解三角形应用举例课件

1、1.正弦定理：正弦定理：CcBbAasinsinsinR22. 2.余弦定理和推论：余弦定理和推论：2222cababcosC 2222bacaccosB2222acbcosBac 2222abccosCab 2222abcbccos A 2222bcacosAbc 3.三角形边与角的关系：三角形边与角的关系： 1801CBA、2、 大角对大边，小角对小边大角对大边，小角对小边 。斜三角形的解法斜三角形的解法已知条件已知条件定理选用定理选用一般解法一般解法用正弦定理求出两角用正弦定理求出两角,然后用正然后用正弦定理求出第三边。或直接余弦定理求出第三边。或直接余弦定理构造二次方程求解。弦定理构造

2、二次方程求解。正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理由由A+B+C=180,求出另一角，再求出另一角，再用正弦定理求出两边。用正弦定理求出两边。用余弦定理求第三边，再用余弦用余弦定理求第三边，再用余弦定理求出一角，再由定理求出一角，再由A+B+C=180得出第三角。得出第三角。用余弦定理求出两角，再由用余弦定理求出两角，再由A+B+C=180得出第三角。得出第三角。一边和两角一边和两角(ASA或或AAS)两边和夹角两边和夹角(SAS)三边三边(SSS)两边和其中一两边和其中一边的对角边的对角(SSA) 余弦定理余弦定理1.2 解三角形应用举例 高度高度角度角度距离距离

3、有关三角形计算有关三角形计算距离的测量距离的测量经纬仪，测量水平角和竖直角的经纬仪，测量水平角和竖直角的仪器仪器。是根据测角原理设计的。目前最常用是根据测角原理设计的。目前最常用的是的是光学经纬仪光学经纬仪。光学经纬仪光学经纬仪钢卷尺钢卷尺如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是 55m， BAC=51， ACB=75.求A、B两点的距离(精确到 0.1m). ABC实例讲解实例讲解解：根据正弦定理，得解：根据正弦定理，得ABCACACBABsinsin)(7 .6554sin75sin55)7551180sin(75si

4、n55sinsin55sinsinmABCACBABCACBACAB答：答：A,B两点间的距离为两点间的距离为65.7米。米。练习练习1. 1.如图在铁路建设中需要确定隧道两端如图在铁路建设中需要确定隧道两端A,BA,B的的距离，请你设计一种测量距离，请你设计一种测量A,BA,B距离的方法？距离的方法？BACba的距离是多少？，则60为角以及km40,km60距离为,测量得出,取某一点oABCBCACC。km720的距离为到答：km720280060cos60402-6040cos2解：由余弦定理得：o2222BAabbaAB练习练习2. 2.如图河流的一岸有条公路，一辆汽车在公路上匀速如图河

5、流的一岸有条公路，一辆汽车在公路上匀速行驶，某人在另一岸的行驶，某人在另一岸的C C点看到汽车从点看到汽车从A A点到点到B B点用了点用了t t秒，请你设计方案求秒，请你设计方案求汽车的速度？汽车的速度？分析：分析：用例用例1的方法，可以计算出的方法，可以计算出AC,BC的距离，的距离，再测出再测出BCA的大小，借助于余弦定理可以计算出的大小，借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。两点间的距离。ACB公路公路河流河流sin()sin 180()CDAC sinsin(180()CDBC 222cosABACBCACBC解：在解：在ADC和和BDC中中测量问题之一：测量问题之一：水平距离

6、的测量水平距离的测量两点间不能到达，又不能相两点间不能到达，又不能相互看到。互看到。( (如图如图1 1所示所示) ) 需要测量需要测量CBCB、CACA的长和角的长和角C C的大小，由余弦定理的大小，由余弦定理, ,可求可求得得ABAB的长。的长。 两点能相互看到，其中一点可到达。两点能相互看到，其中一点可到达。( (如图如图2 2所示所示) ) 需要测量需要测量BCBC的长、角的长、角B B和角和角C C的的大小，由三角形的内角和，求大小，由三角形的内角和，求出角出角A A然后由正弦定理，可求边然后由正弦定理，可求边ABAB的长。的长。图1图2两点都不能到达两点都不能到达分析：先通过解三角

7、形分析：先通过解三角形ACD和和BCD，计算出，计算出AD和和BD后，后，再在再在ABD中，应用余弦定理计算出中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离两点间的距离1、分析分析：理解题意，画出示意图2、建模建模：把已知量与求解量集中在一个三角形中3、求解求解：运用正弦定理和余弦定理，有顺序地解这些三子角形，求得数学模型的解。4、检验检验：检验所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。 实际问题实际问题数学问题（三角形）数学问题（三角形）数学问题的解（解三角形）数学问题的解（解三角形）实际问题的解实际问题的解解应用题的一般步骤是：解应用题的一般步骤是：小结小结1.2 解三角形应用举例 高度和角

8、度的测量高度和角度的测量一、名称术语一、名称术语1.坡角和坡度坡角和坡度坡面与水平面的夹角叫坡角坡面与水平面的夹角叫坡角.坡面坡面水平面水平面如图角如图角A是是斜坡斜坡AB的坡角的坡角.坡面的垂直高度坡面的垂直高度h和水平宽度和水平宽度L的比叫坡度的比叫坡度,用用i表示表示.如图所示：坡度如图所示：坡度i=h/L.根据定义可知：坡度是坡角的正切，根据定义可知：坡度是坡角的正切，即即i=tanA.ABChL2 .俯角、仰角俯角、仰角 如图所示，在同一铅如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标平线所成的夹角中，目标视线在水平线的上方时叫视线在水平线的上方

9、时叫仰角，目标视线在水平线仰角，目标视线在水平线的下方时叫俯角的下方时叫俯角.铅垂线视线视线视线视线水平线水平线仰角仰角俯角俯角3.方位角：方位角： 以指北方向为始边，顺时以指北方向为始边，顺时针方向旋转到目标方向线的所针方向旋转到目标方向线的所形成的叫方位角如图所示形成的叫方位角如图所示A的方位角为的方位角为 ，B的方位角的方位角为为 .方位角的范围为方位角的范围为 .0,2AB北北4 .象限角象限角 以观察者位置为原点，东、以观察者位置为原点，东、南、西、北四个方向把平面南、西、北四个方向把平面分成四个象限，以正北或正分成四个象限，以正北或正南方向为始边旋转到目标方南方向为始边旋转到目标方

10、向线的锐角称为象限角如向线的锐角称为象限角如右图所示，称右图所示，称A在在O的北偏东的北偏东处，处，B在在的南偏东的南偏东处处东东南南西西北北观察者观察者OAB5 .基线基线 在测量中，根据测量需要在测量中，根据测量需要适当的确定的线段叫做基线。适当的确定的线段叫做基线。基线越长，测量精度越高！基线越长，测量精度越高！测量垂直高度测量垂直高度 1 1、底部可以到达的、底部可以到达的 测量出角测量出角C C和和BCBC的长度，解直的长度，解直角三角形即可求出角三角形即可求出ABAB的长。的长。 2 2、底部不能到达的、底部不能到达的 怎么办怎么办 .,. 3的方法物高度设计一种测量建筑为建筑物的

11、最高点不可到达的一个建筑物是底部例ABABAB图中给出了怎样的一个图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，几何图形？已知什么，求什么？求什么？想一想想一想2 2、底部不能到达的、底部不能到达的 例3、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是和 45 60CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。图中给出了怎样的一个图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，几何图形？已知什么，求什么？求什么？想一想想一想AA1BCDC1D1分析：分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：15

12、sin120sin12sinsinsinsin:,154560,111111111111BDDCBCDBCBDCBDCDBC由正弦定理可得中在662184 .2836182211BCBA)(9 .295 . 14 .2811mAABAAB答：烟囱的高为 29.9m.练习: 在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角 60 ，在塔底C处测得A处的俯角30。已知铁塔BC部分的高为28m，求出山高CD.分析：根据已知条件，应该设法计算出AB或AC的长DABC )(42)3060sin(60sin30cos28)sin(sincossin,mBCBADABBDABDRt得，解CD=BD-BC=42-28=

13、14(m)答：山的高度约为14米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，解：在ABC中，BCA=90+, ABC=90-, BAC=-, BAD=.根据正弦定理，)90sin()sin(ABBC例例2 2 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到到A A处时测得公路北测远处一山顶处时测得公路北测远处一山顶D D在西偏北在西偏北1515 的方向上，的方向上，行驶行驶5km5km后到达后到达B B处，测得此山顶在西偏北处，测得此山顶在西偏北2525 的方向上，的方向上，仰角为仰角为8 8 ，求此山的高度，求此山的高度CD.CD.

14、14. 08tan,17. 010sin,26. 015sin000例例3、某巡逻艇在A处发现北偏东450相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东750的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？143538sin09,14,10ACxABxCBBxAB追上走私船，则处小时后在方向经过解：设巡逻船沿0001204575ACB02220222120cos1092)10(9)14(120cos2xxxBCACBCACAB即由余弦定理得)(16923, 02730322舍去或解得化简得：xxxx21,15ABCB1435120sinsin0ABCBBAC038BAC答：巡逻艇应该沿北偏东830方向去追，经过1.5小时才追赶上该走私船.课堂小结课堂小结1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。2、在分析问题解决问题的过程中