线性代数历年考研试题之选择题(更新)

1、、选择题、I - 、.一、 I,. 一 一 一 .一一. z n _ 1_ 一*1.(1987 I , 口)设A为n阶万阵，且A的行列式 A =a# 0,而A是A的伴随矩阵，则A 等于(c )1 n 1n(A) a. (B). (C) an.(D) an.【考点】伴随矩阵的性质.*n 1解 A =| A .2.(1987 iv, v )假设A是n阶方阵，其秩r < n,那么在A的n个行向量中()(A)必有r个行向量线性无关.(B)任意r个行向量线性无关.(C)任意r个行向量都构成最大线性无关向量组 .(D)任何一个行向量都可以由其他r个行向量线性表出.【考点】矩阵的秩，向量组的线性相关性

2、及向量组的最大无关组.解 R(A) = r < n = A的行秩=r < n = A的行向量组的最大无关组含r个行向量.选(A).3.(1988 I , U)n维向量组,口2,III,1Ms(3WsEn)线性无关的充分必要条件是( d )(A)存在一组不全为零的数 ki,k2,l11ks，使+k2a2+l1|ksas #0.(B) ：1, ：-2JH,：s中任意两个向量都线性无关.(C)ct1,a2,|,o(s中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出(D) M，:-2，HI，: s中任意一个向量都不能用其余向量线性表出【考点】向量组线性相关的性质解向量组线性相关的充分必要条件是至少

3、有一个向量可由其余向量线性表示”的逆否命题是(D).X(A):存在”改为“任意”就正确，中任意两个向量都线性无关，但线性相关.X(C): ：-1=10= £ L%不能由u2,u3线性表示，但a1,a2,a3线性相关.4.(1989 I , 口，iv, V)设A是n阶方阵，且A的行列式 A=0,则人中()(A)必有一列元素全为零.(B)必有两列元素对应成比例.(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合.(D)任一列向量是其余列向量的线性组合.【考点】向量组线性相关的判别定理.解 A=0u R(A)<n= A的列(或行)秩<n= A的歹U (或行)向量组线性相关.选(C).5.

4、(1989iv)设A和B均为nn矩阵，则必有()(A) A + B = A + B .(B) AB =BA.(C) AB| = BA .(D) (A +B)=A+ B.【考点】矩阵的性质.解 AB =| A 阳 B艇(C).6 .(1989 V )设n元齐次线性方程组 Ax = 0的系数矩阵 A的秩为r,则Ax = 0有非零解的充分必 要条件是()(A) r = n.(B) r ：二 n.(C)r - n.(D) r - n.【考点】齐次线性方程组解的理论.解 齐次线性方程组 Am>nXnM =0m>1有非零解的充分必要条件是R(A)<n.选(B).7 .(1990 I ,

5、口)已知P1, P2是非齐次线性方程组 Ax = b的两个不同的解，a1 ,a2是对应齐次线性方程组Ax =0的基础解系，k1,k2为任意常数，则方程组Ax =b的通解(一般解)必是(),、！，2. 一x -I - ：2(A) kr i k2(: 1: 2) - .(B)kr i k2(: 1 - : 2).22P _PP +P(C) kr1 - k2( 11:2)12.(D) k1 , k2( ：1 -：2) , 12 .22【考点】非齐次线性方程组解的结构.解 %, % a线性无关且为对应齐次线性方程组的解，故a1，ct 1 a 2是对应齐次线性方程组一1 F A F A FAx = 0的

6、基础解系；又庆12=12=b，故12为Ax = b的一个特解；由非齐次线222性方程组解的结构，知选(B).P -PX(A): -2 为 Ax = 0 的解.21 ；：2x(C): P1 + 口2为 Ax =2b 的解，且 12 为 Ax = 0 的解.2X(D): a1, P1 P2不一定线性无关.8.(1990 IV , V)向量组口1,口2,111°%线性无关的充分条件是()(A) a1,a2,ll 1as均不为零向量.(B) 1, 2,l 11cs任意两个向量的分量不成比例.(C)a1,a2,m,c<s中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示.(D)«1

7、,«2,lll,«s中有一部分向量线性无关【考点】向量组线性无关的性质解 向量组o(1,a2,H|, 0ts线性无关的充分必要条件是a1,a2,|,0ts中任意一个向量均不能由其余s1个向量线性表示.选(C).X(A):如 a1X(B):如 g I,a3 = ' 均不为零向量，但覆1,a2,汽3线性相关.X(D):如。10-中a1线性无关.9.(1990 V )设A是n阶可逆矩阵-* , A是A的伴随矩阵，则(.*(A) A一*(B) AA .(C) A = A .一 *(D) AA-中任意两个向量的分量不成比例参考 1.(1987 I , 口).选(A).10.(

8、1991 i , 口)设n阶方阵A,B,C满足关系式ABC = E ,其中E是n阶单位阵,则必有()(A) ACB = E .(B) CBA = E .(C) BAC = E .(D) BCA = E .【考点】可逆矩阵的判别定理之推论.解由E =ABC = A(BC)知BC是A的逆矩阵选(D).*11.(1991 iv)设A为n阶可逆矩阵,九是A的一个特征值,则A的伴随矩阵 A的特征值之一是( )(A)九。An. (B)九,A . (C)九 A. (D)九|An.【考点】特征值的性质.解选(B).Ax=Kx=A(Ax)=A(碗=Ax"(Ax)= AxJ12.(1991 v )设A,

9、 B为n阶方阵，满足等式人8=。,则必有( )(a)A = 0 或 B=O.(b)A + B=0.(C)A=O 或 B=O.(D)A+B=O.【考点】矩阵的性质.解 选(C).AB=O= AB|=0= |A B =0.13.(1991 v)设A是m><n矩阵, Ax =0是非齐次线性方程组 Ax = b所对应的齐次线性方程组，则 下列结论正确的是()(A)若Ax = 0仅有零解，则Ax = b有唯一解.(B)若Ax =0有非零解，则Ax =b有无穷多个解.(C)若Ax = b有无穷多个解，则Ax = 0仅有零解.(D)若Ax =b有无穷多个解，则Ax = 0有非零解.【考点】非齐次

10、线性方程组解的理论.解 选(D). Ax =b有无穷多个解=R(A) = R(B)<n= R(A)<n= Ax = 0有非零解.x1x2 = 0x1x2 =0x(A)：如x x1 +2x2 =0仅有零解，但x1 +2x2 =0无解.x1x2 = 0x1x2 = 1x1 x2 = 0X(B):如 i2x1 2x2 = 0x1 x2 = 0有非零解，但* 1无解.2x1 2x2 = 2x(C)： Ax =b有无穷多个解，则Ax =0有非零解.14.(1992 I , n )要使】=一110 ,：2-0 11 都是线性方程组 Ax = 0的解-1J，只要系数矩阵A为11-2 rL勺2 o

11、_B-1-10 2(C) I|0 1-0(D) 4：0-2-1 I-2 .【考点】齐次线性方程组解向量的定义 解选(A).【注意】只需验证a。，。=。.15.(1992 iv)设A为mn矩阵，齐次线性方程组 Ax =0仅有零解的充分条件是(A) A的列向量线性无关.(B)(C) A的行向量线性无关.(D)【考点】齐次线性方程组解的理论A的列向量线性相关.A的行向量线性相关.，矩阵的秩及向量组的线性相关性解 Ax=0仅有零解u R(A)=n u A的列秩=n u A的列向量线性无关.选(A).16.(1992V)设A,B,A + B, A4+B，均为n阶可逆矩阵，则(A,+ B)等于(A) A4

12、 - B4.(B)A B.(C)A(A B)B.(D)(A B).【考点】逆矩阵的性质.解 选(C).(A(A B)B)二 B(A B)A4=(AB， E)A-1 ; A-1 B-1.或1(A B )A(A B) B =(E B A)(A B) B=B (A B)(A B) B = E.17.(1992 V)设“1,0(2,111,1Mm均为n维向量，那么，下列结论正确的是(A) 若 kiCti +k2a2 +IH +km&m =0 ,则 02,111 ,0fm 线性相关.(B)若对任意一组不全为零的数ki,k2,|,km ,都有kiCti十k以2111 +km<Xm #0 ,则

13、Ul'UzJILSm线性无关.(C)若0tl, 口2,111 ,um线性相关，则对任意一组不全为零的数 k1，k2,111 ,km，都有ki i k2： 2 HI km： m =0.(D)若 0 3 +0 M2 IH 0 ：m=0,则ai,a21|l,am线性无关.【考点】向量组线性相(无)关的定义.解选(B).由线性相关定义的逆否命题可得.1 2 318.(1993I , 口)已知Q = 2 4 t下为3阶非零矩阵，且满足PQ=OMU ()3 6 9_(A) t =6时P的秩必为1.(B)t=6时P的秩必为2.(C)t#6时P的秩必为1.(D)t06时P的秩必为2.【考点】矩阵的秩及

14、其性质.解 P Q = O= R P R Q _ 3= 1 M R( P)< 3- R( Q当 t =6时，R(Q) =1= 1ER(P)E2n R(P) = 1 或 2,则(A)和(B)都错；当 t #6时，R(Q) = 2=1 <R(P) M1= R(P) =1 .选(C).【注】 Am梏Bs殉=0= R(A)+R(B)Ws.Am>sBs殉=0,则B的列向量组为Am送Xs>n =。的解向量.19 .(1993 -IV) n阶方阵A具有n个不同的特征值是 A与对角阵相似的()(A)充分必要条件.(B) 充分而非必要条件.(C)必要而非充分条件.(D)既非充分也非必要条

15、件.【考点】矩阵能对角化的判别定理(充分条件).解选(B).20 .(1993 V )若0tl ,4，, P1，P2都是四维列向量，且4阶行列式1alp2P 3,医=m,%，%,% =n,则4阶行列式 区,%,%44+久)等于()(A) m n.(B) -(m n).(C) n - m.(D) m - n.【考点】矩阵的运算及行列式的性质.解选(C). %,%,%,(，+£)1=1%,%4, 3臼%产2,%,支=-a 1, a 2,。3 ,P1 +口1,口2,2,口3 = n - m.121.(1993 V)设九=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵(一A2)有一特征值等于()3(A

16、) 4. (B)-. (C)1 . (D)1 .3424【考点】特征值的性质.191 9413解 A有一特征值一人=，则(一A ),有一特征值一.选(B).3333422.(1994 I , 口)已知向量组0(1,0，口3，口4线性无关，则向量组()(A) «1 +«2,«2 +«3,«3 +4,4 十a1 线性无关.(B) a _02/2 仪3,仪3 仪4,仪4 仪1线性无关.(C)«1 +«2,«2 +«3,«3 +Cf4,«4 f 线性无关.(D)«1 +口2,豆2 十

17、口3,口3 -«4,«4 -«1 线性无关.【考点】判别向量组线性相(无)关的方法.解 X(A):(：1： 2) (：3 - ： 4)二(二 2: 3)(二 4: 1),则四十口2,62十口3,口3 +C(4,a4 +a1线性相关.对(B):(二 1 )(二2 -二 3) 一(二 3 - 二 4) -(二 4 -11),则叫-«2,«2 -«3,«3 -«4,«4 一仪1线性相关.X(D):(：1： 2)4： 23)二-(二3-14)-(二4-11),则叫 +«2,«2 +«

18、3,«3 -a4,a4 一口1 线性相关.故选(C).或X(A):10 0 1110 0%+%,% +%尸3 +34尸4 +% =%,3243p4,0 1109 0 11110 0 1110 0|0 1 1 0_0 0 1 1_1001010-1|0011_0000 _二.)=3 ：二颂：1 ' ： 2,：-2 - ： 3,： 3 - ： 4,： 4 ：1所以 R(«1 +«2, 口2十 口3, «3+ *4 口4+ 线性相关.同理可讨论(B),(C),(D).【注意】判别向量组线性相(无)关的常见方法如下(1)用定义：一般对抽象的向量组.理论卞

19、g据：n维向量组0(1,0(2,111,am线性相(无)关u 齐次线性方程组 卬1十x20t2+IM+xmam = 0有非零解(只有零解).(2)用向量组的秩：对具体的向量组直接求秩；对抽象的向量组用矩阵的秩的性质推导出来.理论卞g据：向量组叫，ct2MLsm线性相(无)关仁 R(A) <m(R(A) = m).(3)用相关理论推导.(4)特殊情形：若向量组?1,?2,|, Pm可由豆192,川,线性表示，且1alp2,1m,10fm线性无关时，设：1；2lm J l-1,：-2JH,- mlK则向量组P1,p2,IH,Pm线性相(无)关U R(K)<m(R(K) = m).23.

20、(1994 -IV )设A是mn矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r,矩阵B = AC的秩为r1, 则()(A) r > r1. (B) r <r. (C) r = r1. (D) r 与 r,的关系依 C 而定.【考点】矩阵秩的性质.解r1 = R(均=R AC= R A=选rC).【注】设P,Q为可逆矩阵，则R(A) = R(PA) = R(AQ) = R(PAQ).24.(1994 V)设A, B都是n阶非零矩阵，且AB =0,则A和B的秩()(A)必有一个等于零.(B)都小于n. (C) 一个小于n, 一个等于n. (D)都等于n.【考点】矩阵秩的性质.解 AB= 0=

21、R A+ R BW %R(A)之 1,R(B)，(A=0,B#0),则R(A)：二 n, R(B)：二 n.选(B).25.(1994 V)设有向量组必=(1,1,2,4), % =(0,3,1,2), % =(3,0,7,14),0(4 =(1,-2,2,0), «5 =(2,1,5,10),则该向量组的最大线性无关组是()1.1,1,： 4,： 5.(A) ：1, ： 2, ： 3. (B)：1, ：- 2, 44 . (C)：- 1, ：- 2, ：- 5. (D)【考点】具体向量组的最大线性无关组的求法解 A =：；,：,；,：,；,：； =1-1120 33 01 72 1

22、41 2-2 12 50 101 0 30 1 1|0 0 0_0 0 01 20 1-1 00 0则向量组的最大线性无关组是ot1,a2,a4 .选(B).【注意】(1)初等巨变换保持矩阵的行包堇组等价，保持矩阵的现胞量组的线性相关性不变(2)初等烈变换保持矩阵的列回量组等价，保持矩阵的彳亚量组的线性相关性不变26.(1995 I , 口)设%a12a13 'a21a22a23010、A =a21a22a23,B =a11a12a13,P =100031a32a33 )© 十a11a32 +a12a33 + a13 /100b。0 0、P2 = 010<1 0L则必有

23、()(A)ARP2 = B.(B)AP2R = B.(C)PP2A = B.(D)P2PA = B.【考点】初等变换与初等矩阵的关系.解 B可将A的第一行加到第三行，再将A的第一行与第二行交换得到.故选(C).【注】在矩阵的左(右)边乘以一个初等矩阵，相当于对矩阵作相应的初等行(列)变换.27.(1995 IV , V)设矩阵Am坨的秩为R(A) = m < n,1m为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是()(A) A的任意 m个列向量必线性无关.(B) A的任意一个 m阶子式不等于零.(C)若矩阵B满足BA = 0,则B =0 .(D) A通过初等行变换，必可以化为(I m O )的形式.

24、【考点】向量组线性无关的判别，矩阵秩的定义及矩阵的行阶梯形和标准形.解 选(C). BA=0= ATBT =O .由R(AT) = m,则齐次线性方程组 ATx = O只有零解，即BT的列向量全为零，故BT = O =, B -O .28.(1995V)设n维行向量 011TT_二。|,0,万)，矩阵 A = I a a , B = I + 2a 久，其中 I 为n阶单位矩阵，则AB等于()(A)0.(B) -I .(C) I .(D) I【考点】矩阵的运算.解选(C).(A) a1a2a3a4 - bb2b3b4.(B) a)a2O3a4bib2b3b4.(C)(a1a2 -MXa3a4 -

25、b3b4).(D)(a2a3 -b2b3)(a1a4 -bK).&00bi0a2b200b3a30b400a429.(1996 I , II )四阶行列式的值等于()【考点】行列式的计算.解 选(D).将行列式按第一行展开. . * 30.(1996IV ,V)设n阶矩阵A非奇异，A是A的伴随矩阵，则()(A) (A ) = An1 An11(B) (A )= A A(C)(A ) = AT A.n -2(D)(A ) = A A.【考点】矩阵运算的性质.1，一、解选(C). A = A A = (A )=A (A)111=A A (A A )An 11n A A AA= An 22.

26、A.31.(1996 IV ,V)设有任意两个n维向量组 a1,|l,|Mm和P1,|l,Pm，若存在两组不全为的数XJ|,M 和 k1*l,km，使(11 1)1 IH ( m km)： m(1 - 3 ：1 川(m - km) m =0 则()(A)%川1,4和?1,|, /都线性相关.0)%*|,%和B1MI, Bm都线性无关.(C)%+B1，M«m+BmP1 邛1，1"，4-以线性无关.(D)% +Q,川,% +Bm,% 邛1,|% -/线性相关.【考点】向量组线性相(无)关的定义.解由(% +3%+HI十& +km)CCm +4匕用十川+ (%kjBm =

27、0,得,(1，：1)，|，,m(。,： m)，(1 - ：1)，I”，kmC m - ：m) = O, 所以。1 +K, lIRm +Pm,四，i,|,C(m -线性相关选(D).aibiCi32.(1997 I )设 / =a2 ,口2 = b2，口3 = C2，则三条直线 :a3 jJb3 j jax+by+g =0(i =1,2,3)(其中 ai2 +b2 ¥0,i =1,2,3)交于一点的充分必要条件()(A) 0(1,6 2,0(3线性相关., , ,(B)% ,ct2 ,a3线性无关.I , 2 , 3(C)秩 R(a1,a2,a3)二秩 R(a1,o(2) .(D) %

28、,%,% 线性相关，a口？线性无关.【考点】齐次线性方程组解的理论.解三条直线交于一点的充分必要条件是线性方程组a1x b1y g =0a2x b2y c2 = 0a3x b3y C3 =0有惟一解二 R(: 1,1 2)= RG i 2, t 3) =20(%,4) =2u 0tl,口2线性无关；¥(%,%,-c(3) =2u Rg,%,%) =2U %,%,一线性相关.33.(1997 HI , IV)设向量组覆1,0(2,0(3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是()网：1 . ：2,：2 - ：-3,：3 -M(B)、 ：-2,?2 ' ：'3,?1 

29、9; 2 23(C)M 2-2,2、2 3),3.二 1(D) M .二 2二3,2、-3%. 22 3,3 1 51 2 一5二 3解 参考 22.(1994I , 口).选(C).34.(1997W)设A,B为同阶可逆矩阵，则()(A)AB=BA(B)存在可逆阵 P ,使 P，AP = B(C)存在可逆阵C ,使C AC = B(D)存在可逆阵P和Q ,使PAQ = B【考点】矩阵等价，合同,相似的判别.解 A, B为同阶可逆矩阵，则A, B都与同阶的单位矩阵等价，从而A,B等价.故选(D).【注意】两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等.如果不是同型矩阵，则必要性不成立.35.(i

30、997 IV )非齐次线性方程组 Ax = b中未知量个数为 n ,方程个数为 m,系数矩阵A的秩为r, 则()(A) r = m时,方程组Ax = b有解.(B) r = n时,方程组Ax =b有惟一解.(C) m = n时,方程组Ax =b有惟一解.(D) r < n时方程组Ax = b有无穷多解.【考点】线性方程组解的理论.解 选(A). m =R(A) m R(B) Mm= R(A) = R(B) = m.ai36.(i998 I )设矩阵 a2biCi33b2 b3C2是满秩的则直线x- a3a1 a2y -b1一b _ b2z-cC与直线C2x-q y - bziCa2 -

31、a3b2 - b3c2- c3(C)平行但不重合.(D)异面.(A)相交于一点.(B)重合.【考点】空间两条直线位置的判别解设 P = (ai, b),G), Q = (a3 ,b3, c3),§ 二(a -a2,t -b2，c1 一C2),S2 =(a2 -23也-b3G -C3).由Si,S2,QPa2 b2:a3 b3ai -a2a2 一 a3a3 - aiC2 tb1 - b? j - C2b2 - b3 C2 - C3b3 - bi C3 - Cia2 - a3C3 j- a3bi -b2b2 - b3b3=0= 8bs2,QP共面,则两直线共面Ci -C2C2 -C3 ,

32、C3.又则G, S2不平行，即两直线不平行.选(A).37.(1998一口)设A是任一 n(n>3)阶方阵一* .一 一,A是其伴F1矩阵，又k为常数，且k # 0,±i，则必有*(kA)=()*n -i *n *-i *(A) kA .(B) k A .(C)k A .(D) k A .：22X3 = 0：2 + X3 = 0的系数矩阵记为 A .若存在三阶矩阵 B # 0 .x3 = 0九=2 且 B # 0 .九=1且B 0 0.1论.解=|A = 0=九=1.若 B =0,由 AB =0得 A = 0 ,1aaHIaa1aHIaaa1IIIa ，如果矩阵 A的秩为n1,

33、则a必为+44F+4riG+11Faaa|l1(D).n T1, ,.当a =1时，显然R(A) = 1 .故选(B).1 - n；a, P, 6线性相关，则()【考点】伴随矩阵的定义.*. n 1 . *解 (kA) = k A (由伴随矩阵的定义得到).选(B).或由(kA)(kA)* = kAE=knAE = knAA* = (kA)(knA*)看出.1工区】38.(1998 m )齐次线性方程组 ，x1 +4Xi + X2使得 AB=0()(A)九=2 且 B = 0.(B)(C) K =1 且 B| =0.(D)【考点】矩阵的性质，齐次线性方程组解的孑解 AB=0,B=0= Ax=0

34、T 非零 矛盾.故选(C).I39 .(1998W )设 n(n 之 3)阶矩阵 A =I()(A)1.六.(O -1 .【考点】含参数的矩阵的秩的讨论.解 R( A) < n=A = 0 = a =我40 .(1998 IV )若向量组, P , 丁线性无关(A)a必可由B,y,6线性表示.(B) B必不可由a ,?力线性表示(C) 6必可由a , P, 7线性表示.(D) 6必不可由a , P, /线性表示.【考点】向量组线性相(无)关的性质.解 巴 P, 7线性无关，有巴 P线性无关；又a,P,6线性相关，得6必可由线性表示，也必可由% % ?线性表示.选(C).41.(1999

35、I )设A是m父n矩阵，B是n父m矩阵，则()(A)当m>n时，必有行列式AB #0.(B)当m>n时必有行列式AB=0.(C)当n > m时，必有行列式AB # 0.(D)当n > m时必有行列式AB = 0.【考点】矩阵秩的性质.解 R( A B) < m i n RA )RB-)m im.n(B).f (x)，则方程f (x) = 0的根的个数为42.(1999 n )记行列式x-2x -1x-2x-32x-22x-12x-22x-33x-33x-24x -53x-54x4x-35x-74x -3)(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.【考点】行列式的计算

36、.r1工2 r<( -x) 解 f (x)=43.(1999 m ,2x-22x-12x-22x33x-33x-24x -53x -5= 5x(x1).选(B).4x4x-35x -74x-3IV )设向量向量组a1,a2,IH,am线性表示，但不能由向量组(I):%,磔2,川，1am工线性表示北向量组(口):31,吃,川,明,，日，则()(A) am不能由(i )线性表示，也不能由(口)线性表示.(B) 0cm不能由(I )线性表示，但可由(口)线性表示.(C)汽m可由(I )线性表示 也可由(口)线性表示.(D) "m可由(I )线性表示，但不可由(口)线性表示.【考点】向

37、量组的线性表示的定义及其判别 .解 方法一：若m可由(I )线性表示，则R( 1, 2, Hl =")=RG2,W,： m" m)R(：1,： 2, Hl 二 m"m,，= R(W 川,、一)与P不能由ajfJILam线性表示，矛盾，则um不能由(I )线性表示.故(C),(D)错.且R(：1,： 2,IIL : m4,： m) =R(：1,： 2,lH,： m。1,由P不能由巴 ,口2 J M,0tm口线性表示，则R（： 1,二 2, HL： m，）=R（二.2/11,二 m二）1.所以R( 1, 2, IH，1 mJ：) R(：-l，：-2，H|，：mJ1，：

38、m)=R('，1，,，2 , I L ,，m _1,，m , - ) = R(-，1 ,'，2 , I H ,'，m，-,*m )，则0tm可由a1,a2,|,amJL, P线性表示.故选(B).方法二：P可由向量组 3,a2, UI, am线性表示 若otm可由口1,口2,1 II,0f m线性表示，则P可由向 量组aL,a2,| |, am线性表示，矛盾.故(C),(D)错.P可由向量组久1,0(2,”|,0线性表示，则存在一组数ki,“|,km，km,使得:=kl> III - kmu m- km： m，其中0 . km = 0 P可由向量组ai«

39、2,IH,«mJ线性表示，矛盾.汽m可由口 1 ,口 2,口 ,豆m，P线性表示.故(A)错.选(B).44.(1999 m )设A, B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则()(A) E - A = E - B .(B) A与B有相同的特征值和特征向量.(C) A与B都相似于一个对角矩阵.(D)对任意常数t ,tE A与tE - B相似.【考点】矩阵相似的性质.解 选(D). A与B相似，存在可逆矩阵P ,使得P,AP = B，则tE -B KE-P】AP=P(tE)P-P,AP=P(tE-A)P, 即tE A与tE B相似.XA)： EA=EB= A=B.X(B)： A

40、与B相似，则A与B有相同的特征值，但特征向量不一定相同.x(C)： A与B不一定能对角化.45.(2000 I )n维列向量组a1Mlpm(m <n)线性无关，则n维列向量组P1MLpm线性无关的充分必要条件为()(A)向量组CJILctm可由向量组P1,|j|,Pm线性表示.(B)向量组p1|l,Bm可由向量组口1, HI,1Mm线性表示.(C)向量组0tl,|pm与向量组3,用,“等价.(D)矩阵 A=(ai,|,c(m)与矩阵 B =(B1川 |,Bm)等价.【考点】向量组线性相(无)关的判别.解选(D).(A)是充分非必要条件.(1) (A)是充分条件：m = Rg川 gm) W

41、R(Pi,|,Pm) wm= R(-J| |, 5) = m.-11-01一1(2) (A)是非必要条件：如口二=0、口-2 =1线性无关，耳=0：0一1.0一I6不能由月，P2线性表示.(B)是既非必要也非充分条件.(1) (B)是非必要条件：如0tl =一11 o产-0JPl=i线性无关，F1-0J“I=o线性无关，但除外JJ不能由口1,口2线性表示.(2) (B)是非充分条件：如%一11o ,：0一01、=i线性无关，B1=0J0 ¥L0J0邛1邛2可由920J线性表示，但P1, P2线性相关.(C)是充分非必要条件.(C)是充分条件：R(B1,|,Bm) = R(a1,IHP

42、m)011线性无关，耳=0 ,P2S5一。1=0线性无关，但口心口JJ一1(C)是非必要条件：如口1 = 0 ,%L0J不能由£,久线性表示，则%,%与3,3不等价.(D)是充分必要条件.向量组 PJII, Bm 线性无关仁 R(P1,|,Pm) = my R(a1,|2m)= R(3M|,Pm)=m=R(A) uR(B) ：= A > B .46.(2000 W , IV )设%产2P3是四元非齐次线性方程组Ax= b的三个解向量，且秩(A)=3, % =(1,2,3,4)T,a2 +a3 = (0,1,2,3)T ,C表示任意常数，则线性方程组Ax = b的通解x =()【

43、考点】线性方程组解的性质及非齐次线性方程组解的结构解 选(C). R(A)=3= Ax =0的基础解系含4 R(A)=1个解向量 之可取=21 -(：2 I) =(2,3,4,5)T.47.(2000 m)设A为n阶实矩 阵，AT是A的转置 矩阵，则对于线性 方程组(i )： Ax = 0和(口)： AT Ax =0 ,必有()(A)( n )的解是(i)的解,(i )的解也是(口 )的解.(B)( 口)的解是(I )的解，但(I )的解不是(口 )的解.(C)( I)的解不是(口 )的解,(口 )的解也不是(I )的解.(D)( I)的解是(口 )的解，但(口 )的解不是(I)的解.【考点】

44、Ax = 0与AT Ax = 0解的关系.解选(A).【注意】Ax =0与AT Ax =0同解.事实上(1) Ax=0= (ATA)x=父(Ax) =0,即 Ax =0 的解是 ATAx = 0 的解; AT Ax = 0 = xT AT Ax = 0 = (Ax)T Ax = 0 二 | Ax| = 0= Ax = 0 ,即 AT Ax = 0 的解是Ax = 0的解.1148.(2001 I )设 A =J1 11 11 11 11111.00 00 00 00 0010，则A与B (00(D)不合同且不相似(A)合同且相似.(B)合同但不相似.(C)不合同但相似【考点】实对称矩阵的对角化

45、解 选(A). A为实对称矩阵且 A的特征值为4,0,0,0【注意】实对称矩阵既正交合同也正交相似于对角矩阵ana12a13a14fa14a13a12a11殳A =a21a22a23a24,B =a24a23a22a2149.(2001-m, iv)ia31a32a33a34a34a33a32a31a41a42a43a44_1 Ia44a43a42a41 .0 0 00 1 0|0 0 1J 0 011P210|00 0 00 1 01 0 00 0 1其中A可逆，则B° =（）(D) P2A%.111(A) A PP2.(B)PA P2.(C)RP2A .【考点】初等矩阵与初等变换

46、的关系及乘积矩阵的求逆.解选（C）. B由A的第二列与第三列交换，再将第一列与第四列交换得到，则B = AF2R= B'= RP2A.A二八50 .（2001皿）设A是n阶矩阵，a是n维列向量.若秩| T=秩（A）,则线性方程组（）0一（A） Ax = a必有无穷多解.（B） Ax = 0（必有惟一解.（C） I A "，X = 0仅有零解.（D）A "，X = 0必有非零解.hT 0 ,y0 一 y【考点】线性方程组解的理论.A%l、A 上 11 x 一解 秩| 丁=秩（A） En <n+1,则| 丁 h j=0必有非零解.选（D）.MT 0_MT 0y_5

47、1 .（2002i）设有三张不同平面的方程ai1x+ ai2y+ai3z = b, i =1,2,3 ,它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为（）【考点】线性方程组解的理论.a11xa12yaz 二b1解方程组a21x +a22y +a23z =b2有无穷多解.选（B）.a31 xa32 ya33z = b3【注意】a11x + a12y + a13z = b1(1)三张不同平面 ai1x+ai2y+ai3z = h,i =1,2,3 相交于一点 u <a21x + a22y+a23z = b2有 a31xa32 ya33z = b3惟一解；l

48、aiix 42 y a13z = bi(2)三张不同平面 ai1x+ai2y+ai3z = h ,i =1,2,3 相交于直线 u <a21x + a22y+a23z = b2 有 a31x a32 y a33z= b3无穷多解；lanx ai2y az = b(3)三张不同平面 aij + ai2y+ ai3z = bi,i =1,2,3无交点 u <a21x+ a22y+a23z = b2无解.a3ix a32 y a33z = b352 .(2002口)设向量组口1,口243线性无关，向量 P1可由口1,口2,支3线性表示，而向量 P2不能由0(1 ,0( 2 , Ct 3线

49、性表示，则对于任意常数k ,必有()3(A) %,%,%上月+日2线性无关.(B) %,Ct 203*1 +吕2线性相关.(C)ct1,a2,a3, P1 +2线性无关.。)%,b2,%, F1 +kP2线性相关.【考点】向量组线性相(无)关与线性表示之间的关系.解 令k =0,则%,口2,0(3,2线性无关，(B)错；叫，口2,0f 3, P1线性相关，(C)错.令k =1，若%尸243, P1 +k22线性相关，则卜2能由,a 2 P 3线性表示，(D)错.选(A).53.(2002W)设A是mn矩阵，B是nm矩阵,则线性方程组(AB)x=0()(A)当n a m时仅有零解.(B)当n &

50、gt; m时必有非零解.(C)当m a n时仅有零解.(D)当m > n时必有非零解.【考点】矩阵的秩的性质与齐次线性方程组解的理论.解 R( AB)< mi nR A )R B )又nAB 为 m 阶方阵.选(D).【注意】 R(Amn) Eminm,n;(2) R(AB) -min R(A), R(B).54.(2002 m )设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵.已知n维列向量口是A的属于特征值 人的特征向量，则矩阵(PAP)T属于特征值 人的特征向量是()1 T1、T(A) P .(B) P .(C) P： .(D) (P ) .【考点】矩阵的运算及矩阵的特征值与特征向量

51、的定义.解Act =>“c(,(p'ap)t =PTA(Pt)：从后式看出要利用前式，必须消去(PT)：即在a的前面乘以PT .选(B).或(PAP)t(Pt： ) =PtA(Pt)Pt:= PT a： = (PT：).【注意】在做选择题及填空题时，要有意识地培养“只求目的，不择手段”*A O55.（2002IV ）设A,B为n阶矩阵，A , B分别为A, B对应的伴随矩阵，分块矩阵C = lOB.一 . . . *则C的伴随矩阵C =()(A)(C)AB* , OO*B BO*B A；B B*(B)OMBAOAA* 一【考点】伴随矩阵的性质*解 方法一：根据AA =| A E验

52、证.选（D）.（此方法在解决这类问题时一般较麻烦).-I ，、，1,*如.方法二：若A 易求得，由A = A A最简便显然AOB； = |BOA I AB* J56.（2003I , 口）设向量组I :叫，久2,|,%可由向量组I : B1,B2Ml，久线性表示，则（）（A）当r < s时，向量组口必线性相关.（B）当r > s时,向量组口必线性相关（C）当r <s时,向量组I必线性相关.（D）当r >s时,向量组I必线性相关【考点】向量组线性表示与向量组秩的关系 .解 R（ l;2 川:,r ）R （Lls”9.选（D）.57.（2003 I ）设有齐次线性方程组 A

53、x = 0和Bx = 0 ,其中A, B均为mM n矩阵，现有4个命题:若Ax = 0的解均是Bx = 0的解，则秩（A）之秩（B ）.若秩（A）之秩（B）,则Ax = 0的解均是Bx = 0的解.若Ax =0与Bx =0同解，则秩（A）=秩（B）.若秩（A）=秩（B）,则Ax = 0与Bx = 0同解.以上命题正确的是（）（A）（B）（C）（D）【考点】线性方程组解的理论.解 若Ax =0的解均是Bx=0的解，则Ax =0的基础解系必是 Bx = 0的基础解系的一部分，故 Ax = 0的基础解系所含解向量个数必小于Bx = 0的基础解系所含解向量个数，即n -R(A) < n -R(B)= R(A)