它与周围物质的界面，呈现凸的多面体。一般以平面作为它与周围物质的界面，呈现凸的多面体。例：例：石英晶体和人造石英的形状石英晶体和人造石英的形状1.1 晶体的共性晶体的共性

3、5晶体具有自发地形成封闭几何多面体的特性，称为自限性晶体具有自发地形成封闭几何多面体的特性，称为自限性。n晶体内部原子的规则排列在晶体宏观形态的反映；晶体内部原子的规则排列在晶体宏观形态的反映；n本质为晶体中原子之间的结合遵从能量最小原理；本质为晶体中原子之间的结合遵从能量最小原理；1.1 晶体的共性晶体的共性6规律：晶体外形可能不同，但相应两晶面之间的夹角是不规律：晶体外形可能不同，但相应两晶面之间的夹角是不变的。如石英晶体相邻变的。如石英晶体相邻m面的夹角为面的夹角为60 ，mR两面的夹角两面的夹角为为38 13；1.1 晶体的共性晶体的共性3、晶面角守恒、晶面角守恒mmmRrr74.各向

4、异性各向异性物理性质具有各向异性；物理性质具有各向异性；双折射现象：石英晶体沿双折射现象：石英晶体沿c轴入射，具有单折射现象；非轴入射，具有单折射现象；非c轴方向入射则具有双折射现象；轴方向入射则具有双折射现象；解理性：晶体经常具有沿某些确定方位的晶面发生劈裂的解理性：晶体经常具有沿某些确定方位的晶面发生劈裂的现象。现象。1.1 晶体的共性晶体的共性8单晶体的形状具有各向异性单晶体的形状具有各向异性某一方位的晶面的形状与大小与其他方向的晶面各异；某一方位的晶面的形状与大小与其他方向的晶面各异；一些晶面的交线相互平行。一些晶面的交线相互平行。1.1 晶体的共性晶体的共性91.2 密堆积密堆积晶体

5、是由实心的基石堆砌而成的设想虽然肤浅，但形象的直晶体是由实心的基石堆砌而成的设想虽然肤浅，但形象的直观的描述了晶体内部的规则排列这一特点，即为密堆积。观的描述了晶体内部的规则排列这一特点，即为密堆积。把原子视为刚性小球，在一个平面内最简单的规则堆积是把原子视为刚性小球，在一个平面内最简单的规则堆积是正方排列正方排列一个原子球和平面内的一个原子球和平面内的4个原子接触！个原子接触！10简单立方结构简单立方结构在原子球间隙内正好放入一个全同的原子球在原子球间隙内正好放入一个全同的原子球形成体心立方结构形成体心立方结构1.2 密堆积密堆积11几何证明，原子球要构成最紧密的堆积方式，原子球必几何证明，

6、原子球要构成最紧密的堆积方式，原子球必须与同一平面内相邻的须与同一平面内相邻的6个原子球相切！个原子球相切！这样的原子面为密排面！这样的原子面为密排面！实现原子的最紧密排列，实现原子的最紧密排列，（1）相邻原子面都是密排面。）相邻原子面都是密排面。（2）原子必须与相邻原子层的空隙相重合。）原子必须与相邻原子层的空隙相重合。1.2 密堆积密堆积12面心立方结构面心立方结构1.2 密堆积密堆积13面心立方结构面心立方结构1.2 密堆积密堆积14密排立方结构密排立方结构1.2 密堆积密堆积15一个粒子的周围最近邻的粒子数，可以被用来描写晶体小一个粒子的周围最近邻的粒子数，可以被用来描写晶体小粒子排列

7、的紧密程度，这个数称为粒子排列的紧密程度，这个数称为配位数配位数粒子排列愈紧粒子排列愈紧密，配位数应该愈大现在来考虑晶体中最大的配位数和密，配位数应该愈大现在来考虑晶体中最大的配位数和可能的配位数。可能的配位数。1.2 密堆积密堆积16n在六角和立方两种密积电每个球在同一层内和在六角和立方两种密积电每个球在同一层内和6个球相邻，个球相邻，又和上下层的又和上下层的3个球相切，所以每个球最近邻的球数是个球相切，所以每个球最近邻的球数是12即即配位数是配位数是12，这就是晶体结构中最大的配位数，这就是晶体结构中最大的配位数 n如果球的大小不等，例如晶体由两种原子组成，则不可能如果球的大小不等，例如晶

8、体由两种原子组成，则不可能组成密积结构，因而配位数必须小于组成密积结构，因而配位数必须小于12，但由于周期性和对，但由于周期性和对称性的特点，晶体也不可能具有配位数称性的特点，晶体也不可能具有配位数11、10和和9，所以次，所以次一配位数是一配位数是8，为氯化铅型结构，为氯化铅型结构n晶体的配位数不可能是晶体的配位数不可能是7，再次一个配位数是，再次一个配位数是6，相应于氯，相应于氯化钠型结构化钠型结构n晶体的配位数也不可能是晶体的配位数也不可能是5，下一个配位数是，下一个配位数是4，为四面，为四面体体n配位数是配位数是3的为层状结，构配位数是的为层状结，构配位数是2的为链状结构的为链状结构1

9、.2 密堆积密堆积17晶体结构晶体结构配位数配位数晶体结构晶体结构配位数配位数面心立方面心立方六角密排六角密排12氯化钠氯化钠6体心立方体心立方8氯化铯氯化铯8简立方简立方6金刚石金刚石418l致密度（致密度（ ）：晶体中原子在空间中堆积的紧密程度；：晶体中原子在空间中堆积的紧密程度；l原子看做刚球时，致密度等于晶胞内原子所占的体积与晶原子看做刚球时，致密度等于晶胞内原子所占的体积与晶胞体积的比率胞体积的比率l =晶胞中的原子的体积之和晶胞中的原子的体积之和/晶胞的体积晶胞的体积晶体结构晶体结构致密度（致密度（%）晶体结构晶体结构致密度（致密度（%）面心立方面心立方六角密排六角密排74.0%金

10、刚石金刚石34.0%体心立方体心立方68.0%简立方简立方 52.41913布喇菲空间点阵布喇菲空间点阵 原胞原胞 晶胞晶胞n 晶体的微观结构包括晶体的微观结构包括（1）组成晶体的原子的成分；）组成晶体的原子的成分；（2）粒子在空间规则排列的方式。）粒子在空间规则排列的方式。为描述晶体内部结构的空间规则排列（长程有序）为描述晶体内部结构的空间规则排列（长程有序）的方式，布拉菲提出空间点阵学说。的方式，布拉菲提出空间点阵学说。晶体可以看成由一些相同的点子（格点）在三维空间做晶体可以看成由一些相同的点子（格点）在三维空间做周期性分布所构成的系统，所有的点子是等价的，这些周期性分布所构成的系统，所有

11、的点子是等价的，这些点子的总体称为布喇菲点阵；这些点子称为格点。点子的总体称为布喇菲点阵；这些点子称为格点。与晶体结合特征相同，无任何物理实质的，仅有格点之与晶体结合特征相同，无任何物理实质的，仅有格点之间相互连接形成的网络为晶格，又称点阵。间相互连接形成的网络为晶格，又称点阵。点阵仅是数学抽象，只有将具体的实体原子（团）替代点阵仅是数学抽象，只有将具体的实体原子（团）替代格点后按点阵分布，才能得到晶体。格点后按点阵分布，才能得到晶体。20布喇菲点阵是实际晶体结构的一个数学抽象，反布喇菲点阵是实际晶体结构的一个数学抽象，反应了晶体的周期性。没有物理的意义！应了晶体的周期性。没有物理的意义！21

12、13布喇菲空间点阵布喇菲空间点阵 原胞原胞 晶胞晶胞基元：基元：能周期性排列而构成晶体能周期性排列而构成晶体的的最小最小的原子或分子的原子或分子或原子团称为晶体的基本结构单元，简称为基元。或原子团称为晶体的基本结构单元，简称为基元。理想的晶体可以看做是完全相同的原子、分子或原子理想的晶体可以看做是完全相同的原子、分子或原子团在空间有规则地周期性排列构成的固体材料。团在空间有规则地周期性排列构成的固体材料。1.3.1 基元基元2213布喇菲空间点阵布喇菲空间点阵 原胞原胞 晶胞晶胞注意：基元是构成晶体的完全相同的原子、分子或原子团。注意：基元是构成晶体的完全相同的原子、分子或原子团。n任意两个基

13、元，原子的化学性质完全相同；任意两个基元，原子的化学性质完全相同；n任意两个基元，原子的几何环境完全相同；任意两个基元，原子的几何环境完全相同；n在基元周围的几何环境完全相同；在基元内部，每个原子的在基元周围的几何环境完全相同；在基元内部，每个原子的情况是不相同的（或原子的化学性质不同，或原子的周围环境情况是不相同的（或原子的化学性质不同，或原子的周围环境不同。不同。n在任意两个单元中，相应位置处原子的情况是相同。在任意两个单元中，相应位置处原子的情况是相同。23（1）有的基元只含有一个原子：铜、金和银）有的基元只含有一个原子：铜、金和银（2）有的晶体的基元含有两个原子：如金刚石、氯化钠）有的

14、晶体的基元含有两个原子：如金刚石、氯化钠等等（3）有的晶体的基元含有多个原子，如）有的晶体的基元含有多个原子，如NdCd2含有含有1000多个原子多个原子忽略晶体结构单元中基元内原子分布的细节，用一个忽略晶体结构单元中基元内原子分布的细节，用一个几何点替代基元的位置，这些几何点称为几何点替代基元的位置，这些几何点称为格点格点。13布喇菲空间点阵布喇菲空间点阵 原胞原胞 晶胞晶胞24与晶体几何特征相似，但无任何物理实质的、仅有格与晶体几何特征相似，但无任何物理实质的、仅有格点之间相互连接形成的网络为点之间相互连接形成的网络为晶格，又称为点阵晶格，又称为点阵点阵是纯粹的几何抽象，只有将具体的基元替

15、代格点点阵是纯粹的几何抽象，只有将具体的基元替代格点按点阵分布，才可得到晶体。按点阵分布，才可得到晶体。13布喇菲空间点阵布喇菲空间点阵 原胞原胞 晶胞晶胞25点阵点阵+基元基元=晶体结构晶体结构基元基元13布喇菲空间点阵布喇菲空间点阵 原胞原胞 晶胞晶胞26p简单格子：晶体只有一种原子组成，且基元中只含有一简单格子：晶体只有一种原子组成，且基元中只含有一个原子，原子中心与格点重合，这种晶格位简单格子。个原子，原子中心与格点重合，这种晶格位简单格子。p复式格子：晶体只有一种原子组成，且基元中含有两个复式格子：晶体只有一种原子组成，且基元中含有两个或两个以上原子，或晶体由多种原子构成晶体的基元包

16、括或两个以上原子，或晶体由多种原子构成晶体的基元包括两种或两种以上的原子。两种或两种以上的原子。p复式格子中，各单元中相应的同种原子组成与阵点相同复式格子中，各单元中相应的同种原子组成与阵点相同的网络构成简单格子；基元中不同原子构成的简单格子是的网络构成简单格子；基元中不同原子构成的简单格子是相同的，相互之间有一定的位移。相同的，相互之间有一定的位移。或者：整个晶格看做是相同的简单格子相互错开一定的位或者：整个晶格看做是相同的简单格子相互错开一定的位移并套构而成。移并套构而成。13布喇菲空间点阵布喇菲空间点阵 原胞原胞 晶胞晶胞27基矢：对于给定的布喇菲点阵，选择与晶格维数同样基矢：对于给定的

17、布喇菲点阵，选择与晶格维数同样多的一组矢量，使得晶格中任意两点间的位置矢量用多的一组矢量，使得晶格中任意两点间的位置矢量用改组矢量的线性组合表示。改组矢量的线性组合表示。对于三维点阵对于三维点阵332211alalalRll1，l2,l3为任意整数，为任意整数， 1， 2， 2不共面的基本矢量，不共面的基本矢量，大小为三个方向上的周期，称为点阵的基矢。大小为三个方向上的周期，称为点阵的基矢。对于任意给定的点阵，基矢的选择不是唯一的，存在对于任意给定的点阵，基矢的选择不是唯一的，存在多种不等价的方式；多种不等价的方式；但必须满足但必须满足 1， 2， 2构成的平行六面体的体积相等构成的平行六面体

18、的体积相等13布喇菲空间点阵布喇菲空间点阵 原胞原胞 晶胞晶胞281.3.2 原胞原胞以一结点为顶点，以三个不同方向的周期为边长的平行六以一结点为顶点，以三个不同方向的周期为边长的平行六面体可作为晶格的一个重复单元体积最小的重复单元，面体可作为晶格的一个重复单元体积最小的重复单元，称为原胞或固体物理学原胞称为原胞或固体物理学原胞. 它能反映晶格的周期性原胞它能反映晶格的周期性原胞的选取不是惟一的，但它们的体积都相等的选取不是惟一的，但它们的体积都相等或以基矢或以基矢 1， 2， 2为边构成的平行四边形反应晶体的周为边构成的平行四边形反应晶体的周期性。期性。 原胞与基矢原胞与基矢 13布喇菲空间

19、点阵布喇菲空间点阵 原胞原胞 晶胞晶胞29原胞选取的任意性原胞选取的任意性13布喇菲空间点阵布喇菲空间点阵 原胞原胞 晶胞晶胞301.3.3 晶胞晶胞为了同时反映晶体对称的特征，结晶学上所取的重复为了同时反映晶体对称的特征，结晶学上所取的重复单元，体积不一定最小，结点不仅在顶角上，还可以单元，体积不一定最小，结点不仅在顶角上，还可以是体心或面心这种重复单元称作晶胞、惯用晶胞或是体心或面心这种重复单元称作晶胞、惯用晶胞或布喇菲原胞布喇菲原胞13布喇菲空间点阵布喇菲空间点阵 原胞原胞 晶胞晶胞我们称重复单元的边长矢量为基矢若以我们称重复单元的边长矢量为基矢若以a1、a2和和a3表示原胞的基矢。表示

20、原胞的基矢。31布喇菲晶胞的选取原则：布喇菲晶胞的选取原则：（1）选取的平行六面体代表整个晶体点阵的对称性）选取的平行六面体代表整个晶体点阵的对称性（2）平行六面体中应有尽可能多的相等的棱边和顶角；）平行六面体中应有尽可能多的相等的棱边和顶角；（3）平行六面体中应有尽可能多的直角；）平行六面体中应有尽可能多的直角；（4）在上述条件下选择体积最小的平行六面体。）在上述条件下选择体积最小的平行六面体。13布喇菲空间点阵布喇菲空间点阵 原胞原胞 晶胞晶胞32简立方（简立方（sc） 原胞基矢与晶胞基矢的关系：原胞基矢与晶胞基矢的关系：简立方晶胞简立方晶胞 13布喇菲空间点阵布喇菲空间点阵 原胞原胞 晶

21、胞晶胞akaajaaia321,简立方晶胞仅含有一个原子；简立方晶胞仅含有一个原子；是最小的重复单元，与原胞相是最小的重复单元，与原胞相同同33（1）顶角的原子和体心的原子是等同的，体心立方晶）顶角的原子和体心的原子是等同的，体心立方晶格属于布喇菲格子；格属于布喇菲格子；（2）体心立方结构含有）体心立方结构含有2个原子；个原子；体心立方体心立方34体心立方体心立方原胞基矢原胞基矢 体积：体积： 13布喇菲空间点阵布喇菲空间点阵 原胞原胞 晶胞晶胞abca3a1a21231()21()21()2aabcaabcaabc 原胞的体积原胞的体积35（1）顶角的原子和面心的原子是等同的，面心立方晶）顶

22、角的原子和面心的原子是等同的，面心立方晶格属于布喇菲格子；格属于布喇菲格子；（2）面心立方结构含有）面心立方结构含有4个原子；个原子；面心立方结构面心立方结构36面心立方面心立方 13布喇菲空间点阵布喇菲空间点阵 原胞原胞 晶胞晶胞原胞基矢原胞基矢体积：体积： 1231()21()21()2abcaacaab37氯化铯：氯化铯：13布喇菲空间点阵布喇菲空间点阵 原胞原胞 晶胞晶胞p晶格中含有两种离子晶格中含有两种离子Cs+，Cl-，是一种复式格子；，是一种复式格子；p可以看做是可以看做是Cs+简立方点简立方点阵和阵和Cl-简立方点阵沿体对角简立方点阵沿体对角线位移一半套构而成；线位移一半套构而

23、成；p晶胞只含一个基元，晶胞晶胞只含一个基元，晶胞即是元胞；即是元胞；38氯化钠：氯化钠：13布喇菲空间点阵布喇菲空间点阵 原胞原胞 晶胞晶胞p晶格中含有两种离子晶格中含有两种离子Na+，Cl-，是一种复式格子；，是一种复式格子；p可以看做是可以看做是Na+面心立方面心立方结构点阵和结构点阵和Cl-面心立方点面心立方点阵沿体对角线位移一半套构阵沿体对角线位移一半套构而成；而成；p每个晶胞含有每个晶胞含有4对离子；对离子；39金刚石：金刚石：p晶胞中对角线晶胞中对角线1/4处的原子与面处的原子与面心或顶角上的原子价键取向是不同心或顶角上的原子价键取向是不同的，含有两种几何环境不同的碳原的，含有两

24、种几何环境不同的碳原子，是复式格子！子，是复式格子！p两种几何环境不同的碳原子格子两种几何环境不同的碳原子格子组成一个面心立方的布喇菲格子，组成一个面心立方的布喇菲格子，金刚石结构可以看做是金刚石结构可以看做是2个个C的面的面心立方的布喇菲格子沿体对角线平心立方的布喇菲格子沿体对角线平移移1/4长度套构而成的，属于复式长度套构而成的，属于复式面心立方结构。面心立方结构。p每个基元有每个基元有2个碳原子；个碳原子；p每个晶胞有每个晶胞有8个碳原子。个碳原子。13布喇菲空间点阵布喇菲空间点阵 原胞原胞 晶胞晶胞40闪锌矿结构闪锌矿结构p有两种原子有两种原子Zn和和S；p可以看做是可以看做是Zn的面

25、心立方点阵的面心立方点阵和和S的面心立方点阵沿体对角线的面心立方点阵沿体对角线平移平移1/4长度套构而成的，属于复长度套构而成的，属于复式面心立方结构。式面心立方结构。p每个晶胞有每个晶胞有8个原子。个原子。p结构与金刚石类似，不过是两结构与金刚石类似，不过是两种原子组成。种原子组成。13布喇菲空间点阵布喇菲空间点阵 原胞原胞 晶胞晶胞4114晶列晶列 晶面指数晶面指数1. 4.1 晶列指数晶列指数n通过任意两格点作一直线，这一直线称为晶列通过任意两格点作一直线，这一直线称为晶列n晶列最突出的特点是晶列上的格点具有一定的周期晶列最突出的特点是晶列上的格点具有一定的周期n如果一平行直线族把格点包

26、括无遗，且每一直线上都有如果一平行直线族把格点包括无遗，且每一直线上都有格点，则称这些直线为同一族晶列格点，则称这些直线为同一族晶列n这些直线上的格点的周期都相同因此，一族晶列的特这些直线上的格点的周期都相同因此，一族晶列的特征有二：一是征有二：一是取向取向；二是；二是晶列格点的周期晶列格点的周期在一个平面内，在一个平面内，相邻晶列之间的距离必定相等相邻晶列之间的距离必定相等 42其中其中a 、b 、c 为晶胞为晶胞基矢，有基矢，有则这一束直线的方向就可以则这一束直线的方向就可以l, m, n 表示记表示记l m n .14晶列晶列 晶面指数晶面指数其中，其中，l,m,n为互质的整数为互质的整

27、数4314晶列晶列 晶面指数晶面指数44nmnp代表一族晶列，而不是一特定的晶列；代表一族晶列，而不是一特定的晶列；n晶体具有对称性，由对称性联系的那些晶向只是方向不同，晶体具有对称性，由对称性联系的那些晶向只是方向不同，周期确实相同的，因此是等效的。可以周期确实相同的，因此是等效的。可以表示点阵中表示点阵中一组对称的晶向。一组对称的晶向。454614晶列晶列 晶面指数晶面指数 可以想象，所有的格点都分布在相互平行的一平面族上，可以想象，所有的格点都分布在相互平行的一平面族上，每一平面都有格点分布，这样的平面为晶面。每一平面都有格点分布，这样的平面为晶面。1.4.2 晶面指数晶面指数47l原子

28、所在的平面称为晶面，晶面方位用米勒指数标记。原子所在的平面称为晶面，晶面方位用米勒指数标记。l设某一原子面在基矢设某一原子面在基矢a、b、c方向的截距为方向的截距为ra、sb、tc，将系数将系数r、s、t的倒数简约成互质的整数的倒数简约成互质的整数h、k、l，并用圆，并用圆括号包括成括号包括成(h k l)，就是这一晶面的米勒指数。，就是这一晶面的米勒指数。l下图标记出立方晶体中几个最为常见而重要的晶面的米下图标记出立方晶体中几个最为常见而重要的晶面的米勒指数。勒指数。14晶列晶列 晶面指数晶面指数48同一晶体中面间距相同的晶面族，在垂直于晶面的方同一晶体中面间距相同的晶面族，在垂直于晶面的方

29、向上，宏观性质相同，常称它们为同族晶面族。向上，宏观性质相同，常称它们为同族晶面族。495014晶列晶列 晶面指数晶面指数51n晶体的几何形状形成一空间的点阵，空间的点阵可以晶体的几何形状形成一空间的点阵，空间的点阵可以由原胞的由原胞的3个基矢个基矢 1， 2， 3构建的坐标空间描述。构建的坐标空间描述。n用正格基矢来构造倒格基矢用正格基矢来构造倒格基矢n用正格基矢用正格基矢 1， 2， 3来构造的点阵为正点阵或正格子；来构造的点阵为正点阵或正格子；1.5 倒格空间倒格空间52n正格子空间格点的位矢可以表示为正格子空间格点的位矢可以表示为332211alalalRl是正格子基矢的线性组合，为正

30、格矢。其中是正格子基矢的线性组合，为正格矢。其中l1，l2和和l3是整数是整数用用b1，b2和和b3构建一个新的点阵为倒易点阵（倒格子空构建一个新的点阵为倒易点阵（倒格子空间）；间）； b1，b2和和b3为基矢。倒易空间中的格点为：为基矢。倒易空间中的格点为：1 1223 3lRhbh bh b其中其中h1，h2和和h3是整数是整数1.5 倒格空间倒格空间53正格子和倒格子基矢之间的关系为正格子和倒格子基矢之间的关系为)(0)(2jibajibajiji倒易点阵的量纲为长度的倒数，与波矢的量纲相同，实际为倒易点阵的量纲为长度的倒数，与波矢的量纲相同，实际为波矢空间。波矢空间。1.5 倒格空间倒

31、格空间541.5 倒格空间倒格空间（1）正格原胞体积与倒格原胞体积之积等于）正格原胞体积与倒格原胞体积之积等于 （2 ）3设倒格胞的原胞体积为设倒格胞的原胞体积为 *3*1232331123(2 ) ( )bbbaaaaaa CBABCACBA)()()(又又得得12113aaaaa55（2）正格子与倒格子互为对方的倒格子）正格子与倒格子互为对方的倒格子332211,ababab取用倒格子，求倒格子的倒格基矢取用倒格子，求倒格子的倒格基矢*32*12bbb12113aaaaa)2(22211333211332aaaaaaaabb*2311*2 bbba56（3）倒格失）倒格失kh=h1b1+h

32、2b2+h3b3与正格子晶面族（与正格子晶面族（h1,h2,h3)正交。正交。khABcOa1/h1a2/h2a3/h3022)(1133332211hahabhbhbhACkh211 1223 321()()220haakABhbh bh bhh则则kh与平面与平面ABC正交，即与晶面族（正交，即与晶面族（h1,h2,h3)正交正交设设ABC为离原点最近的平面为离原点最近的平面1.5 倒格空间倒格空间57（4）倒格失）倒格失kh=h1b1+h2b2+h3b3与正格子晶面族与正格子晶面族（h1,h2,h3)的面间距成反比。的面间距成反比。khABca1/h1a2/h2a3/h3设设dh1h2h

33、3为晶面族（为晶面族（h1,h2,h3)的面间距的面间距1 2 31 2 311 12 23 3111*1 12 23 3()222hhh hhhhll llKahbhbhbadhKh KKdlal al aR对于倒格对于倒格面间距面间距1.5 倒格空间倒格空间5816晶体的对称性及晶格结构的分类晶体的对称性及晶格结构的分类p 晶体具有自限性，外形上的晶面呈现出对称分布晶体晶体具有自限性，外形上的晶面呈现出对称分布晶体外外形形这称性，是晶体内在结构规律性的体现这称性，是晶体内在结构规律性的体现p 在在物理性质物理性质上也体现出对称性。上也体现出对称性。绕c轴旋转120，晶体自身重合59p如何研

34、究如何研究 晶体的对称性？采用象转动这样的变换研晶体的对称性？采用象转动这样的变换研究。究。p定义：一个晶体在某一变换后晶格在空间的分布保定义：一个晶体在某一变换后晶格在空间的分布保持不变，这一操作成为对称操作。持不变，这一操作成为对称操作。p对称操作的数目越多，晶体的对称性越高；对称操作的数目越多，晶体的对称性越高；p受周期性的影响，晶体只具有少部分的操作。受周期性的影响，晶体只具有少部分的操作。p在对称操作过程中，晶体中两点间的距离不变，在对称操作过程中，晶体中两点间的距离不变，数学上称为正交变换。数学上称为正交变换。16晶体的对称性及晶格结构的分类晶体的对称性及晶格结构的分类601.6.

35、1转动：转动：YXZ（x，y，z）（x，y，z）zyxzyxcossin0sincos0001x，y，z 转换为转换为x,y,z ，绕，绕x轴旋转轴旋转 角角变换为变换为1000cossin0sincosA16晶体的对称性及晶格结构的分类晶体的对称性及晶格结构的分类611.6.2 中心反演中心反演x，y，z转换为（转换为（-x，-y，-z）100010001A变换矩阵为变换矩阵为100010001xxyyzz 16晶体的对称性及晶格结构的分类晶体的对称性及晶格结构的分类621.6.3镜像镜像以以x=0的平面为镜，的平面为镜，x，y，z变换为（变换为（-x，y，z），成），成为镜象变换为镜象变换

36、100010001A变换矩阵为变换矩阵为16晶体的对称性及晶格结构的分类晶体的对称性及晶格结构的分类631.6.4 晶体许可的旋转对称轴晶体许可的旋转对称轴 周期性要求彼此有相同的格点间距离，换言之，应有周期性要求彼此有相同的格点间距离，换言之，应有其中其中m为整数。由图可知为整数。由图可知16晶体的对称性及晶格结构的分类晶体的对称性及晶格结构的分类ABAB64由图可知由图可知 即即如绕轴旋转如绕轴旋转 角度角度 及其整数倍为对称操作则称其为及其整数倍为对称操作则称其为n度旋转轴。度旋转轴。 16晶体的对称性及晶格结构的分类晶体的对称性及晶格结构的分类在上式中将在上式中将m分别代以分别代以0、

37、1、2可得可得分别为分别为12cosmcos2cosaABBA6516晶体的对称性及晶格结构的分类晶体的对称性及晶格结构的分类上面的讨论表明晶体周期性只允许上面的讨论表明晶体周期性只允许2度、度、3度、度、4度和度和6度这度这四种族转对称轴存在可分别用数字四种族转对称轴存在可分别用数字2、3、4及及6或符或符号号 、及及 代表，另外添加代表，另外添加1度。度。不允许有不允许有5度或其他的旋转对称轴。度或其他的旋转对称轴。立方体有立方体有6个个2度轴、度轴、4个个3度轴与度轴与3个个4度轴，均通过立方体度轴，均通过立方体的中心，如下图所示。的中心，如下图所示。6616晶体的对称性及晶格结构的分类

38、晶体的对称性及晶格结构的分类671.6.5 晶体的旋转反演轴晶体的旋转反演轴 旋转与中心反演的结合也可以是晶体的对称操作，称为旋转与中心反演的结合也可以是晶体的对称操作，称为n度度旋转反演对称。由于周期性制约，同样也只能有旋转反演对称。由于周期性制约，同样也只能有2度、度、3度、度、4度或度或6度旋转反演轴，分别用数字记号度旋转反演轴，分别用数字记号 、 、 、 ，另，另有有 操作。示意图如下。操作。示意图如下。16816晶体的对称性及晶格结构的分类晶体的对称性及晶格结构的分类（1） 是中心反演，或是对称心是中心反演，或是对称心i1（2） 等价于垂直于该轴的镜像操作等价于垂直于该轴的镜像操作-

39、m2（2） 等价于等价于3度旋转加对称心的操作，不是基本操作度旋转加对称心的操作，不是基本操作369（4） ：4度旋转度旋转-反演，基本对称操作反演，基本对称操作4（5） ：等价于基本对称操作：等价于基本对称操作3度旋转加垂直于该轴的晶面操作。度旋转加垂直于该轴的晶面操作。670一个晶体所有的宏观对称操作必满足如下的共同性质。一个晶体所有的宏观对称操作必满足如下的共同性质。是必是必n具有不变操作；具有不变操作；n如果具有两个对称操作如果具有两个对称操作A与与B，则这两个操作相继连续，则这两个操作相继连续操作的组合操作仍为一对称操作；操作的组合操作仍为一对称操作；n如果如果A为对称操作，其逆操作也是对称操作。为对称操作，其逆操作也是对称操作。16晶体的对称性及晶格结构的分类晶体的对称性及晶格结构的分类71n1，2，3，4，6，i，m和和 是基本操作，其组合为是基本操作，其组合为32种宏观对称群，成为种宏观对称群，成为32个点群；个点群；n点群在操作过程中至少有一点是保持不变的；点群在操作过程中至少有一点是保持不变的；n空间群：考虑平移性，空间群：考虑平移性，230种