电磁场与电磁波课后习题答案(杨儒贵编着)(第二版)第4章

1、第四章静电场4-1 已知一根长直导线的长度为1km ,半径为0.5mm , 当两端外加电压6V时，线中产生的电流为-A ,试求：6 导线的电导率； 导线中的电场强度； 导线中的 损耗功率。解 （1）由 V =IR，求得 R= 6 =36'J1/6由 R ，求得导线的电导率为 aS总1037 r =2 =3.54乂 10 (S m )RS 36汽兀汉(0.5汉10)（2）导线中的电场强度为E=3=610 V m总103（3）单位体积中的损耗功率 R =：;E2，那么，导线的损耗功率为R = :E：r2L =1 W4-2 设同轴线内导体半径为a，外导体的内半径为b， 填充媒质的电导率为二。

2、根据恒定电流场方程，计算单 位长度内同轴线的漏电导。解 设r = a时，辱=V;r = b时，洛:=0。建立圆柱坐标系，则 电 位应满足的拉普拉斯方程为求得同轴线中的电位及电场强度E分别为VInJ - E工r In1-Vera :ilb丿1单位长度内通过内半径的圆柱面流进同轴线的电流d s =2 . V2#那么，单位长度内同轴线的漏电导为G 二12 二；= p（Sm）Inlb丿#4-3 设双导线的半径a，轴线间距为D，导线之间的媒 质电导率为二，根据电流场方程，计算单位长度内双导 线之间的漏电导。解设双导线的两根导线上线电荷密度分别为+ 和-匚 利用叠加原理和高斯定理可求得两导线之间垂直连线上

3、 任一点的电场强度大小为那么，两导线之间的电位差为Ed i a-VilnD a#单位长度内两导线之间的电流大小为.PbDI J d s = E d s =ss； D _ a则单位长度内两导线之间的漏电导为D - a InSmD-a、i< a丿若D a则单位长度内双导线之间的漏电导为SmIn<a丿#4-4 已知圆柱电容器的长度为L，内外电极半径分别为#a及b，填充的介质分为两层，界面半径为c。在av：c 区域中，填充媒质的参数为 存i ;在c：r：b区域中，媒 质参数为；2二2。若接上电动势为e的电源，试求：各 区域中的电流密度；内外导体表面上以及介质表面上 的驻立电荷密度。解（1）

4、建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程 为r0dr忽略边缘效应，设媒质和媒质内的电位分别为二和2，那么r= 0二聲r =G In r+C2dr i dr Jd f d 申 r i=0二=C31 nr +C4dr i dr .丿根据边界条件，得知a = e = G In a C2 ；2 b = 0 = C31n b C4G In c C2 = C31n c C4dr联立上式，求得C1 = _In c In bC2In a 二 ee.c 1 1 bInIna - 2 cC3C4& Inbc -1e1 b2 1 cInIna3#代入上式，得#In re eln alnclnb.cCiln

5、a二 2ca 二 2In rln bie lnb c_e吐三忙 lnb BnEc -1 a c -1 aerr = a表面上面电荷密度为"C 5baL、ac丿=b表面上面电荷密度为"sb = ；2E2n；2；卞4#=c表面上面电荷密度为In'sc 二卜'2 ln - i ln- cLla c丿4-5试求已知环形导体块尺寸如习题图4-5所示。r二a与r二b两个表面之间的电阻。#解 建立圆柱坐标系，则电位应满足的拉普拉斯方程为#r0dr该方程的解为r = C| In rC2a 二Vo,: b =0,求得常数&VolnbaO那么，电场强度为E(rd/d r

6、Voerr In a电流密度为r In a电流强度为3d dz=ga Inbl2ln4I ia丿2ln由此求得两个表面之间的电阻为 ：d-5#4-6若两个同心的球形金属壳的半径为*及以几,球(k 壳之间填充媒质的电导率 = CT0 1 + - | ,试求两球壳之间、 r丿的电阻。解 对于恒定电流场，因=0，可令丄=亠J 将其W丿a代入J - 0 ,得 八，-0建立球坐标系，上式展开为丄£匕 r d r |1脣0该方程的解为 : =C1 In r+ C2 r k那么，求得电流密度为J.0C1k= _；：，.=_二一_ err(r + k ) r两球壳之间的电流为两球壳之间的恒定电场为C

7、1kJEer<rr(r + k )两球壳之间的电位差为C1k厂 E d，I k求得两球壳之间的电阻为R = j 亠 n_I 4=0k rk4-7已知截断的球形圆锥尺寸范围为ri乞r空a , 0 r <， 电导率为匚，试求r二ri及r二a两个球形端面之间的电阻。 解 由于两个球形端面之间的导电媒质是均匀的，因此由 上例获知、2 =0那么Ci2 er 匚r牛0 = d r I dr 丿求得 电流密度J =电er ；电场强度r那么，电流2兀 Q C2-I J ds1 A sin d二=2二 1-cos0 Cj、S0 0 “ 2101ri电位差因此电阻U = E dI = " C

8、； dr 二 Cf <rrer11 Z1 1X2g(1 - cos日 o )占 D4-8若上题中电导率;- ；o *，再求两球面之间的电阻 r解由于媒质是非均匀的，那么由（旳半）=o二2 ；浪也沢竺=。，dr（ r dr 丿求得 :=C11 nr C2电流密度 J - - -：.C1色二一AC丄errr电场强度 E = =1 era rV312v-sd2r1 sin Bdd = 2二 1 cos%电位差U = E d I = Ci l n丄ri因此电阻1 沾2二 1-coso 二。1ri4-9 若两个半径为a1及a2的理想导体球埋入无限大的 导电媒质中，媒质的电参数为；及;，两个球心间距

9、为d， 且do a1， d ： ： a2，试求两导体球之间的电阻。解设两球携带的电荷分别为Q和-Q，考虑到两球相距 很远，d -ada2，两球表面电荷分布可视为均匀。 因此，两球的电位分别为-Q + Qd a?丿则两球之间的电位差为_4聴电a2d - 印 d - a2 ,那么，两球之间的电容8#根据静电比拟，两球之间的电阻应为14 二；#4-10 知半径为25mm的半球形导体球埋入地中，如习 题图4-10所示。若土壤的电导率；：.-=10 “ (S/m)，试求导体球的接地电阻(即导体球与无限远处之间的电阻)习题图4-10#解 已知半径为a的孤立导体球与无限远处之间的电容 为 C=4：；a，那么

10、根据静电比拟，埋地导体球的电阻R 为1RCR er84兀0 a对于埋地的导体半球，表面面积减了一半，故电阻 加倍，即1 6R6.36 106'.12二；a4-11 恒定电流通过无限大的非均匀电媒质时，试证任 意一点的电荷密度可以表示为解 已知恒定电流场是无散的，即V J = 0 ,那么 ' I'.-EE 亠 E ：- 0又由于介质中电通密度在某点的散度等于该点自由电荷的体密度，即它 D _= 、 E :E E ?；：八由上两式求得E94-12若一张矩形导电纸的电导率为二，面积为a b，四 周电位如习题图4-12所示。试求：导电纸中电位分布；导电纸中电流密度。Y:=习题图

11、4-12解（1）建立直角坐标，根据给定的边界条件，得二 00 ： x a#0,y =0, a,y 二 V0 y b导电纸区域中电位的通解为x,y 二 A0X B。C°y D。QO+ E A sh(knX )+Bn ch(knX)】Cn sin(kny )+ Dn coSkny)】n F由边界条件=0得宀=0及 y出创O0A°X B° C° 、A sh knXBn ch knX Cnkn = 0n =1#00A0xB0 C07knAn shknx i亠 Bn chknxlCn cosknb1Dnsinknb丨-0n=1由此求得常数:Cn =0，其中 n =

12、0,1,2,10#kn ，其中 n 二 1,2,b代入上式，得x,y 二 A0X B。代功nJ 牛XBnCh厝*0s#由边界条件:0, y =0,a,y二乂,得A°a B。Anshn生Lnn Sa cos b#QOB0' Bn cosn=1由此求得常数:Bn =0,其中 n =0,1,2,3,A° = °, An = 0,其中 n = 1,2,3, a那么，导电纸中的电位分布为/ ex，求得导电纸中电流密度为a4-13已知电导率为；的无限大的导电媒质中均匀电流密度J =exJ0。若沿Z轴方向挖出半径为a的无限长圆柱孔，如习题图4-13所示。试求导电媒质中的

13、电位分布。#(提示：当r r 时，电位J°r cos )a解 由于所讨论的空间是无源的，故电位应满足拉普拉斯 方程。取圆柱坐标系，则其通解可表示为r, ,z =Colnr Do0-工 bn An sin nBn cosn；t r代 sinnBn cosn 1n 4(1)在r -:区域中，圆柱孔的影响可以忽略，则Joo，又 E o _- _ex ，得dx-J o. J oJ o 二 :二x ： 二一r coscXCTCT可见，当r 匚时，电位函数为cos '的函数，因此r, ,z表达式中系数Co,Do,An,An均应为零，且n=1 o那么:r, , z = rB1 co 亠1 Blcos 二 rB1 - Bl cosrI r丿件 cos -虫 r cos ，得CTB-二由于圆