第3章向量空间

1、3-1 向量与向量空间3-2 线性相关与线性无关3-3 基底与坐标3-4 欧氏空间3-5 线性变换实训三：1、特征值计算程序；2、标准正交基构造程序；第3章 向量空间(Vector Space)l线性代数的中心内容；l线性代数的核心内容；教学大纲：1理解n维向量的概念。2理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解有关的重要性质并会进行判别。3理解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念，并会求向量组的最大无关组与向量组的秩。4知道n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念，知道基变换和坐标变换。5了解向量内积的概念，了解标准正交基的概念，会使用线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法

2、。6了解线性变换的概念，了解正交变换和正交矩阵的概念和性质。7理解线性变换的特征值与特征向量的概念并掌握其求法。8了解相似矩阵的概念及性质。了解矩阵对角化的充要条件。会求实对称矩阵的相似对角形矩阵。相关阅读A 向量又称为矢量，最初被应用于物理学很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量 大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到“向量”一词来自力学与解析几何中的有向线段最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿 一般讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向但是在高等数学中还

3、有更广泛的向量例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型 从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联

4、系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系 向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数abi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学 但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系19世纪中期，英国数学家汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的

5、向量他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析 三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成的他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积并把向量代数推广到变向量的向量微积分从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具. 相关阅读B相关阅读C3-1 向量与向量空间向量与向量空间一、一、n维向量维向量的定义及运算的定义及运算1.定义定

6、义由n个数组成的有序数组(a1, a2, an)称为一个n维向量。 = ( a1, a2, an )其中第 i 个数 ai ( i = 1, 2, , n ) 称为 n 维向量 的第 i 个分量或坐标。记为：零向量零向量 0 = ( 0, 0, , 0 )负向量负向量对 = ( a1, a2, an ) 称 ( a1, a2, , an ) 为 的负向量。记为 。 = (a1, a2, , an )行向量行向量 = ( a1, a2, , an )列向量列向量Tnnaaaaaa),(2121 规定：规定：两个向量 = ( a1, a2, an ), = (b 1, b 2, b n )相等，记

7、 = ai = bi ( i = 1, 2, , n)说明：说明：1、向量可视为特殊的矩阵。 2、矩阵可视为行组成的列向量，或列组成的行向量。思考：矩阵向量？设 = ( a1, a2, , an )， = (b 1, b 2, , b n )，是数规定：规定：(1) 加法： + = ( a1 + b1, a2 + b2, , an + bn)(2) 数与向量的乘法： = ( a1, a2, , an )向量的加法及数与向量的乘法(数乘)两种运算统称为向量的线性运算。2、n 维向量的维向量的线性运算运算l向量的线性运算满足八条运算规律向量的线性运算满足八条运算规律(1) + + (2) ( +

8、) + + ( + )(3) + 0 (4) + ( ) 0设 、 、 是 n 维向量，0 是 n 维零向量，k、 l 是任意实数。(5) k ( + ) k + k (6) ( k + l ) = k + l (7) ( k l ) = k ( l )(8) 1 = 二、向量空间二、向量空间定义定义设 V 是 n 维向量的集合，如果 V 对向量的两种运算封闭封闭，即 V 满足：(1) , V，有有 + V(2) V ，k R，有有 k V则称 V 是一个向量空间。例：例：(3) V1 = ( 0, a2, , an ) | ai R, i = 2, 3, n 是一个向量空间，且V1 Rn，称

9、为 Rn 的一个子空间。(2) V = 0，由于 0 + 0 = 0，k0 = 0， V = 0 构成一个向量空间，称为零空间。(1) 全体 n 维向量构成一个向量空间，称为 n维向量空间。记作 Rn （R2 、R3）。定义定义设V是一个向量空间，V1是V的非空子集，若V1也是一个向量空间 (即对向量的两种运算封闭)，则称 V1 是 V 的一个子空间。说明：说明：一个向量空间 V 至少有两个子空间： V 及零空间 0，称为平凡子空间。三、子空间三、子空间例例1：设nmR ,21, 2 , 1|2211miRkkkkLimm 证明：L 构成一个向量空间。证： , L， Rmmkkk 2211mm

10、kkk 2211)()(22112211mmmmkkkkkk mmmkkkkkk )()()(222111)(2211mmkkk mmkkk )()()(2211 L 是一个向量空间是一个向量空间LL说明：说明：, 2 , 1|2211miRkkkkLimm 称为由 1, 2, , m 生成的向量空间（生成子空间），记为 L ( 1, 2, , m )； 1, 2, , m称为此子空间的一组生成元。对于向量nmR,21设设X1和和X2是齐次线性方程组是齐次线性方程组AX=0的解，的解，V = X | A X = 0，nm1n例例2：齐次线性方程组齐次线性方程组 的解集合记为的解集合记为 A X

11、 = 0nm1n则则 V 是是 R n 的一个的一个子空间。子空间。证：证：即即A X1 = 0，A X2 = 0A（ X1 + X2 ）= 0，(1)则则X1 + X2 仍是仍是 AX = 0的解的解A( X1 ) =0，(2) R , X1仍是仍是AX = 0 的解的解 故故 V 是是 R n 的一个的一个子空间子空间。称为齐次线性方程组称为齐次线性方程组 AXAX = 0 = 0 的的解空间解空间。V例例3：设V1 ，V2是向量空间 V 的两个子空间，则则（1） V1 V2+221121,VxVxxx仍是V 的子空间，称为V1 ，V2的和空间；（2） V1 V221VxVxx且仍是V 的

12、子空间，称为V1 ，V2的交空间。 (子空间的交)作业 3-1 P62，1，3； P62，4(1),(3)； 附加题：预习简单回顾 n维向量：n个数组成的有序数组。 向量的运算：加法运算，数乘运算，线性运算。 向量空间：非空向量集合，关于加法和数乘运算封闭。 Rn：n维实向量空间。 子空间：非空子集，对加法和数乘运算封闭。 生成子空间：向量由生成元生成。 向量与矩阵的关系？ 向量空间一定有零向量？3-2 线性相关与线性无关l讨论向量组一、一、线性相关与线性无关概念二、线性相关与线性无关和矩阵的秩 三、最大无关组与向量组的秩四、向量组之间的关系一、线性相关与线性无关的概念一、线性相关与线性无关的

13、概念比较两组向量：比较两组向量：(1) 1= ( 1, 0, 1) , 2= (0, 3, 4) 观察k1 1 + k2 2 = ( k1, 3k2, k1 + 4k2)当k1 k2 = 0 时k1 1 + k2 2 = 0(2) 1= ( 1, 0, 1), 2= (2, 0, 2) 当k1 k2 = 0 时k1 1 + k2 2 = 0当k1 = 2, k2 = 1时k1 1 + k2 2 = 0定义定义1设 1 ， 2 ， m 是m个n维向量，若存在 m 个不全为0的数1，2， ，m，使得1 1 + 2 2 + + m m = 0则称向量组 1 ， 2 ， m 线性相关。否则，称向量组

14、1 ， 2 ， m线性无关。说明：说明： 1 ， 2 ， m 线性无关1 1 + 2 2 + + m m = 01 = 2 = = m= 0Q、方程角度？例例1考察 n 维向量组： 解：设有一组数1，2， ，n，使得1e1 + 2e2 + + nen = 0即：( 1, 0, , 0 ) + ( 0, 2, , 0 ) + + ( 0, 0, , n )= (1，2， ，n ) = 0 1= 2 = = n = 0所以 e1，e2， ，en 线性无关/称 e1，e2， ，en 为 n 维单位向量组e1 = ( 1, 0, , 0), e2 = ( 0, 1, , 0), , en = ( 0,

15、 0, , 1)的线性相关性。例例2 设 1 = (1, 1, 1)， 2 = (1, 2, 3)， 3 = (1, 3, 6) 讨论其线性相关性。解：1 1 + 2 2 + 3 3 = 0设有一组数 1， 2， 3 使即：( 1+ 2 + 3 , 1+ 22 + 33 , 1+ 32 + 63 ) = (0, 0, 0)有: 1+ 2 + 3 = 01+ 22 + 33 = 01+ 32 + 63 = 0因为系数行列式01631321111|A所以方程组只有唯一的一组零解， 1= 2 = 3 = 0，故 1, 2 , 3 线性无关。行列式与向量之间对应关系？例例3 讨论向量组 1= ( 1,

16、 1, 1), 2= ( 2, 0, 2), 3= ( 2, 1, 0)的线性相关性。 解：设有一组数1， 2， 3 , 使1 1 + 2 2 + 3 3 = 0即 ( 1+ 22 + 23 , 13 , 122 ) = (0, 0, 0)有1+ 22 + 23 = 01 3 = 0 1 22 = 0解得：3 = 11221取 1= 2 , 得非零解 1= 2， 2 = 1, 3 = 2所以，向量组 1, 2 , 3 线性相关。l思考：如何判断向量组的线性相关性？ 1、方程角度； /分量数-方程数，向量数-未知数 2、行列式角度； 3、矩阵角度；定义定义2对于 m+1 个 n 维向量 1 ，

17、2 ， m 和 ，若存在m个数1，2， ，m ，使得： = 1 1 + 2 2 + + m m或称是 1 ， 2 ， m 的线性组合线性组合， 1，2， ，m 称为组合系数。则称向量 能用向量组 1 ， 2 ， m线性表示线性表示。例如：例如：Rn 中的任一个向量 = ( x1, x2 , , xn ) 都是单位向量组的一个线性组合。 = x1e1 + x2e2 + + xnen定理定理1向量组 1 ， 2 ， m ( m 2 ) 线性相关该向量组中至少有一个向量是其余 m1个向量的线性组合(线性表示)。证：必要性设 1 ， 2 ， m 线性相关，则存在一组不全为零的数1，2， ，m ，使得1

18、 1 + 2 2 + + m m = 0不妨设 m 0，则即： m是 1 ， 2 ， m1的线性组合。充分性：设 m 是其余向量的线性组合，即存在数1，2， ，m1 ，使得 m = 1 1 + 2 2 + + m1 m1有1 1 + 2 2 + + m m1 + (1) m 0 1 ， 2 ， m线性相关故121mmm1m2mm1推论：推论：两个非零向量 1 ， 2 线性相关 定理定理2：若m个向量 1 ， 2 ， m 中有一部分向量线性相关，则这m个向量也线性相关。即 1 ， 2 对应分量成比例 1 = k 2，(其中 k 0)(部分相关 整体相关)证：不妨设前 r 个向量 1 ， 2 ，

19、r 线性相关，即存在不全为0的数 1， 2， ， r ，使得1 1 + 2 2 + + r r = 0如是1 1 + 2 2 + + r r + 0 r+1 + + 0 m = 01，2， ，r , 0, , 0 不全为0故 1 ， 2 ， m 线性相关推论推论1：包含零向量的向量组一定线性相关。推论推论2：若m个向量 1 ， 2 ， m 线性无关，则其中任一部分也线性无关。(整体无关 部分无关)思考：从向量分量加长的角度分析？ 原无关（部分），加长无关！（P70，6） 加长相关，原相关!二、向量组线性相关性与矩阵的秩二、向量组线性相关性与矩阵的秩则称：mnmmnnaaaaaaaaa21222

20、2111211为由向量组 1 ， 2 ， m 构成的矩阵。定义定义3 2 = ( a21 a22 a2n ) , , m = ( am1 am2 amn )设有 m 个 n 维向量 1 = ( a11 a12 a1n ), m 21A定理定理3mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211设有m个n维向量 1 = ( a11 a12 a1n ), 2 = ( a21 a22 a2n ) , , m = ( am1 am2 amn )则 1 ， 2 ， m 线性相关 r(A) n ，则m个n维向量必线性相关。( 因为 r (A) min (m , n) = n m )推论推论3：n个n

21、维向量 1 ， 2 ， n 线性相关n个n维向量 1 ， 2 ， n 线性无关m个n维向量 1 ， 2 ， m线性无关r(A) = m| A | = 0，即A降秩| A | 0，即A满秩例例4 判定下列向量组是否线性相关(1) 1 = ( 1, 2, 1 ), 2 = (2, 1, 1) , 3 = (7, 4, 0)解： 由于047112121A而 | A | = 5 0所以 1 , 2 , 3 线性无关(2) 1 = ( 1, 3, 7 ), 2 = (2, 0, 6) , 3 = (3, 1, 1)， 4 = (2, 4, 5)解：由于向量组的个数大于向量的维数，所以 1 , 2 , 3

22、 , 4 线性相关。l未知数个数多于方程个数！解：8363211413712Ar1 r28363371221141(3) 1 = ( 2, 1, 7, 3 ), 2 = (1, 4, 11, 2) , 3 = (3, 6, 3, 8)14301807159021141r2 2r1r3 3r1r3 2r200007159021141r ( A ) = 2 3所以 1, 2, 3 线性相关三、向量组的最大无关组与秩三、向量组的最大无关组与秩定义定义4设 1 ， 2 ， r是某向量组 T 中的r个向量，若 (1) 1 ， 2 ， r 线性无关；线性无关；(2) 任取任取 T，总有，总有 1, 2 ,

23、 , r , 线性相关；线性相关；则称 1, 2 , , r 为向量组T的一个最大线性无关组，简称最大无关组。 （极大无关组）例如：例如：对于向量组T ： 1 = ( 1, 2, 1), 2 = (2, 3, 1) , 3 = (4, 1, 1) 1, 2线性无关，为 T 的一个最大无关组; 2 , 3 ; 1, 2 , 3线性相关，因为 2 1+ 2 3 = 0 1, 3 也是 T 的最大无关组。定理定理4 一个向量组的所有最大无关组含有的向量个数都相等，且等于相应矩阵的秩。（证明自阅，P67，定理5）定义定义5向量组 T 的最大无关组所含向量的个数r称为向量组 T 的秩。若向量组T的秩为

24、r，则向量组T中任意 r+1个 向量线性相关；且任意r个线性无关的向量组都是T 的最大无关组。注：注：证：任取 T，由 1, 2, , r 是T的最大无关组，则 1 ， 2 ， r 、 线性相关。存在不全为0的一组数1，2， ，r 、 使得：1 1 + 2 2 + + r r + = 0则 0设 1, 2, , r 为向量组T一个最大无关组，则任取 T， 能用 1, 2, r 线性表示，定理定理5且表示法唯一。事实上：若 = 0有不全为0的1，2， ，r 使1 1 + 2 2 + + r r = 0 成立 1 ， 2 ， r 线性相关，矛盾所以rr 2211即 能用 1 ， 2 ， r 线性表

25、示。 = 1 1 + 2 2 + + r r= k1 1 + k2 2 + + kr r(1 k 1) 1 + (2 k 2) 2 + + (r k r) r =01 = k 1,2 = k 2, r= k r设：定义定义6mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211将每一行看成一个向量 i = ( ai1 ai2 ain ) ( i = 1, 2, , m) ，称为 A 的行向量，行向量组的秩称为矩阵A的行秩。对于矩阵将A的每一列也可看成一个向量,21mjjjjaaa ( j = 1, 2, , n)称为 A 的列向量，列向量组的秩称为A的列秩。00000000240071506

26、312A),6 , 3 , 1,2(1),2, 4 , 0 , 0(3)0 , 0 , 0 , 0(54)7 , 1 , 5 , 0(2行秩=3321,是最大无关组, 00276,00413,00051,000024321列秩=3321,是最大无关组,而r (A) =3=行秩=列秩！考察：考察：定理定理6 设 A 是 mn 矩阵r (A) = r A的行秩(或列秩)为r说明：求向量组的秩等价于求对应矩阵的秩。思考：如何求向量组的最大无关组？解法一：解法一：例例5：求向量组求向量组),3 , 1, 4 , 2(),3 , 2 , 2, 1 (21) 4 , 3 , 6, 2(),3 , 2 ,

27、6 , 0(),3 , 0 , 2 , 1(543的一个最大无关组。以以5,4, 3,2, 1行初等变换行初等变换化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵B。为列为列作矩阵作矩阵A，对，对A施行施行43333320126624220121AB00000130001223020121行初等变换行初等变换由B知：,1,1,1,1,2,2,3;4;5;4,3;5都是向量组的最大无关组。解法二：子式法解法二：子式法43333320126624220121A（1）所有4阶子式全为0；（2）3阶子式012202622011,1,24是向量组的一组最大无关组。知解法三：逐一扩充解法三：逐一扩充 法法),3 , 1,4,

28、2(),3 ,2,2, 1 (21),3 , 2 , 6 , 0(4),3 , 0 , 2 , 1(3)4 , 3 , 6, 2(5（1）, 01线性无关；（2）21,不成比例， 线性无关；（3）3,21线性相关；再考察,214线性无关；（4）,21,45线性相关；是向量组的一组最大无关组。,1,2,4所以032321四、两个向量组的关系四、两个向量组的关系定理定理7设 1, 2, , r与t,21是两个向量组如果：1） 1, 2, , r可由t,21线性表示；2）tr 则 1, 2, r 线性相关。设 1, 2, , r与t,21是两个向量组如果： （P69/定理7）1） 1, 2, , r

29、可由t,21线性表示；推论推论1 1, 2, r 线性无关；2）则. tr 推论推论2设 1, 2, , r与t,21都是线性无关的向量组，且可以互相表示，则. tr 定义7 向量组等价：向量组能相互线性表示。n向量组简单小结练习：P65，定理4。 若矩阵A的秩为 r，则矩阵A中存在r个行向量线性无关，且矩阵A的任一行向量都可以由这r个行向量线性表示。作业 3-2 P69，1(1)、(3)，2； P70，4,5(2)； 附加题：1、预习 2、总结简单回顾简单回顾1、向量组2、线性相关3、线性无关4、线性表示5、极大无关组6、向量组的秩7、向量组的关系8、部分与整体的关系Q、大家的问题？3-3

30、向量空间的基底向量空间的基底 与向量的坐标与向量的坐标一、向量空间的基与一、向量空间的基与维数维数二、向量在给定基下的坐标二、向量在给定基下的坐标三、基变换与坐标变换三、基变换与坐标变换目的：建立空间坐标系目的：建立空间坐标系一、向量空间的基与维数一、向量空间的基与维数定义定义1且满足：(1) 1, 2, , r 线性无关；线性无关；(2) V 中任一向量都可以由中任一向量都可以由 1, 2, , r 线性表示；线性表示；则称 1, 2, , r 为V的一组基底基底，简称基基。r 为V的维数维数，记为dim(V)，并称 V 为 r 维向量空间维向量空间。设V为向量空间，若存在 1, 2, ,

31、r V.注意：n维维向量空间向量空间！注注1：若将向量空间若将向量空间V看成向量组，其基底就是看成向量组，其基底就是其最大无关组，其维数就是其秩。其最大无关组，其维数就是其秩。注注2：零空间零空间 0 没有基，规定其维数为没有基，规定其维数为0。注注3：向量空间可以有多组基，其维数是一常量。向量空间可以有多组基，其维数是一常量。例如：例如：对于Rn(1) 基本单位向量组e1, e2, , en 是一组基，称为标准基标准基。(2) 1 = (1, 0, 0, 0), 2 = (1, 1, 0, 0), ， n = (1, 1, 1) 也是一组基。(3) 阅P71，例2。定理1 如果V是r维的向量

32、空间，则V中任意 r个线性无关的向量都是V的一组基。定理2 向量空间V的任意线性无关向量组都可 扩充为向量空间V的一组基。Q1：如何判断是一组基？Q2：子空间的基？Q3：生成元为基？二、向量在给定基下的坐标二、向量在给定基下的坐标定义定义2设 1, 2, , n 是向量空间 V 的一组基，任取 V, 都有 = x1 1 + x2 2 + + xn n组合系数 x1, x2, , xn 唯一，称其为向量 在基 1, 2, , n 下的坐标，记为 (x1, x2, , xn)。 坐标向量！例如：例如：在 R3 中， i=(1,0,0)，j=(0,1,0)，k=(0,0,1)是一组基。 = (2,

33、3, 1)= 2e13e2 + 1e3 = 2 i 3 j + 1k 注：向量在标准基下的坐标就是其自身。Q：如何求向量在某组基下的坐标？解：令解：令321A,111111111则则 | A |= 4 0所以所以1, 2, 3线性无关，为线性无关，为 R3 的一组基。的一组基。例例1 1 设 1 =(1, 1, 1), 2 =(1, 1, 1), 3=(1, 1, 1) ，证明证明 1, 2, 3是向量空间是向量空间 R3 的一组基，的一组基，并求向量并求向量 =(1, 2, 1)在此基下的坐标在此基下的坐标。令令 =x11+x22+x33即即x1+x2 x3=2x1 x2 x3=1x1+x2

34、+x3=121,21, 1321xxx故故 在在1, 2, 3下的坐标为下的坐标为).21,21, 1 (1 =(1, 1, 1), 2 =(1, 1, 1), 3=(1, 1, 1) . =(1, 2, 1)说明：1、向量和的坐标等于向量坐标的和。2、向量数乘的坐标等于向量坐标乘数。3、矩阵形式为：= x1 1 + x2 2 + + xn n n ,21nxxx21三、基变换与坐标变换三、基变换与坐标变换1. 不同的基不同的基之间的关系？之间的关系？2. 不同的基不同的基下的坐标之间的关系？下的坐标之间的关系？1. 设设n维向量空间维向量空间 V 有两组不同的基，分别为：有两组不同的基，分别

35、为： 1, 2 , , n , 1 , 2 , , n ,则则 1 = c11 1 + c21 2 + + cn1 n 2 = c12 1 + c22 2 + + cn2 n n = c1n 1 + c2n 2 + + cnn n利用矩阵形式可表为：( 1, 2, , n)记,212222111211nnnnnncccccccccC称为由基 1, 2, , n到基 1, 2, , n的过渡矩阵过渡矩阵，称(1)式或(2)式为基变换公式。= ( 1, 2, , n)nnnnnnccccccccc2122221112112. 设设 V，在基，在基 1, 2, , n下的坐标为下的坐标为(x1, x

36、2, , xn)在基在基 1, 2, , n下的坐标为下的坐标为(y1, y2, , yn) = x1 1 + x2 2 + + xn nn ,21nxxx21 = y1 1 + y2 2 + + yn nnyyy21n ,21nyyy21Cn ,21nyyy21由于 在基 1, 2, , n下的坐标唯一：公式(5)或(6)称为坐标变换公式。（定理3，P74）所以nxxx21nyyy21C或nyyy21nxxx211 C例例2 求Rn中向量 = ( x1, x2, , xn)在基 1 = (1, 0, 0, , 0), 2 = (1, 1, 0, , 0), ， n = (1, 1, 1, ,

37、 1)下的坐标。设 在 1, 2, , n 下的坐标为 y1, y2, , yn解：nnyyy2121),(nnxxxeee2121),( 1, 2, , n)1111111),(21neee0过渡矩阵111111C0nnnnxxxxyyyyC121121有而1111111C00则 在基 1, 2, , n下的坐标为nnyyyy121nnxxxxC1211nnnxxxxxxx13221例例2 在平面直角坐标系xoy里，i和j为互相垂直的单位向量，它们构成R2的一个基；现将x轴和y轴绕原点 O 逆时针旋转角 ，令相应的单位向量为1、2，则1、2也是R2的一组基，基变换为：1= cos i + s

38、in j2= sin i + cos j R2，若 在基 i, j 下的坐标为 ( x , y )，求 在基 1、 2下的坐标( x , y )？yxyj12oix解：cossinsincos),(),(21ji过渡矩阵cossinsincosC1= cos i + sin j2= sin i + cos jcossinsincos1C求出yxCyx1yxcossinsincos即x = x cos + y sin y = x sin + y cos 旋转坐标轴的坐标变换公式作业 3-3 P75，1，3，5； 思考题：什么是标准正交基？简单回顾 向量空间的基底； 向量空间的维数； 向量的坐标；

39、 向量空间的基变换； 过渡矩阵； 向量的坐标变换； 存在问题？向量的表示：向量的表示：1、代数表示一般印刷用黑体小写字母、 或a、b、c 等来表示，手写用在a、b、c等字母上加一箭头表示。2、几何表示向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。3、坐标表示 = (x1, x2 , xn)= x1 1+Q：复数的向量表示？3-4 欧氏空间欧氏空间中建立度量概念：在nR 维向量的内积n维向量间的夹角n一、向量的内积 欧氏空间二、向量的长度 向量的夹角三、标准正交基 施密特正交化维向量的长度n一、一、向量的内积向量的内积定义定义 1 1设设 n n 维向量维

40、向量： = (= (x x1 1, , x x2 2 , , x xn n), ), = ( = (y y1 1, , y y2 2 , , y yn n).).定义数：定义数：x x1 1 y y1 1+x+x2 2 y y2 2+ + x+ + xn n y yn n为向量为向量 与与 的的内积内积， 记为记为 ( ( , , ) ). .即即 ( ( , , ) ) = x = x1 1 y y1 1+x+x2 2 y y2 2+ +x+ +xn n y yn n= = * * T T定义了内积的定义了内积的 n n 维维向量空间向量空间 R Rn n称为称为 n n 维维定义定义2：欧

41、氏空间欧氏空间(Euclid Space)，记为记为 E En n，或仍记为，或仍记为 R Rn n。 复杂几何对象的原型！复杂几何对象的原型！性质性质(1) (1) 交换律交换律 ( ( , , ) = () = ( , , ); ); 对称性对称性 (2) (2) 分配律分配律 ( ( , , ) = () = ( , , ) ) ( ( , , ););(2)(2)与与(3)(3)等价等价于：于： 双线性性双线性性( + + , , ) = ( ( , , ) ) ( ( , , ); ); 、 R R(4) (4) 非负性非负性 ( ( , , ) ) 0, 0, 且且( ( , ,

42、) = 0 ) = 0 = 0. = 0. 正定性正定性(3) (3) 内积满足如下结合律内积满足如下结合律 : : ( ( , , ) = ) = ( ( , , ); ); R R( ( , , ) )= =补充：向量的外积定义定义 3 3设设 n n 维向量维向量 = (= (a a 1 1, , a a 2 2, , , , a a n n ). ). 称称.),(|22221naaa为向量为向量 的的模模 ( (或或 长度长度). ). 亦记亦记| | | |特别：特别： = 1 = 1的向量的向量 称为称为单位向量单位向量，|为一单位向量为一单位向量, ,称为称为 的的单位单位化化

43、。当当 0 0时，时，二、二、向量的长度与夹角向量的长度与夹角 , , , , R Rn n , , R R, , 则则 (2) (2) 正齐次性正齐次性 | |=|=| | | |; ;(3) (3) 三角不等式三角不等式 | | | | | | | | |. |.长度的性质长度的性质: :(1) (1) 非负性非负性 | | | 0, 0, 若若| | | |=0 =0 = 0;= 0;定义定义4 4 两个向量两个向量 与与 之间的距离为之间的距离为 - - 。定理定理 1 1 (Chauchy(Chauchy-Schwarz-Schwarz不等式不等式) )| ),( |向量向量 和和

44、线性相线性相关关. . |),(|.ba|ba|n1i2in1i2iin1ii即即1 1：证明，书证明，书P77P77，共阅！，共阅！ 2 2：( , )2 ( , ) ( , )定义定义 5 5.|),(arccos,记为记为 。 设设 , , 为为 R R n n 中两个向量，中两个向量，定义定义 与与 的夹角为的夹角为 当当 ( ( , , ) = 0 ) = 0 时，称时，称 与与 垂直垂直( (正交正交) ) 。特别特别: :定理定理 2 2 ( ( 勾勾 股股 定定 理理 ) )设设 1 1, , 2 2, , , , k k 为欧氏空间为欧氏空间 R Rn n 中两两中两两正交的

45、向量，即正交的向量，即( ( i i , , j j ) = 0, ) = 0, i i j j， 则则| 1 1 + + 2 2 + + + + k k | |2 2 = | = | 1 1|2 2 +| +| 2 2|2 2 + +| + +| k k |2 2证证: : ),(11kjjkiiki 1),(1kiii= |= | 1 1|2 2 +| +| 2 2|2 2 + +| + +| k k |2 2| 1 1 + + 2 2 + + + + k k | |2 2= (1 + 2 + + k , 1 + 2 + + k ),(1kjji例例1 1 已知已知 =(1, 2, 2,

46、3), =(1, 2, 2, 3), =(3, 1, 5, 1), =(3, 1, 5, 1), 求求 与与 的长度及它们的夹角的长度及它们的夹角 . .解：解：,23),(|6),(|而 (, )=18故62318arccos,.422arccos1 1、正交向量组、正交向量组定义定义6 6若若( ( , ) ) = 0 = 0，则称，则称 与与 是是正交正交的，记的，记作作 。注：注：零向量与任何向量正交。零向量与任何向量正交。定义定义7 7在欧氏空间中，一组在欧氏空间中，一组两两正交两两正交的向的向量组称为量组称为正交向量组正交向量组。三、标准正交基三、标准正交基定理定理4 4非零的正交

47、向量组线性无关。非零的正交向量组线性无关。证：证：设设 1 1, , 2 2, , , , m m 是一组非零正交组，是一组非零正交组，并设并设k k1 1 1 1+ + k k2 2 2 2 + + + + k km m m m = 0 = 0用用 1 1 与等式两边作内积，得与等式两边作内积，得= = k k1 1( ( 1 1, , 1 1) ) + + k k2 2( ( 2 2, , 1 1) + + ) + + k ki i( ( i i, , 1 1) + + ) + + k km m ( ( m m , , 1 1) )0 = 0 = (0, (0, 1 1 ) ) 得得k k

48、1 1 = 0, = 0,( ( i i = = 2, 3, , 2, 3, , m m ),),故故 1 1, , 2 2, , , , m m 线性无关。线性无关。类似地：类似地： 用用 i i ( ( i i = = 2, 3, , 2, 3, , m m ) )与等式两边作与等式两边作内积，内积，k ki i = 0, = 0,得得设设 1 1, , 2 2, , , , m m 是一组是一组线性无关线性无关的向的向量，利用这组向量可量，利用这组向量可构造出构造出正交正交（单位）（单位）向量向量组。组。1. 1. 正交化正交化(1) (1) 令令 1 1 = = 1 1；(2) (2)

49、 求求 2 2 = = 2 2 1 1 1 1 ， 使使= (= ( 2 2 , , 1 1 ) ) 1 1 ( ( 1 1 , , 1 1 ) .) .= (= ( 2 2 1 1 1 1, , 1 1 ) )( ( 2 2 , , 1 1) )0 =0 =得得 1 1= = ( ( 2 2, , 1 1) ) / / ( ( 1 1, , 1 1 ), ), ;),(),(11112222 2、施密特、施密特(Schmidt)(Schmidt)正交化正交化（* *）(3) (3) 求求 3 3 = = 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 , , 使使= (= ( 3 3 , , 1 1

50、) ) 1 1 ( ( 1 1, , 1 1) + ) + 2 2 ( ( 2 2, , 1 1 ) ) = (= ( 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 , , 1 1 ) )( ( 3 3, , 1 1) )0 =0 = (= ( 3 3, , 2 2) ) 1 1 ( ( 1 1, , 2 2) ) 2 2 ( ( 2 2, , 2 2) )0 =0 =( ( 3 3, , 2 2) )= (= ( 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2, , 2 2) )得得,),(),(11131),(),(22232222231111333),(),(),(),(4) (4) 类似地，得：类似

51、地，得：111122221111),(),(),(),(),(),(iiiiiiiii( ( i i = 1, 2, , = 1, 2, , m m ) ) 1 1, , 2 2, , , , m m 是一组正交是一组正交向量组向量组。2. 2. 单位单位化化取取,|1111,|1222.|1mmm则则 1 1, , 2 2 , , , , m m 是一组是一组正交的单位向量组正交的单位向量组。 以上方法称为以上方法称为施密特施密特 (schmidt(schmidt) ) 正交化方法正交化方法, ,它包括它包括正交化正交化和和单位化单位化两个过程。两个过程。例例2 2将线性无关组将线性无关组

52、1 1 = (2, 0), = (2, 0), 2 2 = = (1, 1)(1, 1)化成正交的单位向量组。化成正交的单位向量组。解：解：(1) (1) 正交化正交化令令 1 1 = = 1 1 = (2, 0) = (2, 0)1111222),(),() 1 , 0()0, 2(42) 1 , 1 (2) (2) 单位化单位化),0, 1 (|1111),1 , 0(22则则 1 1, , 2 2是一组正交的单位向量组。是一组正交的单位向量组。定义定义8 8在在 n n 维欧氏空间维欧氏空间 V V 中若一中若一组组基的基的 n n 个向个向量量 1 1, , 2 2, , , , n

53、n 是两两正交的单位向量，是两两正交的单位向量，即即( ( i i , , j j ) =) =1.1.0.0.i i = = j ji i j j则称该基为则称该基为标准正交基。标准正交基。3 3、标准正交基、标准正交基定理定理 5 5),(jjx.,21nj，若 n 维向量1, 2 , , n 是一组标 准 正 交 基 . 则 n 维 向 量 =(x1,x2,xn) 在基1, 2 , , n 下的第 j 个坐标为:证证: : ),(j),(1jniiix),(1jniiix),(jjjx.jxe e1 1 = (1, 0, , 0), = (1, 0, , 0), e e2 2 = (0,

54、 1, , 0), = (0, 1, , 0), e en n = (0, 0, , 1) = (0, 0, , 1)就是一组就是一组标准正交基。标准正交基。例如：例如：R Rn n中，中，说明：说明：利用施密特正交化方法，可从欧利用施密特正交化方法，可从欧氏空间的氏空间的任一组基任一组基出发，找到一组出发，找到一组标标准正交基准正交基。证证: : 即即 | | i i | = 1 | = 1，i i = 1, = 1, 2, 3, 42, 3, 4),(ii2)21(, 12)21(且且),(21)21()21(，02121, 0),(),(4131，0),(),(4232. 0),(43故

55、故 1 1, , 2 2, , 3 3, , 4 4 为为 R R4 4 的标准的标准正交基正交基. .例例3 3 ),0 , 0 ,21,21(),0 , 0 ,21,21(21)21,21, 0 , 0(),21,21, 0 , 0(43为为 R R4 4 的标准正交基的标准正交基. .证明证明解解: :证明证明1= (1, 2, 1), 2= (1, 3, 1), 3= (4,1, 0), 例例4 4R3的一组基为R3的一组标准正交基。，并用施密特正交化方法构造令321A014131121则r(A)=3， 从而1, 2 , 3 线性无关， 构成 R3的一组基。1 =1= (1, 2, 1

56、),1112122),(),(= (1, 3, 1)46(1, 2, 1),1 , 1 , 1(35(1) 正交化正交化222321113133),(),(),(),(1= (1, 2, 1), 2= (1, 3, 1), 3= (4,1, 0), = (2, 0, 2).(2) 单位化单位化|111),1 , 2 , 1 (61|222),1 , 1 , 1(31|333).1 , 0 , 1 (211 = (1, 2, 1),),1 , 1 , 1(3523 = (2, 0, 2). 1 1, , 2 2 , , 3 3 是一组是一组标准正交基。即：ATA=E，100010001此时有：E

57、AAAATT,1),1, 2 , 1 (611r),1 , 1 , 1(312r) 1 , 0 , 1 (213r, , 为列作矩阵以12321316103162213161A21021313131616261AAT21316103162213161考察：定理定理6 6A 是正交矩阵是正交矩阵定义定义9 9若ATA=E (或或AAT =E),),则称则称 A 为一个正交矩阵。为一个正交矩阵。设设 A 为为 n n 阶实矩阵，阶实矩阵，是是 Rn 的一组标准正交基的一组标准正交基. .A 的行的行( (列列) )向量向量定理定理7 7是正交矩阵。是正交矩阵。 如果如果标准正交基到第二组基的过渡矩

58、阵是标准正交基到第二组基的过渡矩阵是正正交矩阵，则交矩阵，则第二组基也是标准正交基。第二组基也是标准正交基。由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵简单小结一、向量的内积 欧氏空间二、向量的长度 向量之间的距离 向量的夹角三、标准正交基 正交矩阵 施密特正交化作业 3-4 P81，2，4，5，6； 附加题：推导施密特正交化方法。 思考题：什么是线性变换？内容回顾 35分钟时间 3-1内容； 3-2内容； 3-3内容； 3-4内容；3-5 线性变换线性变换1、线形变换的概念2、线形变换的矩阵3、正交变换4、特征值与特征向量一、线性变换的概念一、线性变换的概念定义定义1

59、(1) 对任意对任意, V, 有有T(+)=T()+T()(2) 对任意对任意V, 及任意实数及任意实数 k，有有T(k)=kT()则称则称 T 为为 V 的一个的一个线性变换线性变换.向量空间向量空间 V 到自身的一个映射到自身的一个映射 ，称为称为V的的 一个一个变换变换。T若若T满足满足：映射，线性映射！向量向量 在在 T T 下的像，记为下的像，记为T T()或或T T。注注2 2：常用粗体大写字母常用粗体大写字母T， A，B，C表示线性变换表示线性变换，它构成一个线性空间它构成一个线性空间。分析：定义分析：定义变换变换T：)()(xfxf)()()()()()(xgxfxgxfxgx

60、fT)()(xgTxfT)()() )()(xfkTxfkxfkxfkT多项式全体的集合多项式全体的集合， xRn设设表示定义在表示定义在R上次数不超过上次数不超过n的的例例1 1：T 为为 的一个线性变换的一个线性变换。 xRn ,)(),(RkxRxgxfn对对注注1 1：定义式中定义式中（1）,（2）可表示为可表示为)()()(,212121TkTkkkTRkkV例例2 2：分析分析：T( + )= (+)A设设 A 为一为一 n 阶实矩阵，对任意阶实矩阵，对任意 Rn ，令令 T= A, 则则 T 为为 Rn 中的线性变换中的线性变换。= A+ A = T + TT(k)= (k) A