第四章机械振动

1、机械振动本章内容Contentschapter 6简谐振动的特征及其描述简谐振动的特征及其描述characteristic and describe of simple harmonic motion 简谐振动的能量简谐振动的能量energy of simple harmonic motion compose of simple harmonic motion 阻尼振动，受迫阻尼振动，受迫 振动，共振振动，共振简谐振动的合成简谐振动的合成第一节 引言characteristic and describe of4 - 1simple harmonic motion 第一节 引言往复运动。如声源的

2、振动、钟摆的摆动等。机械振动 物体在它的平衡位置附近所作的物体发生机械振动的条件：物体受到始终指向平衡位置的回复力；物体具有惯性。掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础。简谐振动（simple harmonic vibration) 是最简单、最基本的振动理想模型。它是研究各种复杂振动的重要基础。这里主要讨论简谐振动。动力学特征以物体受力为零的平衡位置为坐标原点水平光滑面，弹簧劲度 质量可忽略，物体质量物体在任一位置受的弹性力以铅垂方向 为摆角参考轴线，单摆在任一角位置 所受的重力矩为则取摆幅很小X正X向反X向运动学特征简谐振动的速度A简谐振动的加速度A应用转动定律，同理也可求得单摆的

3、角振动方程X简谐振动微分方程对于给定的弹簧振子 为常量，其比值亦为常量。令则即得A为微分方程求解时的积分常量，由系统的初始条件决定。简谐振动方程A该微分方程的解通常表成余弦函数续上简谐振动的加速度AA简谐振动的振动方程简谐振动的速度AAA最大最大最大AAA简谐振动参量XAA振幅 ： 的最大绝对值A周期：完成一次振动需时频率：角频率：弹簧振子单 摆AA相位 ：是界定振子在时刻 的运动状态的物理量运动状态要由位置 和速度 同时描述，而 和 的正负取决于 ，不是指开始振动，而是指开始观测和计时。所谓时质点的运动状态AA位置速度初始条件即为初相 ：是时，振子的相位。续上由 和 求给定振子的振幅AAAA

4、消去 得初相 由 和 求给定振子的AAA消去 得 但由于 在 0 2p 范围内，同一正切值对应有两个 值，因此，还必须再根据 和 的正负进行判断。联系振子运动状态直观图不难作出判断且若则若且则且若则且若则（第一象限）（第二象限）（第三象限）（第四象限）旋转矢量法AAXXOjM ( 0 )Aj初相M ( t )twtwM ( t )twM ( t )twM ( t )M ( t )twM ( t )twM (T )Tw周期 TM ( t )twM ( t )twXOjM ( 0 )j初相M ( t )twA矢量端点在X 轴上的投影对应振子的位置坐标t 时刻的振动相位(w w tj j ) )旋转

5、矢量A以匀角速逆时针转动循环往复x = A cos (w w tj j ) )简谐振动方程续上旋转矢量端点 M 作匀速圆周运动振子的运动速度（与 X 轴同向为正）wA其 速率wAjtwAXAAXOwjtwO 旋转矢量端点 M 的加速度为法向加速度，其大小为wA振子的运动加速度（与 X 轴同向为正）wAjtw和任一时刻的 和 值，其正负号仅表示方向。同号时为加速异号时为减速例一0.040.0412简谐振动的曲线完成下述简谐振动方程A = 0.04 (m)T = 2 (s)w w = 2 p / p / T T = p p (rad /s )0.04p pp p2Aw w= p p / 2 t =

6、 0v0 从 t = 0 作反时针旋转时，A矢端的投影从x=0向X轴的负方运动，即 ，与 已知 X t 曲线一致。v0SI例三弹簧振子x0 = 0t = 0 时v0 = 0.4 ms -1m = 510 - -3 kgk = 210 - -4 Nm -1 完成下述简谐振动方程v0mk0.2 (rad s 1)x0v02 (m)x0 = 0已知w w相应的旋转矢量图为20.2(SI)v0 试证明，若选取受力平衡点作为位置坐标原点，垂直弹簧振子与水平弹簧振子的动力学方程和振动方程相同。平衡点在受力平衡点小球受弹性力大小选取受力平衡点作为位置坐标原点小球在为置坐标 处所受弹性力合外力振动方程A动力学

7、方程微分方程的解：均与水平弹簧振子结果相同例二例四某物体沿 X 轴作简谐运动， 振幅 A = 0.12 m，周期周期 T = 2 s，t = 0 时x0 = 0.06 m处初相 j j , ,t = 0 .5 s 时的位置 x, 速度 v, 加速度 a物体背离原点移动到位置A = 0.12 m，T = 2 s , w w = 2p / p / T = p p rad s - -1 , 将j j = p / 3 p / 3 rad 及 t = 0 .5 s 代入谐振动的 x, v, a 定义式得x A cos (w w tj j ) )0.104 (m)A0.19 ( m s - -1 )A1.

8、03 ( m s - -2 )x = A cos (w w tj j ) )由简谐振动方程t = 0 时0.06 = 0.12 cos j j 得 j j =p / 3p / 3再由题意知 t = 0 时物体正向运动，即A0且j j = p / 3p / 3，则 j j 在第四象限，故取例五周期均为 T = 8.5s 用旋转矢量法两质点振动相位差两质点第一次通过平衡点的时刻两质点 1、2同在 X 轴上作简谐振动t = 0 时 在 处 质点2 AA向平衡点运动质点1在 处向平衡点运动振幅 A 相同Acos Acos 或因且在第一象限应取Acos Acos 两质点振动相位差AA从旋转矢量图可以看出

9、：时，质点1第一次通过平衡点A转过1.06 (s)A转过时，质点2第一次通过平衡点2.13(s)第二节 振动能量4 - 2energy of simple harmonic motion 第二节 振动能量 （以x x= =0 0处为零势点）系统的 动能A系统的 势能A系统的 机械能AA振子运动速度AA简谐振动方程振动系统： 弹簧劲度振子质量振动角频率如 水平弹簧振子均随时间而变且能量相互转换变到最大时变为零系统的机械能守恒。及A变为零变到最大时时 间能 量例六动能A 势能A当时则其中得振动相位或一水平弹簧振子弹簧劲度振子质量振幅 A沿 X X 轴振动 当振动系统的以平衡点为原点位置坐标 x 相

10、等时 动能值与势能值 振子的A代入中，解得能量位置例七该摆动系统的机械能守恒数学表达式该摆的运动学微分方程及摆动周期动能 刚体（直棒）转动动能 势能 系统的重力势能以垂态直棒中心点 C 为重力零势点令机械能机械能守恒，即 为恒量，即得 简谐角振动微分方程该摆的振动周期匀质细直悬棒质量 m、长 L在铅直面内摆动摆幅很小转动惯量第三节 振动合成4 - 3compose of simple harmonic motion 第三节 振动合成且 相同同在 X X 轴合成振动用旋转矢量法可求得合成振动方程与计时起始时刻有关合成初相分振动初相差与计时起始时刻无关，但它对合成振幅属相长还是相消合成起决定作用续

11、上合振动分振动；其中，合振幅若则为合振幅可能达到的最大值若则若为其它值，则 处于与之间若则为合振幅可能达到的最小值若则例八0.050.060.07简谐振动(SI)(SI)(SI)合成的和合成的 最大时合成的 最小时8.9210 2 (m)0.92868 12248 12(舍去）时当得合成的 达到最小当时合成的 达到最大得振动合成二为了突出重点，设两分振动的振幅相等且初相均为零。合振动此合振动不是简谐振动，一般比较复杂，只介绍一种常见现象：频率为 的简谐振动频率为 的简谐振动续上385 Hz383 Hz听到的音频384 Hz强度节拍性变化2 Hz若与相差不大，可看作呈周期性慢变的振幅合振动频率相

12、对较高的简谐振动1 秒秒9 Hz8 Hz合振动振幅 （包络线） 变化的频率称为两分振动的频率1 Hz“ 拍频 ”合振动频率8.5 Hz例如：振动合成三消去 得轨迹方程：该方程为椭圆的普遍方程，若或得直线或得直线若若介绍几种特殊情况：得正椭圆续上或振动合成四其合运动一般较复杂，且轨迹不稳定。但当 为两个简单的整数之比时可以得到稳定轨迹图形，称为李萨如图形例如选讲：阻尼振动称为阻尼振动或衰减振动振幅逐渐衰减的振动形成阻尼振动的原因：振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。以第一种原因为例，建立阻尼振动的力学模型。续上以液体中的水平弹簧振子为例：摩擦阻力弹

13、性力振动速度不太大时受：阻力系数摩擦阻力与 反向负号：弹性力振子 受合外力即令称为振动系统的固有角频率得称为阻尼系数若阻尼较弱，且时，上述微分方程的解为续上和取决于初始状态。为振动角频率，为阻尼振动的振幅，随时间的增大而指数衰减。本图设越大，振幅衰减越快，且振动周期 越长。周期续上 相对较大的阻尼振动，其振幅衰减较快，但只要满足，振子仍可出现往复运动的特征，仍属阻尼振动。若阻尼过大，以致，用此条件求解微分方程，其结果表明（数学表达从略）振子不能作往复运动，而是从开始的最大位置缓慢地回到平衡位置。此情况称为过阻尼。若，振子从开始的最大位置较快地回到平衡位置，并处于往复运动的临界状态。此情况称为临界阻尼。临界阻尼过阻尼阻尼振动受迫振动 系统在周期性外力的持续作用下所作的等幅振动称为受迫振动。幅 值角频率周期性外力（强迫力）弹性力示意建立动力学方程即表成此微分方程的解为续上受迫振动进入稳定振动状态后，其振动角频率为强迫力的角频率 ，其振幅为 受迫振