武汉大学高等代数内部讲义

1、精品文档武汉大学高等代数（基础课程内部讲义）1欢立下载武汉大学数学专业基础知识点框架梳理及其解析 第一章多项式第二章行列式第三章 线性方程组 第四章矩B$第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章入-矩阵与约当标准型 第九章欧几里得空间 第十章双线性函数与辛空间 精品文档武汉大学数学专业初试线性代数考研知识点深度分析真题分析年份题型分值考察范围考察难度（了解、理解、掌握、应用）2009计算40行列式计算，根据行列式的秩求 未知数，求线性空间的一个基计算的题目都不是很难，只 要是按定义来做都是可以做出来 的证明110证明向量的线性相关性，证明与 方程组解个数有关的不等式， 特殊矩 阵有关的证

2、明，特征值的范围，矩阵 相似，线性变换证明题中前面几个很简单属 于理解定义就可以做的，后面关 于线性变换的题书L定难度2008计算70行列式求值球线性空间的位数 和一组基，求满足条件的止交变换， 求零化多项式，极小多项式，Jordan 标准型，求双线性变换的矩阵。计算的题目都不是很难，只 是有些计算起来有些复杂，只要 细心就可以了，这基本属于理解 定义就可以的题目证明80证明满足某种条件矩阵存在性的问题，线性子空间的直和证明矩阵 可逆，证明矩阵正定、合同，证明不 变子空间，证明矩阵之间秩的关系前回两个证明存在性的问题 看起来是比较新的题型，但具体 分析一下就知道这都是很简单 的，只是最舟-个证

3、明矩阵之间 秩的不等式难度较大，是已有知 识的一个应用2007计算70求满足一定条件的矩阵，求行列 式的值，求线性方程组的基础解系， 求不变因子，约当标准型，极小多项 式，线性变换的基计算题的题目都不是很难， 一般只要是考生能正确的应用定 义就可以做出来。证明80线性方程组是否有公共解，关于 代数余子式的证明，矩阵的秩，矩阵 的正定，矩阵的相似，线性子空间的 直和，线性变换的对角化问题，两个 线性变换之间的关系证明题相对于计算题来说难 度稍微些，但根据最近这些 年武汉大学线性代数出题的规律 来看，代数的题目都不难，所以 基础一定要扎实。综合来说，高等代数专业课这几年的题型变化不大，主要有计算和

4、证明题型，难度略有增加，侧重于 对基础知识点的掌握，在复习时，对于了解的知识点，复习的时候，一定要搞清楚各个概念以及它们之间 的关系，需要了解的只是大多数是定义之类的简单东西，我们必须看到定义之间的练习，才能在做题的时 候不混淆，对于熟悉的知识点，这类知识我们应该找一部分习题进行一下简单训练，这类知识点一般不会 出很难得题目，但肯定会在考试中涉及，所以进行一定的训练是很有必要的；对于掌握的知识点，这类知 识点是考试的重点，一定要多花些时间来做，首先是看一遍课本，然后做完课本上相应的习题，对这类知 识点先有个大体的了解，然后再做我们所推荐的那两本习题，将那上面的相关题目完成后对付考研是没问 题的

5、。参考书目知识点分析初试专业课 高等代数总共包括 1本书下面我将主讲高等代数的复习概要，同学可以做个标注:高等代数早下章节名称重点难点必考点考试题型分值第1章多项式XXX无第2章行列式VV计算行列式的值15第3章线性方程组VV求解题目中的参 数15第4章矩阵VVV求矩阵的逆或证 明矩阵秩之间的 关系25第5章二次型VVV与正定矩阵、半 正定矩阵、负定 矩阵、半负定矩 阵有关的证明15第6章线性空间V证明线性空间同 构，或求先行空 间的维数15第7章线性变换VVV求线性变换的特 征向量特征值特 征子空间，不变 子空间等20第8章入-矩阵与约当标准型V求约当标准型15第9章欧几里得空间V对称变换，

6、反对 称变换，正交变 换，正交矩阵后 关的证明15第10章双线性函数与辛空间V求双线性变换的 矩阵15重点知识点汇总分析（大纲）序号知识点细分难易程 度（最大为*）1多项式多项式的概念两种不同的定义不定元的观点函数观点2多项式的运算加法、减法、乘法3多项式的次数不为零的项的最高次数为该多形式的次数4整除及其性质5最大公因式首项系数为1的最大公因式记为(f (x) , g(x)6多项式互素(x)f(x)(x)g(x) 17不口约多项式及其性质8因式分解定理9重因式/、可约多项式 p(x)称为多项式f(x)的k重因式，如果 pk(x)/f (x)，而 p(k 1)不整除 f (x)10多项式的根1

7、1本原多项式12艾森施坦因判别法13多元多项式14对称多项式15行 列 式行列式的定义，逆序的定义(j/2jn)为排列j/2jn的逆序数。16行列式的性质转置以后其值不变，变换行列式的两行(列)，行列式改变符号17行(列)展开18行列式的乘法19拉普拉斯定理(laplace 定理)20线 性 方 程 组克莱姆法则(Cramer法则)设A解，其用a11a1nan1ann早为(_D1匹(AA，且A 0,则有唯一An)21向量的线性相关性设 1, 2, n Pn , 若方程组Xi 1 x2 2xn n 0,在P中后非零解,则称1,2, n线性相关，否则称它们线性无关。22线性方程组解得情况分类非齐次

8、线性方程组有解的充分必要条件是它的 系数矩阵与增广矩阵有相同的秩23矩阵矩阵及其运算矩阵的加法矩阵的数乘矩阵的乘法矩阵的转置24可逆矩阵与逆矩阵伴随矩阵及其性质逆矩阵及其性质求逆矩阵的两种方法,1 *I）用公式A 1 一 A ； II）初等变换法IA25初等变换与初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初 等矩阵26分块矩阵1分块矩阵的运算分块矩阵的初等变换分块矩阵求逆的方法27矩阵的秩秩 A 二秩（A'）；秩kA =秩A ,其中k为非零常数秩A 秩A秩A B 秩A 秩B28矩阵的分解矩阵的和分解矩阵的积分解29次 型二次型的标准形二次型的矩阵表示二次型与矩阵的合同30对称矩阵n

9、阶对称矩阵合同于对角矩阵n阶实对称矩阵，都存在一个阶正交矩阵T使1_ 1_2T'AT T 1ATn31实二次型与复二次型的规范型复二次型经过适当的满秩线性变换（复）可变222为 y y2y.实二次型经过适当的实满秩线性替换可变为22222yiy2yp ypiy32符号差p-q=S33对称矩阵的性质两个复对称矩阵合同的充要条件是他们的秩相 等两个实对称矩阵合同的充要条件是它们有相同 的秩和相同的符号差34正定二次型判定条件A与E合同,A的一切顺序主了式王大于夺。或 A的特征值全为正。35二次型f(XiX2Xn)是负定二次型的充要条件是f(XiX2 Xn)是正定二次型。36二次型f(X2

10、Xn)是负定的充分必要条件是它的顺序主子式 负、正相间。37n元实二次型P正定二次型：正惯性指数=秩= n半正定二次型：正惯性指数=秩负定二次型：负惯性指数=秩= n;半负定二次型：负惯性指数=秩不定二次型：其他38线 性 空 间线性空间的简单性质加法交换律加法结合律在V中件-个兀素 0,对于V中任一兀素都有 0对于V中每一个元素，都有V中的元素 ，使得01 -=；k(l ) (kl)(k l) k lk() k k39维数果在线性空间V中有n个线性无关的向量，但 是没有更多数目的线性无关的向量，那么V就称为n维的；如果在 V中可以找到任意多个线 性无关的向量，那么 V就称为无限维的.40基在

11、n维线性空间V中，n个线性无关的向量1, 2, n称为V的一组基，41坐标设ai 1 a2 2an n，其中系数为电，an是被向量 和基1, 2, , n唯一确定的，这组数就称为 在基1, 2, , n下的坐标.42过渡矩阵43线性子空间数域P上线性空间 V的一个非空子集合W称为V的一个线性子空间（或简称子空间）， 如果 W对于V的两种运算也构成数域 P上的 线性空间.44子空间的交与和V1IV2 v V1且v V2,称为子空间的交；V1 V2 V1 V2 |V1 V1,V2 V2,称为子空 间的和。45子空间的直和46同构()()()；(k ) k (),47基本结论线性空间V的非空子集 W

12、是V的子空间 的充分必要条件是 W对于V的两种运算是封 闭的.L( 1, 2,L , s)L( 1, 2,L , t)向量组1, 2, s与向量组1, 2, t等价，且dim L( 1, 2, s) 等于向量组1, 2, s的秩如果V1 ,V2是线性空间V的子空间，那么V1 V2, Vi V2都是V的子空间.dimM dimV， dimV V dim峪 V2).18数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要 条件是它们有相同的维数.49线 性 变 换线性映射的定义设U ,V为数域K上的线性空间，:U V为映射，且满足以下两个条件()()(),(,U)；(k ) k ( ),(U,k K),50单

13、线性映射是单射51满线性映射P是满射52同构映射P既单又满，53的核(kernel )ker U | ( ) 054的像(image)im = V |U ,s.t ( ),也记为(U)55ker 和im 是V的子空间56线性映射f是单的当且仅当ker f 0 , f是满的当且仅当coker f 057线性映射的运算的定义与性质加法与数域K上的数量乘法58线性映射在一组基下的矩阵59线性变换线性空间到自身的线性映射称为线性变换60线性变换的矩阵61矩阵的相似二矩阵相似当且仅当它们是同一个线性变 换在两组基下的矩阵。62线性变换的特征值与特征向量的 定义若存在非零向量V,使得对于某个K,有A，则称

14、是A的属于特征值 的特征向量。63线性空间V中属于确定的特征值的特征向量(添加上零向量) 构成子空间特征子空间64特征值和特征子空间的计算、特 征多项式f( ) E A被称为线性变换 A的特征多项式65线性变换的属于不向特征值的特 征向量线性无关66维空间的具有个不同特征值的线性变换的矩阵相似于对角矩9欢在下载精品文档阵.67n维空间线性变换的矩阵相似于 对角矩阵的充分必要条件是该空 间等于特征子空间的直和。68线性变换的不变于空间69如果n维空间V上的线性变换 A 的矩阵相似于对角矩阵，则A在任一/、变于空间 M上(的限制) 的矩阵相似于对角矩阵。70入-矩阵的可逆71入-矩阵的初等变换72

15、入-矩阵等价的定义经一系列初等变换可以得到73入-矩入-矩阵的标准型J10i 10JJ2, Jii01Js0i ni ni74阵入-矩阵的行列式因子75与入-矩阵的小艾因子入-矩阵的标准型对角线上的兀素76约 当两个入-矩阵等价的充分必要条 件是他们有相同的/、变因子77标矩阵A的小变因子入E-A的不变因子78准入-矩阵的初等因子:所有次数大于等于1的因式79型矩阵的Jordan标准型与A相似的Jordan型矩阵成为 A的Jordan标准型80Hamilton - Cayley 定理A是数域K上的n阶方阵,f是A的特征多项 式，则 f(A)=0.81最小多项式.设A是数域K上一个n阶方阵,A的

16、首项系 数为1的最低次化零多项式称为 A的最小多项 式.82内积就是一个正定、对称的双线性函数83欧几里得空间具有内积的实线性空间称为欧几里得空间(简 称欧氏空间)；84长度或模| 7(,)85欧 几 里 得 空 间柯西-布尼雅可夫斯基不等式|( , )i i i i 86度量矩阵是实对称矩阵，并且是 正定的(1, 1)(1,2)(1, n)C( 2 , 1)(2,2)(2, n)G(n, 1) ( n, 2)( n, n)87标准正交基88正交矩阵.TT E89施密特(Schmidt)正交化方法90欧式空间中子空间M的正交补MV|对一切M有(，)091VMM92欧氏空间同构映射(1) 是线性

17、空间V1到V2的的同构映射(2) 保持内积关系.93正交交换设V是n维欧氏空间，A是V内一个线性变换.如果对任意 ， V都有(A ,A )=(,)94第一类正父变换正交变换A在某一组基下的矩阵的行列式为195第一类正交变换.如果行列式为-196正交矩阵的特征多项式的根的绝 对值等于197对称变换设A是n维欧氏空间V内的一个线性变换，如果对，V,都有(A ,) =(, A )98n维欧氏空间 V上的线性变换 A 是对称变换当且仅当它在标准正父基1,2, n下的矩阵 A是实对称矩阵.99实对称矩阵A的特征根都是实数.100n维欧氏空间上 V的对称变换A 的/、变子空间 m的正父补M仍 是不变子空间

18、.101设n维欧氏空间上的对称变换某 组标准正交基下的矩阵呈对角形设A是n阶实对称矩阵，则存在n阶正交矩阵T ,使得T 1 AT( T AT)为对角阵.102双 线 性 函 数线性函数的定义f:V K为映射，满足f() f( ) f( ), V；f(k ) kf( ), k K, V103与 辛 空 间双线性函数的定义f(k1 1 k2 2, ) "( 1, ) k2f( 2,)f( ,l1 1 l2 2)11f(, 1) l2f( , 2)1欺速下载精品文档104双线性函数在给定基卜的矩阵f ( i, j) (1 i n,1 j n)105双线性函数在不同基下的矩阵设线性空间 V上

19、的双线性函数f在一组基1,L , n下的矩阵为 A,由基1, n到基1, n的过渡矩阵为T ,则f在1, n下的矩阵为TAT （合同）106对称双线性函数f( , ) f(,)107f为对称双线性函数f在任意一组基卜的矩阵为对称矩阵108数域K上的n维线性空间 V上 的对称双线性函数的矩阵必合同 于对角阵12攵'迎下载精品文档第一章多项式武汉大学数学专业基础知识点框架梳理及其解析本节课在武汉大学考研试题中不会涉及，所以可以不用复习。第二章行列式本章节包括一下5个知识点aii1.行列式的定义：an1al nann(1)(jlj2.jn)aijia2j2.anjn 其中(jij2jn)为排

20、列"jz-jn的逆序数。2 .行列式的性质(1)设D为n阶行列式，则DDT ,即行列式转置以后其值不变。14欠°迎下载(2) n阶行列式D某一行(列)有公因子可以提出来。(3) n阶行列式D的某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行 列式除这一行外全与原来行列式D的对应的行一样。(4) n阶行列式D中某行(列)的对应元素都相等，则D=0。(5) n阶行列式D中某行(列)的对应元素成比例，则D=0。(6)把n阶行列式D的一行(列)的倍数加到另一行(列)，行列式的值不变。(7)变换行列式的两行(列)，行列式改变符号。3 . 一行(列)展开设 D aj为

21、阶行列式， Aj为元素aij的代数余子式，则4.aki Akiak2 Ak2D,当 k i, akn kn0,当 k i.ail A ja2l A2 jD,0,行列式的乘法设Di和D2是任意两个阶行列式.且D aij,D2 bijUDi?D2 D,而DCj .其中nCijakibil (k, l i,2 n)i i5.拉普拉斯定理(laplace 定理)设在行列式D中任意取定了 k(i k n i)个行，由这k个元素所组成的一切k阶子式与他们的代5个知识点必须掌握。数余子式的乘积的和等于行列式Do因为这一节比较基础而且这一节的内容对于后面几节的学习有很大帮助所以这基础阶段，复习时间是从 5月份

22、至8月份，需要掌握的知识点是会求行列式的值。在复习每一个知识点的过程中，首先要了解知识点，通过看课本并完成课本后面的习题来初步熟悉以上所说的知识点，知道行列式表示一种特殊的计算方式，关键要搞清楚行列式的计算，一般地有递推降级法、拆分组合法、滚动相消法、加边法、哥级数变换法、逐行（列）相加（减）、利用特征值、利用降级公式、转化为已知行列式（如范德蒙行列式等），最后再通过本讲义如下内容对应的例题，从分析、解题、注意易错点到完成老师布置的作业完成相应知识点的掌握过程。【知识点1】行列式的定义aii【例题1】写出五阶行列式a51a15中包含a3a25的所有正项a55分析：对于这个题我们只要知道行列式的

23、定义，同时能够正确求一个排列的逆序数即可解题：包含a13a25的所有正项为:a13a25a31a44a52 , a13a25a32a41a54 , a13a25a34a42a51易错点：一定要写出行列式中所有包含a13a25的象，这需要比较细心，这类的题难度不大。【知识点2】行列式的性质【例题2】设三阶矩阵A 2 1 , B3 2IA 18,B 2.求行列式|A B.1 ,其中，1，2均为三维向量，且已知2A-B是什么形式然后再利用行列式的性质分析：为了求行列式 A B.的值我们首先要分析一下解题：由A B 2 132 12易错点：行列式中提取常数时要提取某一行或某一列的公因式即可精品文档1&

24、amp;°迎下载. I 一、一、. I *、-*习题：设A为二阶万阵， A为伴随矩阵，且A 1,计算（1A）1 8A*83答案：64【例题3】设ak0,k1,2,n,计算1a1111122 a2222333a333n 1n 1n1n 1 an 1n 1nnnnn an【知识点3】一行（列）展开，也就是求行列式的值分析：对于行列式求值的问题我们有递推降级法、拆分组合法、滚动相消法、加边法、哥级数变换法、逐行（列）相加（减）、利用特征值、利用降级公式、转化为已知行列式（如范德蒙行列式等），观察这个行列式的性质我们可以看出加边法会好一些解题:原行列式a1111122 a2222333 a3

25、331n 1n 1n 1 an 1n1D=1nnnnnn11111a1111122 a2222333 a3331n 1n 1n 1 an 1nnnnnn11nan1111111a1000020a2000300a300(n 1)000an 10n0000a na n精品文档1n区k 1 ak0a10a20a3=(1 +nK" ank 1 akan 10an易错点：对于这种nxn矩阵一定要根据特点选取适当的方法，这类题一般都有技巧不会让直接算得习题：求行列式2xa1a2 a1a1a22x a2a2an的值an4ana2ana2解答：这个题计算有些复杂我写出了他的过程xDn2a xaa22

26、x a2a3a2ana2a2a312a2xa/a2a32x a3ana3x2D2a12 na1 xxDn 12 n 1ai xa1aaa3aana3a2ana22 n 1a1 xa2a32x a3ana3x(xDna?ana3an2a12 na2 x2xan2)知识点4和知识点5在行列式计算的过程中都有体现,这两个知识点只是提供了求解行列式的一种方法弟二章线性方程组给定一个一般的 m n线性方程组，它有解、无解、有多少解，完全由其系数矩阵与增广矩阵的秩决 定，亦即由行列向量的线性关系所决定。此外，关于线性方程组的求解方法、解的结构的讨论，亦与线性 关系有关，因而线性相关性是线性方程组的理论基础

27、，因而我们的讨论就从这里开始。本章内容大的知识点一共一下两个1 .向量的线性相关性1) n维向量及其线性运算2)设1, 2 , n p,若方程组 x1x2 2xn n 0 ,在P中有非零解，则称1, 2, ,n线性相关，否则称它们线性无关。16攵'迎下载精品文档3）线性相关=0;线性无关，线性相关它们的对应分量成比例；，线性无关它们的对应分量不成比例4）设 iail,ai2, ,ain i 1,2,尸则 i, 2, , n 线性相关| Hj | 0； 1, 2, , n 线性无关aj05）部分相关，整体相关；整体无关，部分无关。6）设 iaii,ai2,且由（i 1,2, ,s） i

28、aii,ai2, ,ain,bii, ,bit （i 1,2, ,s）若1, 2, s线性无关，则 1, 2, s也线性无关。7）设 , 1, 2, mPn,存在k1,kmp,使k11k22% m，则称可由1, m线性表出（或线性表示）。设1, 2, m为向量组（I） ,1, 2, s为向量组（D），若组（I）中任一 i都可由组（n）线性表出，则称组（I）可由组（n）线性表出；若组（I）与组（n）可以互相线性 表出，则称组（I）与组（n）等价。若1, 2, , m线性无关，而 1, 2, , m,线性相关，则 可由1, 2, , m线性表示， 且表示法唯一。8）极大线性无关组，向量组的秩，两个

29、等价的向量组有相同的秩。2.线性方程组设给定了数域p上的一个m n线性方程组 AX b其中A为m行n列的矩阵，Xx2 ,xnb1bb2 。 AX 0为（AX b）导出方程组。bm1）非齐次线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩2）方程组若有解，则i ）当R A r<n时，有无穷多解；ii）当R A r = n时，有唯一解。3）齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵的秩小于未知量的个数，即R A <n。4）方程个数m与未知量个数n相等的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行 列式等于零。5）任何一个有非零解的齐次线性方程组必有基础解系，且

30、基础解系所含解的个数为n - R A即为自由未知量的个数。一定要会求已知齐次线性方程组的基础解系。6）若方程组有解，则的一个解与它的导出方程组的一个解的和是的一个解。的任意解 都可以写成的一个特解和的一个解的和。若1, 2,，一为AX 0的一个基础解系，则AX b的全部解可表示为0 k11k2 2kn r n r其中0为方程组的一个解。其中必须掌握的有以下几点 1.能够判断一组向量的线性相关性，给出一组向量可以求出他的最大线性无关组2.给出一个线性方程组能够判断它是否有解，有解的话有多少，并且能够求出它的解基础阶段，复习时间是从 5月份至8月份，需要掌握的知识点 2个，1.知道向量线性无关怎样

31、判断 2. 会求一般线性方程组的解。在复习每一个知识点的过程中，首先要了解知识点，通过复习教材并完成课后习题组了解本章主要包 括线性方程组解的判定和解的结构两部分。解的判定只需判断系数矩阵与增广矩阵秩的关系，另外，线性 方程组AX=b有解与b可由A的列向量线性表出。解的结构也完全由系数矩阵与增广矩阵的秩相关，此处 引入了极大线性无关组的概念，它有三层含义：首先是解，其次相互无关，另外任一组解可由它们线性表 出，这样进一步熟悉相应知识点，最后再通过本讲义如下内容对应的例题，从分析、解题、注意易错点到 完成老师布置的作业完成相应知识点的掌握过程。【知识点1】【例题1】设向量组1, 2, , r线性

32、无关，而1,少有一个可以被 1, 2, , r线性表示；或者向量组1,分析：这道题考察的就是向量线性无关与线性相关的定义 析一下就可以很容易证明了。解题：因为向量组1, 2, , r线性无关，而1, 2,k1,k2, ,kr,l,m 使得k1 1 k2 2 kr r l1, 2, r线性相关）故l与m至少有一个不为零。若l 0, m 0,则式变为k1 1 kr r l可由1, 2, r线性表示；若l 0, m 0同理可证可由1, 2, , r线性2, , r ,线性相关，试证：或者与至2, r ,与向量组1 , 2 , r ,等价。安定已将已知条件都用数学语言写出来分r ,线性相关，所以存在一

33、组不全为零的数m 0 其中l,m不全为零（否则k1k2kr口吐0这时 T 1 丁 之 T r即线性表示，可由1, 2, , r ,线性表示若l 0, m 0则由式知，可由1, 2,故向量组1, 2, r ,与向量组r ,可以互相线性表示，也即二者等价。易错点：一定要记清向量线性无关和等价的定义，把题目中的所有信息都用数学是自来表示然后再分析它们之间的关系。习题：设向量组n线性无关，试问向量组1是否线19发迎下载性相关？并证明你的结论。【知识点2】线性方程组b1b20,已知秩r <n（厦门大学）bm证明：（1）方程组AX1个线性无关的解2,(2)t1 1 t2 2n r 1是方程组AXb的

34、解,其中t1t2tn r 1）方程组AX b的任一解 可k1 1k2knk1 k2kn r 11。a11a12ana11a12a1nb1X1a21a22a2na21A 21a22a2nb2x2X2am1dm2amnam1am2amnbmxn分析:在线性方程组这一章里考察的内容基本就两个第一是判断方程组是否有解第二就是求方程组的基本解系所以一定要记清方程组有解的判定条件和基础解系的性质。解题：（1）因为秩A秩Ar <n ,所以方程组AXb有解，由秩A r<n可知AX 0 有 n r线性无关的解:n r显然n r线性无关。（否则，A 0b矛盾）。所以,+ n r亦线性无关。令i 1,2

35、, , n r1, 00可得i i1,2,1为AX b的n r 1个线性无关的解。n r 1tii 1i其中r 1ti1 ,由于Ai 1n r 1tiA ii 1n r 1tibi 1n r 1btibi 1(3)n r 1为AX b的n r 1个解且线性无关,1 , 31 , n r 11 为AX个解，并且容易验证它们是线性无关的所以AXb的任意解可表示为1k2k22k31 k33kn r 111k2 2kn r 1kn r 1n r 1令 t11 ki t2k2i 2n r 1,tn r 1« r 1 则 ti 1i 11ti1易错点：对于齐次方程组和非齐次方程组解之间的关系没弄

36、清。习题：证明：实系数线性方程组naijxjbi(D i 1,2,j 1,m有解的充分必要条件是属于 Rm的向b1,b2, ,bm与齐次线性方程组ajixj0i 1,2,门的解空间正交。第四章矩阵本章的知识点主要有一下1矩阵及其运算(1)矩阵的加法及性质设 A ajmn,Bbj mn规定其中C 苴中jj m n 八 十Cjaijbj i 1,2,.m, j 1,2,.,n加法适合以下性质:I)交换律A；II)结合律III)有零矩阵A；IV)有负矩阵A0；矩阵的减法：A(2)数乘矩阵及性质设 A aij mn，k为任意数kAkajmn, i1,2，,m, j1,2，n数乘矩阵适合以下性质:i)k

37、 A BkA kB;ii) k l AkA lA;(3)矩阵的乘法设 Aaijmn,Biii )k lAkl A;iv)1 A Abij n s规定AB cij其中naikbkj i 1,2,.,m, j1,2,.,s精品文档矩阵乘法适合的性质：i）结合律 AB C A BC2彼°迎下载ii）分配律A BC AB AC, B C A BA CA;iii ）有单位矩阵EmA A设A 为则它的伴随矩阵ij n n式。 一 *伴随矩阵适合的性质：i)AA、 *ii) A*n 1iii ) kA kn1A;iv)A |A ; v) An秩An*vi)秩 A1秩 A n 1; vii) AB0

38、秩 A n 1(2)逆矩阵及其性质设A 4 若存在n阶方阵B使AB ij n n性质：1 1,11 '1) A 1 A; ii) A A 1 ; iii) AB1 11iv ) kA A ;k11v)当A为可逆时A 1.Aiv) kA B A kB k AB矩阵乘法不适合交换律。一般 AB BA ;也不适合消去律即 AB 0, A 0不一定有B 0（4）矩阵的转置设 A ajmn 规定 A(bj)nm,其中 bjaji i1,2,m,j1,2,n转置矩阵适合的性质： '''1 ) A B A B ; ii) kA kA ; iii ) A A; iv) AB B

39、 A2 .可逆矩阵与逆矩阵(1) 伴随矩阵及其性质A11A21. AniA*A12A22.An24为州 中元素aj的代数余子.A1nA2n.Ann*A A |AE; *A ;An2A;B A;BA E,则A为可逆矩阵B是A的逆矩阵设为 A 1逆矩阵的1 B 1A 1其中A, B均为n阶可逆矩阵；精品文档;II）初等变换法.1（3.）求逆矩阵的两种方法：I）用公式A 1_AA3 .初等变换与初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 初等矩阵分为下面三种：Pi,j27迎下载初等矩阵均可逆,其中k0,P i, j k且逆矩阵是同一类型初等矩阵。矩阵Am n的等价标准形Er04 .分块矩

40、阵分块矩阵的运算常用的几种分块方法:i）列向量分法，即 A1, 2,，n其中i为的A列向量;ii）行向量分法，即1其中i为A的行向量;iii）分两块,即AA1, A2 ；或 AB1 .B2 ；精品文档C2C4A中一切不等于0的子式的最高阶数;A的行秩；A的列秩；八口八Ciiv)分四块，即A C3(3)分块矩阵的初等变换(4)分块矩阵求逆的方法5 .矩阵的秩设A 西 秩Aj m n秩A秩A矩阵的秩的有关几个结论：i)秩 A =秩(A );ii)秩kA =秩A ,其中k为非零常数；iii)秩A 秩Aiv)秩A B 秩A 秩B ;设A,B分别是n m与m s矩阵，则秩AB min秩A,秩B，初等变换

41、不改变矩阵的秩。6 .矩阵的分解(1)矩阵的和分解(2)矩阵的积分解。7 . 一些常见的矩阵名称记号定义性质零矩阵000 mnA 0 A,0 A 0负矩阵 A若Aaj则 AajAA 0A A单位矩阵E11 E1 nnEA AE A数乘次邱车EkkkEkkEk n nkE IE k l EkE IE klEkE n knE,k 011(kE) 1 k 1E(k 0)名称记号定义性质对角阵DdiDd2dn又记 diagdi d2, ,dn.Ddid2 dn.di Q D可逆,且D iiiidiagdi ,d2 , ,dn DA AD (di aj)上（下）三角阵aii ai2ainAa22a2nA

42、annA/为卜二角阵A, B为上（下）三角阵，则 A BiAB,kA,A1均为上（下）三角阵。A aiia22 ann对称阵A/AA, B为对称阵，则 A B, AB仍为对称阵反对称阵A/AA, B为反对称阵，则A B,AB仍为反对称阵奇数阶反对称矩阵行列式为0嘉等阵A2A若A E,A为奇异阵哥零阵Ak 0A为奇异阵，A E为非奇异阵哥幺阵（对合 阵）AkEA为非奇异阵且A i Ak i伴随矩阵AAiA2iAiA2A22An2AAinA2nAnna1 半 a |Ani正交矩阵满足AA/ A/A E或A i A/的矩阵.i * ,一A为正交矩阵，则A , A也是正交阵，向阶正交矩阵之积仍为止交矩

43、阵IA i酉矩阵一/一/满足A A AA E或i/A i A的矩阵- i _ * ， 一 一，一 A为酉矩阵，则 A , A也是酉矩阵。同阶酉矩阵之积仍为酉矩阵，酉矩阵 的特征根之模为i4.分块其中必须掌握的有5个分别是1.矩阵及其运算2.可逆矩阵与逆矩阵3.初等变换与初等矩阵29欠0迎下载矩阵5.矩阵的秩基础阶段，复习时间是从5月份至8月份，需要掌握的知识点 4个，1.矩阵及其运算2.可逆矩阵与逆矩阵3.初等变换与初等矩阵4.矩阵的秩【知识点1】矩阵及其运算1【例1】当A23"2"3-212时，A6 E ,求 A11分析：对于矩阵的运算在考研中不会出题但是它是解决其它问题

44、的基础，所以一定要会算。解答：A11EA 1 A 1易错点：很多情况都是要计算一个比较复杂哥次很高的矩阵这就需要我们根据它自身的特点看看能不能简 化一下，如果直接算往往是得不到结果的。习题：矩B*A 3 4 2,已知矩阵B与A满足关系式 AB=A+B试求B【知识点2】可逆矩阵与逆矩阵【例2】已知矩阵A且A32E, B A2 2A 2E,试证B是可逆矩阵，并求 B 1分析：这类让证明矩阵可逆的题目方法有两个1.利用定义来证明2.证明行列式彳1不等于 0这一题用定义不是很好证所以我们考虑用第2种方法。3 2_A 2E B A 2A 2EA3A22A A A2 A2E A AA 2E又由A32E 知

45、 A3由 10E 2e 8EA3A3 8E2E2EA20,2A两边取行列式得 A 2E从而B 1 A 2EA3E A0故B可逆。1A2A2E A22E 1A2102A4EA2 A E-A2102A 4EA2A E*10A23A 4EE为四阶单位矩易错点：关键是要选对方法在观察题目用定义不好证明的时候要学会去寻找别的途径。练习：设 A为主对角线元素为 0的四阶实对称可逆矩阵精品文档0阵，B1k 0,l0kl(i)试计算E AB,并指出A中元素满足什么条件时，E AB为可逆矩阵(ii) 当E AB可逆时，试证明(E AB) 1A为对称矩阵【知识点3】初等变换和初等矩阵【例3】试将下面两个可逆矩阵化为初等矩阵的乘积:分析：对于化成初等矩阵的题目我们首先是按初等变换把该矩阵化成单位矩阵 解答：用初等矩阵把A化为单位矩阵.即A47(1,2)122,1(2)1247121,2(2)1001012( 1)2欲拟下载所以 P2( 1) P1,2(2) p2,1( 4) p1,2A E0 110 110 4 10A P1,2 1 P2,1( 4) 1 P1,2(2) 1 P2( 1)P1,2 P2,1(4) P1,2( 2) P2( 1)类似的可得0103100101010010010 0 1 0 0 1 0 0【知识点4】分块矩阵【例3】