椭圆专题复习讲义

1、精品文档椭圆专题复习知识梳理1.椭圆定义：(1)第一定义：平面内与两个定点FF2的距离之和为常数 2a(2a | F2F21)的动点P的轨迹叫椭圆，其中两个定点FF2叫椭圆的焦点.当|PF1 |PF2 2a F1F2时，P的轨迹为椭圆；;当|PFi |PF2 2a F1F2时，P的轨迹不存在；当|PF1 |PF2 2a F1F2时，P的轨迹为了A FF2为端点的线段(2)椭圆的第二定义:平面内到定点 F 与定直线_(定点F不在定直线|上)的距离之比是常数e(0 e 1)的点的轨迹为椭圆(利用第二定义，可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化).2.椭圆的方程与几何性质标准方程

2、22卜 1(a b 0)22-02- f 1(a b 0)性质参数关系2. 22a b c隹乏 八八八、(c,0),( c,0)(0,c),(0, c)焦距2c范围|x| a,|y| b|y| a,|x| b顶点(a,0),(a,0),(0, b),(0,b)(0, a),(0,a),( b,0),(b,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率ce 一 (0,1) a, 准线2 a xc2 ay 一 c考点1椭圆定义及标准方程题型1：椭圆定义的运用例1 (湖北部分重点中学 2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点 出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一

3、个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为 2a,焦距为2c,静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是A. 4aB. 2(a c)C. 2(a+c)D.以上答案均有可能解析按小球的运行路径分三种情况：(1) A C A,此时小球经过的路程为 2(ac);(2) ABDBA,此时小球经过的路程为 2(a+c);(3) APBQA此时小球经过的路程为4a,故选D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】2 一1 .短轴长为 非,离心率e 的椭圆两焦点为Fi, F2,过F1作直线交椭圆于 A B两点，则 3 ABE的周长

4、为()A.3B.6C.12D.24解析C.长半轴a=3, AB技的周长为4a=1222x y222.已知P为椭圆L 1上的一点，M , N分别为圆(x 3)2 y2 1和圆25 16, 一、22. . . .一 (x 3) y 4上的点，则 PM |PN|的最小值为()A. 5B.7 C . 13 D . 15解析B. 两圆心C、D恰为椭圆的焦点，|PC| |PD| 10, PM PN的最小值为10-1-2=7题型2求椭圆的标准方程例2设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4 J2-4,求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用

5、关于参数a,b,c的式子“描述”出来2222解析设椭圆的方程为 x2 、1或勺 4 1(a b 0), a2b2b2 a2b c则 a c 4( J2 1),222a b c2222解之得：a4&,b=c=4.则所求的椭圆的方程为21或上匚1.32161632【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数a,b,c的数量关系.警示1易漏焦点在 y轴上的情况.【新题导练】3.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数 k的取值范围是 解析（0,1）. 椭圆方程化为又 k>0, 1- 0<k<1.4.已知方程x2cos y2sin解析当 （0,）时，sin4焦点

6、在y轴上，则>2,即k<1.k1,（0,）,讨论方程表示的曲线的形状cos ，方程表示焦点在 y轴上的椭圆,当 一时，sin cos ,方程表示圆心在原点的圆，4当（一,一）时，sin cos，方程表示焦点在 x轴上的椭圆4 25.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆的点的最短距离是73 ,求这个椭圆方程.a c 3 a 2.3x2 y2、x2 y2、解析广,b 3,所求万程为一+工=1或一+ =1.a 2cc .3129912考点2椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）例3在4ABC中， A 300,|AB| 2, S ABC J3

7、.若以A, B为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率 e .【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率解析Sabc -| AB| I AC |sinA <3 , 2| AC | 2V3, |BC| VI AB I2 I AC I2 21ABi | AC | cosA 2|AB|23 1e I AC I IBC I 2x3 22【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定（2）只要列出a、b、c的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）（3） “焦点三角形”应给予足够关注【新题导练】,那么这个椭圆的离心率为6.如果一个椭

8、圆的长轴长是短轴长的两倍A -i5.4解析选BB.2D.-2随意编辑7.已知m,n,m+n成等差数列,n, mn成等比数列,2则椭圆m21的离心率为 n2n解析由n22m2m n2yn1的离心率为mn题型2:椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等)例4 已知实数x, y满足21,求 x22X的最大值与最小值【解题思路】 把x2X看作X的函数2 x 解析由L41时,x2y21 / 八23(x 1)-,x222,2x取得最小值3,当x 2时，x2y22x取得最大值6【新题导练】9.已知点A,B是椭圆2x-2m2y1 (m 0, n 0)上两点 n，且AOBO，则解析由AO BO知点A,O,B共线

9、，因椭圆关于原点对称2210.如图,半部分于把椭圆 上 上1的长轴AB分成8等份，过每个分点作 x轴的垂线交椭圆的上 25 16耳尸2尸3, P4,P5,P6,P7七个点，F是椭圆的一个焦点则 PFP2FBFP4FPsFP6FP7F解析由椭圆的对称性知:PFP7FRFP6FP3F RF 2a 35 .考点3椭圆的最值问题220的距离的最小值为例5 椭圆 y 1上的点到直线l: x169【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数 解析在椭圆上任取一点 P,设P(4cos ,3sin ).那么点P到直线l的距离为:14cos 3sin 12|215sm) 9| 2 2,12 122【名师指

10、引】也可以直接设点P(x, y),用x表示y后，把动点到直线的距离表示为x的函数，关键是要具有“函数思想”【新题导练】2211.椭圆土 匕 1的内接矩形的面积的最大值为169解析设内接矩形的一个顶点为 (4cos ,3sin ),矩形的面积 S 48sin cos 24sin2 24x2 y212. p是椭圆_2 1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，求|PF1| |PF2|的最大值a b与最小值解析| PR | | PF2 | | PFi | (2a |PFi |)(I PFiI a)22a，IPFi |a c, a c当 |PFi Ia时，IPFiI IPF2I取得最大值a2,当 |PFi

11、 Ia c时,2IpFi | | PF21取得最小值b13.已知点P是椭圆2 y21上的在第一象限内的点，又4A(2,0)、B(0,1),则四边形OAPB的面积的最大值是解析设P(2cos,sin),(0,P 则SOAPBS OPA S OPB1- OA sin21八-OB 2 cos sin2cos.2考点4椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题例6 已知椭圆C的中心为坐标原点O, 一个长轴端点为 0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P(0, m ,与椭圆C交于相异两点 A B且AP 3PB .(1)求椭圆方程;(2)求m的取值范围.【解题思路】通过

12、AP 3PB ,沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式解析(1)由题意可知椭圆 C为焦点在y轴上的椭圆，可设2C±a2 x -21 (a b 0)b2故椭圆C的离心率为e又有a2 b2 c2,解得a 1 , b,22-2,其标准方程为:22 X T2(2)设l与椭圆C交点为A (X1, y1), B (X2, v2y=kx + m2222 2+ 2 得(k + 2) x +2kmx+ ( m- 1)A= ( 2km) 24 (k2+2) (m21) = 4 (k22m+2)>0(*)2 kmX1+x2= k2+2'2m- 1X1X2=

13、 k2+ 2X1+ X2= 2X2AP = 3 PB X1 = 3X22X1X2= 3X2消去 X2,得 3(X1 + X2)2+ 4X1X2= 0,3( -2kmi 2十2m-整理得 4k2m2+2m2k22=021 ,m=4时,1o上式不成立；m4时，k22-2m24m2- 1'22 2 2m 0 . k =4mT7>0，1 f 11<m<-2 或-<m<1容易验证k2>2m22成立，所以(*)成立即所求m的取值范围为(一1, 2) U (1)【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能【新题导练】A、B两点，点

14、Q与点P14.设过点P X,y的直线分别与X轴的正半轴和 y轴的正半轴交于关于y轴对称，。为坐标原点，若BP ()3 OOA. -X 3y 1 X 0, y 02C. 3x2 3y2 1 x 0,y 022PA,且OQ AB 1,则P点的轨迹方程是3 2-2B. x3y1 x0, y02D.3x23 y21 x0, y02一 33 c解析AB ( -x,3y),OQ ( x, y) 3x2 22 一,2 . .一15.如图，在 Rt ABC, / CAB=90 , AB=2 AC= o 一曲线E过点C,动点P在曲线E上运动，且保持| PA+| PB的值不变，直线l经过A与曲线E交于M N两点。

15、(1)建立适当的坐标系，求曲线 E的方程；(2)设直线l的斜率为k,若/ MBM钝角，求k的取值范围。解：(1)以AB所在直线为x轴，AB的中点。为原点建立直角坐标系，0)由题设可得|PA| |PB| |CA| |CB| /22 (J)2 22 322 2 222动点P的轨迹方程为今4 1(a b 0), a2 b2则 a 2,c 1.b , a2 c2 12曲线E方程为y2 1(2)直线MN的方程为y2k(x 1),设M (x1, y1),设M (x1,y1,), N(x2,y2)y k(x 1)由 Iz。I。得(12k2)x2 4k2x 2(k2 1) 0一 2 一8k 8 0，方程有两个

16、不等的实数根4k22(k2 1)x1 x22,x1 x222 2k1 2kBM (x1 1,yJBN 小 1区)BM BN (x1 1)(x2 1)yy2(x1 1)(x2 1)k2(x1 1)(x1 1)222(1 k )x1x2(k1)(x1 x2) 1 k(1k2)_22(k1)1 2k2(k21)($)k27k2 11 2k2 / mbn钝角BM BN 0二 02k2解得:B、0N三点不共线综上所述,k的取值范围是(基础巩固训练1.如图所示，椭圆中心在原点,F是左焦点，直线AB1与且 BDB190，则椭圆的离心率为(解析B .(b)ca22.设E、F2为椭圆+y2=14的两焦点,值为A

17、、0C 2D> 3解析AF1PF2c2ac一 32e上22.6 (V.3T)PF1 PF2 0,23.椭圆362y9A. x2y解析D.2Xi36XiX28,y14.在 AABC 中,离心率eBF交于D,r 'P在椭圆上，当 FiPF2面积为1 时，PF1PF2的P的纵坐标为学从而P的坐标为1的一条弦被 A(4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是y 10 0C. 2x y 2 0 D .x 2y 8y21,2X23690oy12 y29y2X1X21,两式相减得：X1 X2 4( y1y2)一XiX20,-3 Atan B 一.若以 A,4B为焦点的椭圆经过点 C,则该椭圆的

18、解析AB 4k, AC 3k,BC5k,eABAC BC 25.已知Fi,F2为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点，若PF1F2 : PF2F1 : F1PF21:2:3,则此椭圆的离心率为解析V3 1三角形三边的比是i：J3：226.在平面直角坐标系中，椭圆。为圆心，a为半径y2 1( a b 0)的焦距为2,以b2的圆，过点2a -,0 c作圆的两切线互相垂直，则离心率2解析2 c 综合提高训练7、已知椭圆x2a(a b 0)与过点A(20)，B(0 ,1)的直线l有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率e,3, 一.求椭圆方程2解析直线l的方程为:由已知4b2由得:2 y b21x 2得:(b2

19、a2 )x2a2b2 0(4b2a2)(0,即a2 2,b2故椭圆E方程为2匕1128.已知A、B分别是椭圆2 X -2 a上，线段(1)PB与y轴的交点求椭圆的标准方程;2J 1的左右两个焦点, b2M为线段PB的中点。O为坐标原点，点-2 P( 1,)在椭圆2(2)点C是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于工 sin A sin B 缶ABC求的值。sinC解析(1)二.点M是线段PB的中点. OM是 PAB的中位线又 OM AB PA AB1a2a工12b,22b c解得 a22,b21,c2 1椭圆的标准方程为2y =1(2)二.点C在椭圆上,A B是椭圆的两个焦点DOA解析(I)由题意

20、可得点2设椭圆的标准方程是 x2 a则 2a AC BCA,B,C的坐标分别为24 1ab 0 . b2图8 .2,0, ,2,0, , 2,1 .AC+ BC= 2a= 272, AB= 2c= 2BC AC AB在 ABC中，由正弦定理， sin A sin B sin C.sin A sinB = BC AC 272 金sinC AB 2'9.已知长方形 ABCD, AB=2«2,BC=1.以AB的中点。为原点建立如图 8所示的平面直角坐 标系xoy.(I )求以A、B为焦点，且过CC D两点的椭圆的标准方程(n)过点P(0,2)的直线l交(I)中椭圆于M,N两点，是否存在直线1,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.2.仁1.222 21 0 2. . 2，2 21 04 2.2a 2222b2 a2 c2 4 2,一一 x2椭圆的标准方程是 一4(n )由题意直线的斜率存在，可设直线l的方程为y kx 2 k设M,N两点的坐标分别为 x1,y1 , x2,y2 .联立方程：y kx 2x2 2y2 4消去y整理得，1 2k2 x2 8kx 4 0有x1x28k2,31 2k2若以MNtt/直径的圆恰好过原点41 2k2，则OMO