第4章拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

1、第四章第四章 拉普拉斯变换、拉普拉斯变换、 连续时间系统的连续时间系统的s s域分析域分析l 重点：重点：1、拉普拉斯变换及其性质、拉普拉斯变换及其性质2、用拉氏变换法求解系统的响应、用拉氏变换法求解系统的响应3、系统函数及其零、极点的分析、系统函数及其零、极点的分析4、线性系统的稳定性、线性系统的稳定性5、拉氏变换与傅氏变换的关系、拉氏变换与傅氏变换的关系4.1 引言引言本章研究主要对象：本章研究主要对象：1、信号、信号 因果信号的拉氏变换因果信号的拉氏变换2、系统、系统 线性时不变的因果连续系统线性时不变的因果连续系统例如：求系统响应，分析系统零极点分布与系例如：求系统响应，分析系统零极点

2、分布与系 统时域特性、频域特性和稳定性的关系统时域特性、频域特性和稳定性的关系所以，要求重点掌握所以，要求重点掌握0 0- -系统单边系统单边拉氏变换拉氏变换！一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域将 f (t)乘以衰减因子e - t，得：teeteetfetfFtjtatjttdd)()()(0f (t) = e a t u ( t ) ; a 0 的傅里叶变换？不存在不存在! !js若 a，则有令asdteetfFtast1)(0)(推广到一般情况：推广到一般情况：ttfsFstde )()(定义：定义：原函

3、数原函数拉普拉斯正变换拉普拉斯正变换jjstdsesFjtf)(21)(拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换象函数象函数ttfttfttftfFt sttttde )( de )(dee )(e )()j(j(s = +j )拉普拉斯变换符号表示及物理含义：拉普拉斯变换符号表示及物理含义：物理意义：物理意义：信号信号f(t)可分解成复指数信号可分解成复指数信号est的线性组的线性组合。合。 F(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。函数。 s是复数称为复频率，是复数称为复频率，F(s)称复频谱。称复频谱。)()(tfLsF)()(sFtfL符号表示：符号表示

4、：)()(1sFLtf（正变换）（正变换）（逆变换）（逆变换）或或重点要求掌握重点要求掌握0- -系统单边拉氏变换系统单边拉氏变换（双边拉氏变换）（双边拉氏变换）( )( )edstF sf tt积分下限定义为零的左极限，目的在于分析和积分下限定义为零的左极限，目的在于分析和计算时可以直接利用系统起始给定的计算时可以直接利用系统起始给定的0 0- -状态。状态。！jjd)(j21)(essFtfst0d)()(ettfsFst（单边拉氏变换）（单边拉氏变换）二、拉氏变换收敛域二、拉氏变换收敛域4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域（1）f(t) = eatu(t) ; (

5、a0)（2）f(t) = -eatu(-t) ; (a0)求下面各式拉普拉斯变换求下面各式拉普拉斯变换例例解解(1)()Re(;1)()()(0)(0结果存在即aasasdtedteedtetuedtetfsFtasstatstatst 上限t = ，要求Re-(s-a) a (即 a，t时，指数项才收敛)不同的f (t)却有相同的F (s)，故在s域要靠收敛域的不同加以区分。说明说明aseasdtedtetuedtetfsFtastasstatst11)()()(0)(0)(2) 下限t = -，要求Re-(s-a) 0时，F (s)才存在。 要求Re(s) a (即 0) 称为收敛条件称为

6、收敛条件1、收敛域、收敛域当当 0时，且时，且则拉氏变换存在，这时则拉氏变换存在，这时 0的全部区域称为收敛域。的全部区域称为收敛域。1. 右单边拉氏变换收敛域右单边拉氏变换收敛域收收敛敛区区j0S平面右半平面左半平面O绝对收敛坐标绝对收敛坐标2. 双边拉氏变换收敛域双边拉氏变换收敛域双边信号可表示为双边信号可表示为 ：对左边信号和右边信号分别求其收敛域对左边信号和右边信号分别求其收敛域1）右边信号）右边信号fR(t)求解类同右单边信号，即求解类同右单边信号，即 02）左边信号）左边信号fL (t)满足满足( )0( )( )0LRfttf tftt收收敛敛区区 j1 O1lim( )e0,

7、ttf tL3. 单、双边拉普拉斯变换收敛域比较单、双边拉普拉斯变换收敛域比较特别指出：双边变换含有左边及右边信号时，特别指出：双边变换含有左边及右边信号时， 其收敛域是右上图所示。其收敛域是右上图所示。如果仅是左边信号，则收敛域为左开区域。如果仅是左边信号，则收敛域为左开区域。如果仅是右边信号，则收敛域为右开区域。如果仅是右边信号，则收敛域为右开区域。！右单边变换收敛域右单边变换收敛域双边变换收敛域双边变换收敛域计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域计算下列信号拉普拉斯变换的收敛域例例(1) ( )()u tu t(2) ( )u t3(3) e( )tu t(4) ( )nt u t2(5) ,

8、ettt收敛域为全收敛域为全S S平面平面03032(6) e( )e()ttu tut不存在不存在不存在不存在作业：计算以上信号的拉氏变换收敛域作业：计算以上信号的拉氏变换收敛域三、常用函数的拉氏变换三、常用函数的拉氏变换4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域拉普拉斯变换的定义、收敛域（1）单边指数型函数）单边指数型函数e t u(t)同理：同理：01e( )e edttstLu tts 1e( ) tu ts 001e( ) jjtu ts 00(j)001e( ) (j)tu ts 00（2）余弦和正弦信号）余弦和正弦信号00jj0eecos( )( )2ttt u tu t 2200011

9、1()2jjssss000jj0eesin( )( )2jttt u tu t 022000111()2jjjsss 0(3) 阶跃函数阶跃函数u(t)01 ( )lim e( )tL u tLu ts 0 Re( )0s或由单边指数信号变换结论，则有：由单边指数信号变换结论，则有：0 ( )( )edstLttt1)Re(s0( )( )edstLttt0d(e)dstts s( )( )0( )( )ednnstLttt0d( 1)(e)dnnstnts ns(4) 单位冲激信号及其高阶导数单位冲激信号及其高阶导数(5) (5) t 的正幂函数的正幂函数t n根据以上推理根据以上推理, ,

10、可得可得121( )( )( )nnnnn nL t u tL tu tL tu tsss 0122 1( )n nnL t u tssss s 1000( )()ed(e)ednnnststnsttnL t u tttttss 10ednstntts 1( )nnL tu ts (n为正整数为正整数) )0)Re(,!)(1ssntutnLn1e( ) Re( )Ltu tss 1e( ) Re( )Ltu tss 0j 01e( ) Re( )0jtLu tss 0j 01e( ) Re( )0jtLu tss 0220cos ( ) Re( )0Lst u tss ( ) 1 Re(s)

11、-Lt 00220sin ( ) Re( )0Lt u tss ( )( ) Re(s)-Lnnts 1( ) Re( )0sLu ts 21( ) Re(s)0sLtu t 1!( ) Re(s)0Lnnnt u ts 21e( ) Re(s)-()Lttu ts 00002200ecos ( ) Re(s)-()tLst u ts 00002200esin( ) Re(s)-(s)tLtu t 22002220scos( ) Re(s)0()Lttu ts 0022202sin( ) Re(s)0()Lsttu ts 4.3 拉氏变换的基本性质（单边）拉氏变换的基本性质（单边）当当信信号号

12、在在一一个个域域内内有有所所变变化化时时，必必然然在在其其对对应应复复频频域域内内有有相相应应的的体体现现，LaplaceLaplace变变换换的的性性质质体体现现了了这这种种变变化化。研研究究目目的的：123拉拉氏氏（ ）深深入入理理解解变变换换（ ）利利用用性性质质简简化化计计算算（ ）与与傅傅里里叶叶变变换换性性质质进进行行比比较较拉氏变换的基本性质表拉氏变换的基本性质表（1 1）)(1tfkinii)(1tfLkiniid ( )df tt)0()( fssF)()(00ttuttf)(e0sFstattfe)()(asF线性时域微分时移频移)(atf尺度变换1()sF频域微分 )(t

13、tfd ( )dF ssaa拉氏变换的基本性质表（拉氏变换的基本性质表（2 2）)(lim)0()(lim0ssFftfst)(lim)()(lim0ssFftfst)(*)(21tftf)()(21sFsF)()(21tftf)(*)(j2121sFsF时域积分初值定理终值定理时域卷积tfd)(sfssF)0()(频域卷积拉氏变换性质（单边）拉氏变换性质（单边）1.1.线性线性1212( )( )( )( ), ,Laf tbf taF sbF s a b 则为常数1122( )( ),( )( )LLf tF sf tF s 设例：已知例：已知 f (t) = e-at sin t ; 求

14、求F (s)解：解：tjatjatjtjtaeejeejetf)()(2121)(aseta12222)(2)(2211121)(asjasjjjasjasjsF)(1)(1)()(jasejasetjatja拉氏变换性质（单边）拉氏变换性质（单边） 该性质主要用于研究具有初始条件的微分方程，该性质主要用于研究具有初始条件的微分方程，可以方便地从复频域求解系统的零输入响应和零状态可以方便地从复频域求解系统的零输入响应和零状态响应，而对于傅里叶变换却没有初态项出现，也就无响应，而对于傅里叶变换却没有初态项出现，也就无法直接利用傅里叶变换直接求零输入响应，这是复频法直接利用傅里叶变换直接求零输入响

15、应，这是复频域性质的一个优点，域性质的一个优点，在分析连续系统时极其有用。在分析连续系统时极其有用。 2.2.原函数微分原函数微分( )( )Lf tF s 若：若：，则：，则：d ( )( )(0 )dLf tsF sft )0()0()(d)(d)1(1nnnLnnffssFsttf推广：推广：例：f (t)如图所示，求一阶导数f (t)的 拉氏变换 L f (t) = ?解： f (t) = -u(-t) + e-at u(t) 方法一： f (t) = 2(t) a e-at u(t) （说明：从图中直接求导获得结果）L f (t) = 2asasasa21方法二： F (s) = L

16、 f (t) as1L f (t) = s F(s) f (0-)asasass2) 1(结果相同作业：用“原函数微分”求： (t), (t) , (n)(t)的拉氏变换拉氏变换性质（单边）拉氏变换性质（单边）3.3.原函数积分原函数积分( )( )Lf tF s 若若1( )Lu ts 例如： 已知求 t u(t)的拉氏变换则则1(0 )( )( )dtLfF sfss ( )其中：其中：0) 1()()0 (dff其中：0)()0 (0) 1(duu2) 1(1)0 (1)(ssussttuL 0( )( )dttu tu 解：解： f (t) = (t+1) u(t+1) f (t) =

17、 u(t+1) 例：f (t)如图所示，求F (s) = ?L f (t) = L u(t+1) = 1/s ; 单边t = 0 +11) 1(010dtdttu2111)( )()(sssssdfLtfLsFt！用单边拉氏变换定义求解验证以上结果220111)() 1()()(sssstuttfLsF结果相同拉氏变换性质（单边）拉氏变换性质（单边）4.4.延时（时域平移）延时（时域平移）( )( )Lf tF s 若若则则 f (t - t0 ) u( t - t0 ) F (s) e-st0L例：求 F1(s) ， F2(s)解： f 1(t) = u(t -a ) - u( t -b )

18、 F1(s) = L u(t -a ) - u( t -b ) = (1/s)e-as - (1/s)e-bs f 2(t) = (E/T)t u(t) - u(t-T) = (E/T)t u(t) (E/T)t u(t -T) = (E/T)t u(t) (E/T)(t-T) u(t -T) - Eu(t -T)令t = t-T+TF2(s) = (E/T)(1/s2) - (E/T)(1/s2)e-sT - (E/s)e-sT拉氏变换性质（单边）拉氏变换性质（单边）5.5.s s域平移域平移( )( )Lf tF s 若若则则 f (t) e-at F (s+a) L解： L e-j0t

19、u(t) = 1/( s + j0 ) L e-at cost = 22asas例： 已知 u(t) 1/s , cost s/(s2+2)求： Le-j0t u(t) , Le-at cost LL拉氏变换性质（单边）拉氏变换性质（单边）6.6.尺度变换尺度变换( )( )Lf tF s 若若则则 f (at) L)0(;1aasFa自学：P187 例4-77.7.初值初值若若 f (t)和 f (t)的拉氏变换存在，且 ( )( )Lf tF s )(lim)0()(lim0ssFftfst则8.8.终值终值若若 f (t)和 f (t)的拉氏变换存在，( )( )Lf tF s )(li

20、m)()(lim)(lim0sssFftftftt则，存在且自学：P187188 （7.7.初值和初值和8.8.终值）终值）终值使用条件：当sF(s)的所有极点都位于s左半平面，且原点为单阶极点时才可用。例：已知 F (s) = a /( s+a ) a 0 求 f ( 0+ ) , f ()0lim)(lim)(s0sasasssFf解：asaaasasssFf1limlim)(lim)0(sss分子分母同除s拉氏变换性质（单边）拉氏变换性质（单边）证明方法类似于傅里叶变换。证明方法类似于傅里叶变换。 利用卷积性质求复杂信号通过线性时不变系统利用卷积性质求复杂信号通过线性时不变系统时的响应，

21、可以把复杂信号分解为简单信号的卷时的响应，可以把复杂信号分解为简单信号的卷积，然后变换到复频域求拉普拉斯变换的乘积，积，然后变换到复频域求拉普拉斯变换的乘积，再逆变换到时域。这样，可使问题简单化。再逆变换到时域。这样，可使问题简单化。9.9.卷积卷积若若)()(,)()(2211sFtfsFtfLL121212( )*( )( )( ),Re max(,)Lf tf tF sF ss 则时域卷积为则频域卷积为jjLdppsFpFjtftf)()(21)()(2121例：例：已知已知( )( )(),0f tu tu t 求求( )*( )f tf t解：解：由由11( )eLsf tss 得：

22、逆变换到时域有：逆变换到时域有：( )*( )( )2() ()(2 ) (2 )f tf ttu ttu ttu t2211111( )*( )(e) (e)(12ee)Lssssf tf tsssss 得：作业：P250，4-1(1)(2)(3)(4)(8)(14)， 4-3(1)(3)(5)解：解：观察图形的时移关系，有如下对应变换：观察图形的时移关系，有如下对应变换：1( )( )x tktu t2LKs 20( )() ( )x tk tt u t02LKtKss 410( )( )x tx tt只有是平移 后所得400( )() ()x tk tt u tt021estLKs 例：

23、例： 试求图中不同的时移对应变换试求图中不同的时移对应变换t01( )x tt03( )x t0tt04( )x t0tt02( )x t0t30( )()x tktu tt0021()estLtKss 令t = t-t0+t0解：先求第一个周期对应的函数 x1(t) 的拉氏变换(如左下图)0 T/2 tx1(t)E例例 试求试求x(t)半波正弦函数的拉氏变换半波正弦函数的拉氏变换0 T/2 T 2T tx(t)EE( )ax t0 T/2 T tE( )bx t0 T/2 T t22sin() ( )sin() ()22TTEt u tEtu tTT分解第 一个周期函数x1(t) = xa(

24、t) + xb(t)22222222(2/)(2/)(2/)e(1 e)(2/)(2/)(2/)TTssETETETsTsTsT x1(t)对应拉氏变换为：对应拉氏变换为： 2221(2/ )(2/ )1 esTETsTa2-b2 = (a+b) (a-b)因而，半波正弦函数因而，半波正弦函数x(t)的拉氏变换的拉氏变换0101)()()()(nsnTLnesXsXnTtxtxsTnsnTesXesXsX11)()()(101无穷递缩等比数列2221(2/ )( )( )(1 e)1 e(2/ )TsLsTETx tX ssT 所以例例: 求下式拉氏变换求下式拉氏变换(1)e(1)tu t0(

25、2)esin( )ttu t解解: (1) 1( ),Lu ts (1)1e(1)e1Ltsu ts 再根据频移性质有：再根据频移性质有：1(1)eLsu ts 根据时移性质有：根据时移性质有： 00220sin( )Ltu ts 解解: (2) 00220esin( )()Lttu ts 例例 已知已知Lx(t)=X(s)，试求，试求000 () ()(0,0)L x att u attat解：解：先时移性后比例性先时移性后比例性由时移性由时移性000 () () e( )stL x t t u t tX s再由比例性再由比例性0001 () ()e( )stasL x at t u at

26、tXaa再由时移性再由时移性1 () ()( )sL x at u atXaa0000 () () () ()ttL x att u attL x a tu a taa)(e10asXatas由比例性由比例性另解：另解：先比例性后时移性先比例性后时移性解：解：单边拉氏变换相等单边拉氏变换相等ssXsXtxLtxL1)()(),()(21211)(1tx0t1)(2tx-10t的拉氏变换。和求)( )( 21txtx1210( )e( ),( )e0tttx tu tx tt例：例：已知已知1d ( )( )e( )dtx ttu tt分别求两式的微分并做拉氏变换如下：分别求两式的微分并做拉氏变

27、换如下：111d ( )1( )(0 )dx tsLsX sXtss 02d( )2 ( )e( )dtx ttu tt虽然两式的单边变换相同，但所求信号微分虽然两式的单边变换相同，但所求信号微分项对应的拉氏变换却不同项对应的拉氏变换却不同; 对于双边变换对于双边变换x2(t)收敛域包括两部分：收敛域包括两部分：Re(s)0（t -a（t 0 部分）必须有交点。部分）必须有交点。！212d( )21( )(0 )dx tsLsXsXtss -1( )( )e( ), (0 )1tx ttu tx 初值定理条件初值定理条件 必须存在必须存在,时域中意味时域中意味着着 f (t) 本身不能包含冲激

28、本身不能包含冲激.但由于但由于的存在的存在, 不影响不影响 的值的值 , 可把可把 移去后再应移去后再应用初值定理用初值定理,即只取真分式。即只取真分式。)(limssFs (0 )0( ) t ，(0 )f )(t 1( 0)l i m11sxss 本例中本例中注意：应用初值定理先求真分式注意：应用初值定理先求真分式1)()(sstxLsX 例：例：求求初值初值1lim( )lim 11sssX sss 解：解：4.4 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换计算拉普拉斯逆变换方法：计算拉普拉斯逆变换方法：1. 利用典型信号变换对求解（查表法）利用典型信号变换对求解（查表法）2. 采用部分分式展开法采用

29、部分分式展开法jj1( )( )e d2jstf tF ss 3. 利用复变函数中的留数定理利用复变函数中的留数定理一、查表法一、查表法: 利用典型信号的变换对（查表）及性质利用典型信号的变换对（查表）及性质43411ssss 例例:3233341ssss(3)(2)( )3( )3 ( )4 ( )3e( )Ltttttu t 该例子说明假分式求拉氏变换的第一步是化成真分式该例子说明假分式求拉氏变换的第一步是化成真分式 单边信号的拉普拉斯逆变换单边信号的拉普拉斯逆变换4333141313141232334ssssssssssss例例: 求求 原函数原函数22)3()(sssX解：解：tsL3

30、sin332221( )sin3 ( )(3)2 3LsX sttu ts 1e21ss()e( )2e()Lttu tu t ssse1211例例:该例子说明含指数的无理式化简是利用时移性质求解该例子说明含指数的无理式化简是利用时移性质求解ttssssL3sin)3(32)33(dd222利用对s微分性质dssdFtftL)()(略d3sin321)3(1022tLsss1cos 3sin3 ( )66 3ttt u t221( )(3)X ss例例:求求 原函数原函数( )LX sxs -t0( )d解：解：根据上例结果，及积分性质有：根据上例结果，及积分性质有：略,)()()(01110

31、111asasasbsbsbsbsDsNsFnnnmmmm(1) F(s)为有理真分式为有理真分式( m n)，极点为一阶极点，极点为一阶极点)()()()()()(21npspspssNsDsNsFnnpskpskpsksF2211)(nisFpskipsii, 2 , 1)()()()eee()(2121tukkktftpntptpn有有四种四种情况：情况：二、二、 部分分式展开法部分分式展开法将分母复杂的将分母复杂的F(s)化为常用函数形式，再使用常用函数变换求解化为常用函数形式，再使用常用函数变换求解例：例： 采用部分分式展开法采用部分分式展开法sssssX342)( ) 1 (23求

32、求解：解： （1）中）中X(s)为有理真分式，极点为一阶极点。为有理真分式，极点为一阶极点。)3)(1(2342)(23sssssssssX31321sksksk10022( )( )(1)(3)3sssks X sss21)3(2)() 1(112ssssssXsk61) 1(2)()3(333ssssssXsk)(e61)(e21)(32)(3tutututxtt因此，逆变换为：因此，逆变换为：式中：式中：(2) F(s)为有理真分式为有理真分式( m 0 ）jOxet u(t)1ssH1)(h(t)tu(t)1s1xh(t)tet u(t)1ssH1)(xh(t)t-2) 共轭一阶极点共

33、轭一阶极点josin(t) e-t u(t) jsjs)(1xxtjtxsin(t) u(t)(1jsjsx-jsin(t) et u(t)(1jsjsxxt3) 二阶极点情况二阶极点情况jOj- j222)(2ss)()sin(tuttxxxx)(ttu21sxx21s)(tutetxx图中第一、二、三列图分别对应极点在左半平面、虚图中第一、二、三列图分别对应极点在左半平面、虚轴和右半平面的波形；第一、二、三行图对应的分别轴和右半平面的波形；第一、二、三行图对应的分别为共轭根、单根和实轴上的重根所对应的波形。为共轭根、单根和实轴上的重根所对应的波形。s0jjottttttttt)(th)(t

34、h)(th)(th)(th)(th)(th)(th)(th0j小小结结H(s)极点对极点对h (t)影响影响（1）极点在左半复平面时，单位冲激响应衰减；（2）极点在右半复平面时，单位冲激响应增强；（3）极点在复平面虚轴上且只有单极点时，单位冲激响应呈等幅震荡；若有重极点时在虚轴上，则单位冲激响应振幅增强；（4）极点在复平面原点且只有单极点时时，单位冲激响应为阶跃信号；作业：P256，4-22注：注：H(s)的极点位置决定了的极点位置决定了h(t)波形的形式，而波形的形式，而H(s)的零的零点位置只影响点位置只影响h(t)的幅度和相位。的幅度和相位。例：已知H1(s) = ； H2(s) = 2

35、22) 1(1ss222) 1(ss解： H1(s) 与H2(s)的极点相同p1,2 = -1j2 H1(s) 与H2(s)的零点不同z1 = -1 ; z2 = 0 h1(t) = e-t cos(2t) u(t) H2(s) = h2(t) = e-t cos(2t) () sin(2t) u(t) = e-t cos(2t + 26.570) u(t)结论： h1(t)与h2(t)均是 e-t cos(2t)形式，但幅度和相位不同 2222222) 1(2212) 1(12) 1(11sssss25 频响特性是指系统在正弦信号激励之下稳态响应频响特性是指系统在正弦信号激励之下稳态响应随信

36、号频率的变化情况。随信号频率的变化情况。幅频特性幅频特性相频特性相频特性)()()()(jjsejHsHjHH(j)E(j)R(j)H(j) = R(j) / E(j) 4.8 由系统函数零、极点分布决定频响特性由系统函数零、极点分布决定频响特性当H(s)收敛域含虚轴时，则系统频响特性H( j ) 为 一、频率响应一、频率响应H( j ) 二、滤波器的类型二、滤波器的类型（由幅频特性定义）1、低通0|H(j)|c理想理想通带通带阻带阻带截止频率截止频率0|H(j)|c2、高通|H(j)|0c1c23、带通0c1c2|H(j)|4、带阻对于零、极点和增益表示的系统函数H(s)三、频响分析三、频响

37、分析nijmjjjsnijmjjjspjzjKpszsKsHjH1111)()()()()()()()()(2121)(2121jjmmejHeMMMNNNKnmnmijjnjjjmjjnijimjjjeMeMeMeNeNeNKeMeNKjH2121212111)(nmMMMNNNKjH2121)()()()(2121nm零、极点的矢量图零、极点的矢量图定性分析频响特性当由0 时|H(j)| = M1 / N1() = 1-121)(sssH例：例：已知已知，分析系统的频响特性。，分析系统的频响特性。00022903 .353 .125)(;21)(jH000001800180)(;21)(j

38、H00009090)(;1)(jH解解:11224121)()(jjsHjHjs系统系统H(s)的频率响应特性图的频率响应特性图幅频特性图幅频特性图相频特性图相频特性图作业：P259，4-38（c）（d） （e）概念概念4.11 线性系统的稳定性线性系统的稳定性1、系统是否稳定取决于系统自身与激励无关2、判断系统是否稳定1）时域：t ，冲激响应 h (t)增长、有限值或消失2）s 域：研究 H(s)在s平面中极点分布位置1、稳定系统s 域判定：满足H(s)全部极点位于s左半平面（不包括虚轴）时域判定：满足0)(limtht2、不稳定系统s 域判定：满足H(s)有极点位于s右半平面， 或在虚轴上

39、且具有二阶以上的极点。时域判定：满足)(limtht3、临界稳定系统s 域判定：满足H(s)极点位于s平面虚轴上，且只有一阶。时域判定：满足)()(lim非零值或等幅振荡tht一、因果系统稳定性的判定二、因果稳定系统的另一种定义方式若满足有界输入e(t)产生有界输出r(t)，则系统稳定。即激励： 响应：eMte)(rMtr)(或)(;d)(为有界正值MMtth稳定系统的充分必要条件是：)()(1ttutr2111111)()()(ssssEsHsR解:激励分别为e1(t) = u(t) , e2(t) = sin(0t)u(t)求： r1(t) 和r2(t) 并讨论稳定性02002222)()

40、()(ssssEsHsR)()sin(21)(02tutttr)()(1)() 1 (11tuthssHL)()cos()()2(02220tutsssHL例：已知两因果系统是系统稳定性分析系统稳定性分析分析1：因为输入有界输出无界，故不是稳定系统 。分析2： h1(t) 和h2(t) 均不满足 ， 故不是稳定系统。分析3： H1(s) 和H2(s) 都具有虚轴上一阶极点， 属于临界稳定系统。 Mtthd)()(tft)(etuataajsjassF1)(aFj1)j (（1）收敛域包括虚轴）收敛域包括虚轴 即：即：0 ;(00 ;(00) 具有拉氏变换，而傅氏变换也可以存在，具有拉氏变换，而傅氏变换也可以存在，但不能简单用但不能简单用s=j来求傅氏变换，其傅氏来求傅氏变换，其傅氏变换中将包括奇异函数项。变换中将包括奇异函数项。（3）收敛域恰在虚轴上）收敛域恰在虚轴上 即：