No09二次函数的应用

1、课 题 二次函数的应用课 型新授教 学 目 标知 识与技能能通过解一元二次方程求抛物线与x轴的交点坐标,会利用待定系数法求二次函数的解析式,会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。会运用二次函数解决实际问题.过 程与方法经历运用二次函数解决实际问题的过程：问题情境建模解释体会二次函数是解决实际问题的重要模型情 感与态度感受数学的应用价值,敢于面对在解决最优化问题时碰到的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功体验。教 学 重 点利用二次函数的性质，解决实际问题教 学 难 点图象法解一元二次方程,利用二次函数的图象、性质，解决实际生活中相关的问题教 具 准 备教 学 过 程教 师 活

2、动学 生 活 动【主要内容】（一）二次函数解析式的确定：二次函数解析式有三种形式：例如：根据下列条件求二次函数的解析式：（1）二次函数的图象经过点A（1，6），B（1，2），C（2，3）（2）已知抛物线顶点为（1，3）且与y轴交点（0，5）（3）已知抛物线与x轴交于点A（1，0），B（1，0）且经过点M（0，1）解：（1）设二次函数的解析式为yax2bxc（a0）将（1，6），（1，2），（2，3）分别代入得：（2）抛物线顶点为（1，3）（3）点A（1，0），B（1，0）是抛物线与x轴的交点设抛物线的解析式为ya（x1）（x1）将M（0，1）代入上式得：1a（01）（01）a1抛物线的解析式为

3、y（x1）（x1）即yx21（二）二次函数yax2bxc与一元二次方程的联系二次函数与一元二次方程的联系就是“形”与“数”的有机结合。当二次函数的表达式yax2bxc（a0）中，y0时，恰好是一元二次方程ax2bxc0（a0）而y0时，方程的根是二次函数与x轴交点的横坐标，此外，利用一元二次方程，可以研究二次函数的图象与x轴交点的情况，方程有实数解的个数，就是函数图象与x轴交点的个数。即方程ax2bxc0的根的判别式（b24ac）可以判断抛物线yax2bxc与x轴交点的个数。当>0时，抛物线与x轴有两个交点。当0时，抛物线与x轴有唯一一个交点（即顶点在x轴上）当<0时，抛物线与x轴

4、没有交点。（三）从实际问题中建立数学模型实际生活中的二次函数常见类型有以下几种：（1）利用实际问题构建二次函数关系式，如卫星运行轨道、桥洞等问题。（2）经济问题中最大值、最小值问题。（1）画出这条抛物线的图象。（2）利用图象求：当水平线离开抛物线顶点2个单位时，水面的宽是多少个单位长度？（3）利用图象求：当水面宽是6个单位长度时，水平线离开抛物线顶点的距离是多少个单位长度。解：（1）如图（2）过点M（0，2）作直线AB/x轴交抛物线于A、B两点由对称性知：AMBM又AB/x轴，A的纵坐标为2A（2，2），B（2，2）AB4，即水面的宽是4个单位长度。（3）作EF/x轴，交抛物线于E、F两点，交

5、y轴于N点EF6，FN3即F点到y轴的距离为3即水面离抛物线顶点的距离是4.5个单位长度。【典型例题】 解： 例2. 已知yx22x3，问x为何值时，y>0？x为何值时，y<0？分析：利用函数图象求不等式的解集，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点坐标及图象的位置，写出不等式的解集。解：先确定抛物线yx22x3的对称轴，顶点坐标及与x轴交点坐标。对称轴为x1，顶点坐标（1，4）抛物线与x轴交点为（1，0），（3，0）画出抛物线的草图（如图）当y>0时，即纵坐标为正，x轴上方图象上的点。左边，x轴上方的点：x<1右边，x轴上方的点：x>3当x<1或x>3时

6、，y>0当y<0时，即纵坐标为负，也就是x轴下方图象上的点当1<x<3时，y<0 例3. 已知二次函数yx2bxc的图象与x轴只有一个交点，且坐标为（2，0），求二次函数的解析式。分析：由前面讲的知识：抛物线与x轴只有一个交点可知：这个点就是抛物线的顶点，且0。解：依题意知：抛物线的顶点坐标为（2，0）解得：b4，c4 例4. 某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若以每千克50元销售，一个月销售500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，解答以下问题：（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量与月销售利润。

7、（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润y元，求y与x的函数关系式。（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售价应定为多少？分析：本题的关键是理解售价每涨1元，月销售量就减少10千克这个关系。解：（1）当销售单价定为每千克55元时月销售量为500（5550）×10450千克月销售利润为（5540）×4506750（元）（2）当月销售单价定为每千克x元时月销售量为500（x50）×10千克而每千克的销售利润是（x40）元月销售利润为（3）要使月销售利润达到8000元，即y8000当销售单价定为每千克60元时月销售量为500

8、（6050）×10400（千克）月销售成本为40×40016000（元）当销售单价定为每千克80元时月销售量为500（8050）×10200（千克）月销售成本为40×2008000元由于8000<10000<16000，且销售成本不能超过10000元销售单价应定为每千克80元 例5. 已知二次函数yx22（m1）x1m的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），x1<0<x2，与y轴交于点C，且满足（1）求这个二次函数的解析式；（2）是否存在直线ykxb，它与抛物线交于点P、Q，使y轴平分CPQ的面积？若存在，求k、b满足的条

9、件。分析：（1）要求二次函数的解析式，只需求m的值。（2）假设存在符合条件的直线ykxb由条件有xPxQ，再根据已知可求出k、b。解：（1）与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（2）存在直线ykxb与抛物线交于P、Q两点，使y轴平分CPQ的面积设P的横坐标为xP，点Q的横坐标为xQ直线与y轴交于点E（如图） 例6. 如图（1），一单杠高2.2m，两立柱之间的距离为1.6m，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂时呈抛物线状，建立如图所示的坐标系，则抛物线的表达式为（1）有一个小孩站在离立柱0.4m处，头部刚好触上绳子，你能求出这个小孩的身高吗？（2）求绳子的最低点到地面的距离。

10、（3）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一长为0.4m的木板（如图(2)），除掉系木板用去的绳子后，两边的绳子正好各为2m，木板与地面平行，求这时木板离地面的距离。解：（1）由题意：小孩离y轴距离为：小孩站在x轴负半轴上小孩的身高为0.7m（2）由解析式知抛物线顶点为（0，0.2）绳子的最低点到地面的距离为0.2m（3）如图2，依题意，四边形AEFB为梯形过E、F分别作EGAB，FHAB于G、H在RtAGE中，AE2即木板到地面的距离约为0.3m【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题 1. 抛物线的对称轴是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线与x轴的交点坐标为（ ）A. （1

11、，0），（2，0）B. （1，0），（2，0）C. （1，0），（2，0）D. （1，0），（2，0） 3. 苹果熟了，从树上落下所经过的路程S与下落的时间t满足（g是不为0的常数），则S与t的函数图象大致是（ ） 4. 若抛物线的对称轴为x1，则m的值为（ ） A. 1B. 1C. 2D. 2 5. 一次函数与二次函数的图象有（ ） A. 一个交点B. 两个交点C. 无数个交点D. 没有交点 6. 如图二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，则ABC的面积为（ ） A. 6B. 4C. 3D. 1二、填空题 1. 抛物线与y轴交点坐标是 ，与x轴交点坐标是 。 2. 若二次函数的

12、最小值为2，则m的值是 3. 抛物线的顶点关于x轴的对称点坐标为_4. 抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且线段AB1，ABC的面积为1，则b_ 5. 有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中（如图），此抛物线解析式为_三、解答题 1. 已知抛物线与x轴有唯一交点A（3，0），求实数a、b的值。 2. 国家对某种产品的税收标准原定每销售100元缴税8元（即税率为8%），某厂计划生产销售这种产品m吨，每吨2000元，国家为了减轻工厂负担，将税率调整为（8x）%，这样工厂扩大了生产，实际销售量比原计划增加了2x%。（1）写出调整后税款y