无限风光在险峰—导数法的恒成立压轴题

1、无限风光在险峰-导数法的恒成立压轴题导数是研究函数的强有力工具，并且导数知识综合性 较强，众多数学的思想方法贯穿于导数解答题解题过程的 始终，能很好地体现学生数学综合能力，因此导数作为压轴题成为高考的一个热点和难点。纵观近几年高考导数压 轴题，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立问 题。学生解决这类问题困难较大、上手难、失分多，现将 这类问题解决方法进行归纳，可以从两方面入手。一、分离参数法如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量 x的关系构造函数，则可以利用求函数的最值法求解参数 范围，即参数大于函数最大值或小于函数最小值。形如a f x恒成立 a f x maY即大于时大于函数

2、maxf (x)最大彳K, a f x恒成立 a f x min即小于 时小于函数f(x)最小值。分离参数方法的适用范围：参 数易于分离且分离参数后构造的新函数能求出最值。例 1 已知 f(x) xlnx,g(x) x2 ax 3。对于 一切x (0,), 2 f (x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围。分析：将不等式2f (x) g(x)进行分离参数即3 3a 2ln x x 一，构造函数 h(x) 2ln x x 一xx(x 0)显然借助导数函数最小值易求。 一一2 一 .一3斛：1 2xln x x ax 3, a 2ln x x - .x、儿3(x 3)( x 1)设 h(x) 2

3、ln x x 一(x 0),贝Uh'(x) 2.xx当 x (0,1) ,h'(x) 0,h(x)在(0,1)单调递减;当 x (1,),h'(x) 0,h(x)在(1,)单调递增.，一切 x (0,), 2 f (x) g(x)恒成立,a h(x)min 4例2(2013新课标I理科)已知函数f (x) x2 ax b, g(x) ex(cx d)若曲线 y f (x)和曲线y g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线 y 4x 2.(i)求 a , b , c, d 的值；(n)若x 2时，f (x) kg(x),求k的取值范围.分析：(n )将参数k分离

4、，有三种情况：22x 4x 2 田 x 4x 2 记 2 x1时,k 一；,而一； 的2ex(x 1)2ex(x 1)最小值可求；x1时，k R符合题意；(3) x1时，k x *4' 2,而x x4X 2的最大值2e (x 1) 2e (x 1)可求。解：(I)易得a 4, b(n)由(i)知 f (x) x22, c 2, d 2;4x 2,g(x) 2ex(x 1),由题意知 x2 4x 2 kg2ex(x 1),g'(x)1时,kx2 4x 22ex(x 1)，设 g(x)x2 4x 22ex(x 1) h(x)minh(1) 4x(x 2)22ex(x 1)20,故g

5、(x)在2, 1)单调递增,g(x) g( 2) e2 ,从而 k e2。(ii) x1时，1 0原不等式恒成立，从而 k R,(iii) x1时，k2_X2 4x 22ex(x 1)，设 g(x)x2 4x 22ex(x 1)xex(x 2)2g'(x)2x(X 2)2, x ( 1,0)时 g'(x) 0, g(x)2e (x 1)在(1,0)单调递增；x (0,¥4g'(x) 0, g(x)在(0,)单调递减，g(x) g(0) 1,从而k 1。综上所述，k的取值范围1,e2。二、分类讨论法有些试题在高中范围内用分离参数的方法不能顺利解决，利用分离参数的

6、方法不能解决这部分问题的原因是(ii)若k e2,则 F'(x) 2e2(x 2)(ex e2)从而当时F(x) 0,即F(x)在(2,)单调递增。而F( 2) 0,故当 x 2时 F(x) 0,即 f(x) kg(x)恒成立。(iii )若 k e2,则222F( 2) 2ke 2 2e (k e ) 0。从而当 x 2时F(x) 0,即f(x) kg(x)不可能恒成立。f(x)的切aln x bx 1x线方程为f(x)In x kx 1 x4x ln x单调性无法用常无法求最值或求最值时出现了0或一型的式子，而这就0是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就 是洛必达法则。

7、但利用洛必达法则在高考评分中往往带有 争议，因此需掌握分类讨论的基本思想。分类讨论含参数函数的单调性，首先确定参数的分界点，然后验证参数在每一段内是否满足题意， 从而得出参数的范围。 往往在分 类讨论的个别情况中，需要找一个与恒成立的不等式矛盾 的区间或一个矛盾的值来否定此时参数范围不符合题意。例2(2013新课标I理科)分析：(n)此问也可用分类讨论方法求出参数的范 围，构造函数 F(x) kg(x) f(x)讨论其单调性，由导数两根的大小及 x -2确定参数k的分界点为1和e2, 分三种情况讨论，并验证每段是否符合题意， 从而得出参 数的范围。解：(I)略。(n)由(I)知 f(x) x2

8、 4x 2,g(x) 2ex(x 1) 设函数 F (x) kg(x) f (x) 2kex(x 1) x2 4x 2 则 F'(x) 2kex(x 2) 2x 4 2(x 2)(kex 1) 由题设可的F(0) 0 ,即k 1 令 F (x) 0 得 x1lnk,x22(i)若1 k e2,则 2 x, 0.从而当x (2,为)时F (x) 0;当 x (x,，)时，F (x) 0。即 F(x)在(2,x,)单调递减，在(x1,)单调递增。故F(x)在2,)最小值为F(x,)。而 2F(x1) 2x1 2 为4x1 2x1 (x1 2) 0故当x 2时F(x) 0,即f (x) kg

9、(x)恒成立。综上，k的取值范围是1,e2。例3(2011新课标理科)已知函数曲线y f (x)在点(1,f (1)处 x 2y 3 0.(I)求a, b的值；(II)如果当x>0,且x 1时，求k的取值范围.分析：(II)参数k易于分离，分离后转化为, 2xln x2xln xk -2 1,令g(x) 2 1,其最值很难x 1x 1求出，原因是其导函数2(lnx 1)(x2 1) g (x)/ 2 八2(x 1)规方法判断。因此需构造函数讨论其单调性，通过恰当变形及二次型方程的判别式为零，确定参数的分界点为 0和 1,分三种情况讨论。解：(I)易求 a 1, b 1。, 八 一、ln

10、x 1(n)由(i)知 f(x) 一，所以x 1 x2一、，lnx k、1(k 1)(x2 1)、f(x) ()2 (2ln x)x 1 x 1 xx考虑函数 h(x) 2ln x (k 1)(x一1 (x 0),则 x2_(k 1)(x1) 2xh (x) 2。x(i)设 k 0 ,由 h '(x) k一匕"1) 知,当 xx 1 时，h'(x) 0。而 h(1) 0,故，.-1当 x (0,1)时，h(x) 0,可得2 h(x) 0；1 x1当 x (1, + )时，h (x) <0,可得2h(x)>01 x从而当x>0,且x 1时，f (x)士

11、+k)x 1 x>0,即 f (x) >In xx 1(ii)设 0<k<1.由于当 x (1,)时，(k-1) (x21 k'一+ 1) +2x>0 ,故 h (x) >0,而.1 一一一h(1) 0 ,故当 x (1,)时，h (x) >0,可1 km 1一得2h (x) <0,与题设矛盾。1 x2(iii)设 k 1.此时 h (x) >0,而 h(1) 0,故当 x (1,-1-+ )时，h (x) >0,可得 2- h (x) <0,与题设矛1 x盾。综上所述，k的取值范围为(-,0。本文给出了用导数求解恒成立问题的参数范围的两种方法：分离参数的方法容易想到， 解题时需注意参数的 系数正负情况且分离后构造的函数最值可求；分类讨论法的关键是确定参数的分界点，需考虑含参函数的定义域结 合含参函数零点的大小关系或二次型方程判别式为零来确定参数的