第一章第三节半导体中电子的运动有效质量

1、1.3 半导体中电子的运动半导体中电子的运动 有效质量有效质量本节主要内容本节主要内容1、半导体中、半导体中E(k)与与k的关系的关系2、半导体中电子的平均速度、半导体中电子的平均速度3、半导体中的电子加速度、半导体中的电子加速度4、有效质量的意义、有效质量的意义u 半导体中电子的状态和能带半导体中电子的状态和能带第二节中：第二节中：电子能量在布里渊区边电子能量在布里渊区边界不连续。界不连续。u 导体、半导体、绝缘体的能带导体、半导体、绝缘体的能带绝缘体和半导体绝缘体和半导体：温度：温度为为0K时，下面是已被电时，下面是已被电子占满的满带，也称价子占满的满带，也称价带。中间是禁带，上面带。中间

2、是禁带，上面是空带。是空带。金属金属：上面是被电子：上面是被电子部分占据的能带。部分占据的能带。u 波矢波矢k是描述电子运动状态的量是描述电子运动状态的量E(k)这一节，从这一节，从E(k)出发，得出半导体中电子的平均速度，以及在出发，得出半导体中电子的平均速度，以及在电场作用下，电子的加速度，并引入有效质量概念。电场作用下，电子的加速度，并引入有效质量概念。1、半导体中、半导体中E(k)与与k的关系的关系对半导体而言，起作用的是能带底部或能带顶部的电子。对半导体而言，起作用的是能带底部或能带顶部的电子。在在k=0附近，将附近，将E(k)泰勒展开泰勒展开222001( )(0)2!kkdEd

3、EE kEkkdkdkk=0是是E(k)的极值点，的极值点，00kdEdk22201( )(0)2!kd EE kEkdk令令 222011nkd Ehdkm 22nkE kEm2h-0 =mn*-电子有效质量电子有效质量由上式可以见到：由上式可以见到： (1)对于能带顶的情形，由于对于能带顶的情形，由于E(k)E(0)，故，故mn*E(0)，故，故mn*0。引入有效质量后，如果得出引入有效质量后，如果得出mn*，则，则 关系就确定了。关系就确定了。 E kkmn* - k关系关系kmn222011nkd Ehdkm2 2、半导体中电子的平均速度、半导体中电子的平均速度自由电子：自由电子： 2

4、202h kEm20dEh kdkm02m dEkhdk0hkVm将将k代入得代入得1 dEVh dk半导体中电子：平均速度半导体中电子：平均速度波包的群速。根据量子力学理论，波包的群速。根据量子力学理论，设波包由许多频率设波包由许多频率 相差不多的波组成，则波包中心的运动速相差不多的波组成，则波包中心的运动速度即群速为度即群速为dvdk根据波粒二象性，根据波粒二象性，EhdEhd代入上式得代入上式得1 dEvh dk11.JmmsJ s量纲量纲 22nkE kEm2h-0 =将将代入上式得能带极值附近电子的速度代入上式得能带极值附近电子的速度nhkvm在能带极值附近的在能带极值附近的v(k)

5、- k关系关系:k=0附近呈线性关系附近呈线性关系 v kvk 3、半导体中电子的加速度、半导体中电子的加速度当有强度为当有强度为 的外电场时：的外电场时：fq dt时间内，电子位移时间内，电子位移ds 1 31dEdEdkdEfdsf dtfdtdkfhhdkdkdtv意义：在外力意义：在外力f作用下，电子的波矢作用下，电子的波矢k不断改变，其变化率与外不断改变，其变化率与外力成正比。力成正比。 加速度：加速度： 222221111dddkdtdkdtdd Edkd EadthdtdkhdvdEdEdkhhdkhdkdtk1 dEvh dk22211nd Eh dkm令令则有则有 1nafm

6、，即，即 (1-34) nfm a说明：引进有效质量后，半导体中电子所受的力与加速度的关说明：引进有效质量后，半导体中电子所受的力与加速度的关系和牛顿第二运动定律形式相似。系和牛顿第二运动定律形式相似。4 4、有效质量的意义、有效质量的意义(1) 讨论：有效质量概括了半导体内部势场的作用。讨论：有效质量概括了半导体内部势场的作用。对于对于 nfm a1) 1) 加速度加速度a a应是内部势场和外电场作用的综合结果应是内部势场和外电场作用的综合结果2) f2) f只是外电场对电子的作用力只是外电场对电子的作用力3) 3) 内部势场对电子的作用效果概括在有效质量内部势场对电子的作用效果概括在有效质

7、量 中。中。nm结论：引进有效质量的意义在于，它概括了半导体内部势场的作结论：引进有效质量的意义在于，它概括了半导体内部势场的作用，使得在解决半导体电子在外力作用下的运动规律时，可以不用，使得在解决半导体电子在外力作用下的运动规律时，可以不涉及到半导体内部势场的作用。有效质量可以测量涉及到半导体内部势场的作用。有效质量可以测量 (2) 有效质量可以小于零，参图有效质量可以小于零，参图1-14 上：第一布里渊区的上：第一布里渊区的E(k)中：中：下：下： *1ndEhkv kh dkm2*2211nd Emhdk带底带底 0nm带顶带顶 0nm概括了半导体内部概括了半导体内部的势场作用的势场作用

8、 (3) 窄带和宽带的有效质量窄带和宽带的有效质量 有效质量与有效质量与E对对k的的二次微商成反比二次微商成反比曲率公式曲率公式22211nd Emhdk3 21yky窄带：内层电子，窄带：内层电子，E(kE(k) )曲线的曲率小，曲线的曲率小，E E对对k k的二次微商小，有效的二次微商小，有效质量大；质量大；宽带：外层电子，宽带：外层电子，E(kE(k) )曲线的曲率大，曲线的曲率大，E E对对k k的二次微商大，有效的二次微商大，有效质量小，在外电场作用下，容易获得加速度，对导电的贡献大。质量小，在外电场作用下，容易获得加速度，对导电的贡献大。 补充练习：补充练习：已知一维晶体的电子能带

9、可写成已知一维晶体的电子能带可写成2271( )coscos288E kkakama式中式中a是晶格常数。试求：是晶格常数。试求：(1)能带的宽度能带的宽度(2)电子在波矢电子在波矢k状态时的速度。状态时的速度。(1) 能带宽度能带宽度2211sinsin2sin1cos42dEkakakakadkmama2221coscos22d Ekakamdk能量极值由能量极值由dE/dk=0决定。由于决定。由于11cos02ka必有必有sin0ka ，即极值出现在，即极值出现在,0, 1,.knna如果把如果把k值限制在第一布里渊区，则根据值限制在第一布里渊区，则根据可知可知220,0d Ekdk即对应能量的极小值为即对应能量的极小值为 min0