理论力学8—点的合成运动2

1、第 8 章点的合成运动8.1 相对运动牵连运动绝对运动8.2 点的速度合成定理8.3 点的加速度合成定理在不同的参考系中，对于同一动点，其运动方程、速度和加速度是不相同的，这就是运动的相对性。许多力学问题中，常常需要研究同一点在不同参考系中的速度、加速度的相互关系。xyxyooMv8.1 相对运动牵连运动绝对运动通过观察可以发现，物体对一参考体的运动可以由几个运动组合而成。例如，在上述的例子中，车轮上的点M是沿旋轮线运动，但是如果以车厢作为参考体，则点M对于车厢的运动是简单的圆周运动，车厢对于地面的运动是简单的平动。这样，轮缘上一点的运动就可以看成为两个简单运动的合成，即点M相对于车厢作圆周运

2、动，同时车厢对地面作平动。于是，相对于某一参考体的运动可由相对于其它参考体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动。习惯上把固定在地球上的坐标系称为定参考系，以oxy坐标系表示；固定在其它相对于地球运动的参考体上的坐标系称为动参考系，以oxy坐标系表示。 8.1 相对运动牵连运动绝对运动用点的合成运动理论分析点的运动时，必须选定两个参考系，区分三种运动：(1) 动点相对于定参考系的运动，称为绝对运动；(2) 动点相对于动参考系的运动，称为相对运动； (3) 动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动。定参考系动参考系动点牵连运动绝对运动相对运动一点、二系、三运动8.1 相对运动牵连运动绝对运动

3、 (1) 动点相对于定参考系的速度、加速度和轨迹，称为动点的绝对速度va、绝对加速度aa和绝对轨迹。 (2) 动点相对于动参考系的速度、加速度和轨迹，称为动点的相对速度vr、相对加速度ar和相对轨迹 。8.1 相对运动牵连运动绝对运动 由于动参考系的运动是刚体的运动而不是一个点的运动，所以除非动参考系作平动，否则其上各点的运动都不完全相同。因为动参考系与动点直接相关的是动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)，因此定义：在动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)的速度和加速度称为动点的牵连速度(用ve表示)和牵连加速度(用ae表示) 。如果没有牵连运动，则动点的相对运动就是它的绝对运动；如果没

4、有相对运动，则动点随同动参考系所作的运动就是它的绝对运动；动点的绝对运动既取决于动点的相对运动，也决定于动参考系的运动即牵连运动，它是两种运动的合成。以上概念是复合运动的基础，一定要注意以下几点：（1）动点的绝对运动和相对运动都是指点的运动，它可能作直线运动或曲线运动；而牵连运动则是指动系的运动，实际上是动系所固连的参考体刚体的运动，牵连运动可能是平移、转动或其他较复杂的运动。（2）牵连速度（加速度）是指牵连点的绝对速度（加速度），而牵连运动是指动参考体刚体的运动。这在概念是不同的，而其联系是牵连点，是动参考体上的瞬时重合点。（3）分析这三种运动时，必须明确：以哪一物体作为参考系。讲完这些概念

5、后可以举很多例子让学生判断三种运动与三种速度，（以加深对这些基本概念的理解）（在这过程中要注意的一点是，如果选择动点和动系是很关键的，一般是以相对运动比较容易看清楚为基本原则。）动点重合点定系动系上与动点相重合的点相对运动8.1 相对运动牵连运动绝对运动动系牵连运动绝对运动牵连速速例例 如图杆长如图杆长l，绕绕O轴以角速轴以角速度度 转动，圆盘半径为转动，圆盘半径为r，绕绕 轴以角速度轴以角速度 转动。转动。求圆盘边缘求圆盘边缘 和和 点的牵点的牵连速度和加速度。连速度和加速度。o1M2M 解：静系取在地面上，动系静系取在地面上，动系取在杆上，则取在杆上，则)(1rlve21)(rlae222

6、rlve2222rlaeoo1M2M1ev1ea2ev2ea重点要弄清楚牵重点要弄清楚牵连点的概念连点的概念8.2 点的速度合成定理rMrOrM(M)OjkiyzxxyzOMOrrrxyz r =ijkMMrrddrxyzt rv =ijk动系上与动点重合的点(牵连点)在定系中的矢径记为rM ，在图示瞬时有相对速度vr是动点相对于动参考系的速度，因此i、j、k是常矢量。这种导数称为相对导数。动点的相对速度vr为8.2 点的速度合成定理rMrOrM(M)OjkiyzxxyzOddMeOxyzt rv = rijkddMaOerxyzxyzt rv = rijk +ijk= vv动点的牵连速度ve

7、为牵连速度是牵连点M点的绝对速度，该点是动系上的点，因此它在动系上的坐标x、y、z是常量。动点的绝对速度va为aervvv即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。8.2 点的速度合成定理处理具体问题时应注意：(1) 选取动点、动参考系和定参考系。 (2) 应用速度合成定理时,可利用速度平行四边形中的几何关系解出未知数。也可以采用投影法：即等式左右两边同时对某一轴进行投影，投影的结果相等。 动点和动系应分别选择在两个不同的刚体上。 动点和动系的选择应使相对运动的轨迹简单直观。8.2 点的速度合成定理在有的机构中，一个构件上总有一个点被另一个

8、构件所约束。这时，以被约束的点作为动点，在约束动点的构件上建立动系，相对运动轨迹便是约束构件的轮廓线或者约束动点的轨道。通常选动点和动系主要有以下几种情况：1. 有一个很明显的动点，在题中很容易发现；2. 有一个不变的接触点，可选该点为动点；3. 没有不变的接触点，此时应选相对轨迹容易确定的点为动点；4. 必须选某点为动点，而动系要取两次；5. 根据题意，必须取两次动点和动系；6. 两个不相关的动点，可根据题意来确定；8.2 点的速度合成定理例1 如图所示，偏心距为e、半径为R的凸轮，以匀角速度 绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求在图示位置时，

9、杆AB的速度。 ABeCOqvevavrqcotaeevvOAeOAqtaneavvq解：因为杆AB作平动。选取杆AB的端点A作为研究的动点，动参考系随凸轮一起绕O轴转动。点A的绝对运动是直线运动，相对运动是以凸轮中心C为圆心的圆周运动，牵连运动则是凸轮绕O轴的转动。例2 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的角速度为，通过滑块A带动摇杆O1B摆动。已知OA=r，OO1=l，求当OA水平时O1B的角速度1。解： 在本题中应选取滑块A作为研究的动点，把动参考系固定在摇杆O1B上。 点A的绝对运动是以点O为圆心的圆周运动，相对运动是沿O1B方向的直线运动，而牵连运动则是摇杆绕O1轴的摆动。21122s

10、insin()eaevvrrvO Alr2221122()rO AlrlrAO1OBvevavr此处有影片播放此处有影片播放例3 水平直杆AB在半径为r的固定圆环上以匀速u竖直下落，如图。试求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。 解：以小环M为动点，定系取在地面上，动系取在AB杆上，动点的速度合成矢量图如图。由图可得：sinsinuvveasineavvuABOMrvrvave例4 求图示机构中OC杆端点C的速度。其中v与已知，且设OA=a, ACb。 解：取套筒A为动点，动系与OC固连，分析A点速度，有vAqBCOvavevrvCsinsineavvvqqOCsineOCvvOAaqsin

11、COCabvOCvaqaervvv例5 图示平底顶杆凸轮机构，顶杆AB可沿导轨上下平动，偏心凸轮以等角速度绕O轴转动，O轴位于顶杆的轴线上，工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面，设凸轮半径为R，偏心距OC=e ，OC 与水平线的夹角为a，试求当a =45时，顶杆AB的速度。 解：以凸轮圆心C为动点，静系取在地面上，动系取在顶杆上，动点的速度合成矢量图如图。coscos4522eavveeavavevraervvv例6 AB杆以速度v1向上作平动，CD杆斜向上以速度v2作平动，两条杆的夹角为a，求套在两杆上的小环M的速度。MABCDv2v1ve1vr1vr2ve2va解 取M为动点，AB为动坐标系，

12、相对速度、牵连速度如图。取M为动点，CD为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。由上面两式可得：11aervvv22aervvv1122erervvvv其中1122,eevvvv122212cossin(cos )/sinrrvvvvvvaaaa将等式两边同时向y轴投影：则动点M的绝对速度为：22221222222121 2cos()sin12cossinaervvvvvvvvv vaaaa=MABCDv2v1ve1vr1vr2ve2va1122erervvvvyOABAvBvR例9 如图车如图车A沿半径为沿半径为150m的圆弧的圆弧道路以匀速道路以匀速 行驶，车行驶，车B沿直线道路以匀速沿直线道

13、路以匀速 行行驶驶 ，两车相距，两车相距30m，求：（，求：（1 1）A车相对车相对B车的速度；（车的速度；（2 2）B车相对车相对A车的速度。车的速度。 hkmvA45hkmvB60 解：（1）以车A为动点，静系取在地面上，动系取在车B上。动点的速度合成矢量图如图。由图可得：hkmvvvvvBAeAr/75222216 . 07545sin11rAvva9 .361aOABAvBvRev1rv1axy（2）以车B为动点，静系取在地面上，动系取在车A上。动点的速度合成矢量图如图。OABAvBvRxyev2rv2asradRvA/083. 0150360010453skmsmve/54/1508

14、3. 0180hkmvvveBr/72.80222669. 072.8054sin22revva422a8.3 点的加速度合成定理rOOjkiyzxxyzO设动参考系Oxyz以角速度 e绕定轴转动，不失一般性，取定坐标系的z轴为其转轴。设k的端点A的矢径为rA，则A点的速度既等于rA对时间的一阶导数，又可用矢积来表示，即ArA eddAAeAtrvr AOrrkedd()ddOOttrkrk eddOOOtrvr eddtkk ddMeOxyzt rv = rijk同样可得i、j的导数。eeeddddddtttijki ,j ,k 22ddrxyzt ra =ijkrMrOrM(M)Ojkiy

15、zxxyzOddrxyzt rv =ijk22ddMeOxyzt ra = rijkddMaOerxyzxyzt rv = rijk +ijk= vv22dd2()2()MaOerxyztxyzxyzxyz ra = rijk+ijk+ijkaaijk8.3 点的加速度合成定理点的加速度合成定理：动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。eeeee2()2 ()()()2()2rxyzxyzxyz ijkijki +jkvaerer2aaavCer2av令,称为科氏加速度，于是有aerCaaaa8.3 点的加速度合成定理q evraCCer2av科氏加速

16、度等于动系角速度矢与点的相对速度矢的矢积的两倍。aC大小为Cer2sinavq其中q为 e与vr两矢量间的最小夹角。矢aC小垂直于 e和vr，指向按右手螺旋法则确定。工程中常见的平面机构中 e和vr是垂直的，此时aC=2evr；且vr按e转向转90就是aC的方向。8.3 点的加速度合成定理当牵连运动为平移时， e=0，因此aC=0，此时有aer aaa当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。例10 图示曲柄滑道机构，圆弧轨道的半径ROA10 cm，已知曲柄绕轴O以匀速n120 rpm转动，求当30时滑道BCD的速度和加速度。 nROO1ABCD

17、vavrve解：取滑块A为动点，动系与滑道BCD固连。求得曲柄OA转动的角速度为 4rad/s30naer vvv125.6 cm/s125.6 cm/s125.6 cm/saeraBCDevOAvvvvv12030hAOO1ABCD分析加速度得 artaearnaan22n2rr1125.61579 cm/s10vaO An2aa22(4 )101579 cm/saaOAntaerr aaaa将加速度向h轴上投影有： nare22cos601579 0.5 1579cos303/22740 cm/s27.4 m/saaanaer:cos60cos30aaa h例11 刨床的急回机构如图所示。

18、曲柄OA的角速度为，通过滑块A带动摇杆O1B摆动。已知OA=r，OO1=l，求当OA水平时O1B的角速度1和角加速度a1。解： 在本题中应选取滑块A作为研究的动点，把动参考系固定在摇杆O1B上。 点A的绝对运动是以点O为圆心的圆周运动，相对运动是沿O1B方向的直线运动，而牵连运动则是摇杆绕O1轴的摆动。21122sinsin()eaevvrrvO Alr2221122()rO AlrlrvevavrAO1OBAO1OB1a1araetaenaaaC由于动参考系作转动，因此加速度合成定理为：2aar12sin90Crav42n2e113222()raO Alrte11aO AantaerCeer

19、Caaaaaaaa2re12222,rlrvlrlr2332222()Cr lalrAO1OB1a1araetaenaaaCh为了求得aet，应将加速度合成定理向轴h投影： ntaeerCaaaaahhhhh即：taeCcosaaa得：22t2e3222()()rl lralr 摇杆O1B的角加速度 ：t222e12221()()arl lrO Alr aABOC例12 偏心凸轮的偏心距OCe、半径为 ，以匀角速度绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平动，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求在OC与CA垂直时从动杆AB的速度和加速度。3Revrvaveq解：选取杆AB的端点A作为动点，动

20、参考系随凸轮一起绕O轴转动。evOA32 3tan33aeevvOAq243cos332erveevqaervvvABOCq加速度分析如图arnartaCaaaenhaerCaaaa222neaOAe22163 3nrrveaR2482sin( ,)2133Crreeav v coscosnnaerCaaaaqq2222231682( 2)2933 33aeeaee 例13 图示曲杆OBC绕O轴转动，使套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动。已知OB10 cm，OB与BC垂直，曲杆的角速度为0.5rad/s，求当=60时小环M的速度和加速度。 BACOM解：选取小环M作为研究的动点，动参考系随曲杆

21、OBC一起绕O轴转动。点M的绝对运动是小环M沿OA杆的直线运动，相对运动是沿着BC的直线运动，牵连运动则是曲杆绕O轴的转动。于是 ：10 0.510 cm/s1cos602eOBvOMtan10317.3 cm/saevv由三角关系求得小环的绝对速度为：BACOMavevrv220cm/srevv小环M的加速度分析如图所示 ：222 0.5 2020 cm/sCrav2220.5205 cm/sneaOM2/cos52 2035cm/snaeCaaa 可得：aerCaaaa向y方向投影,有:coscosnaeCaaaBACOMcaaanearay例14 平底顶杆凸轮机构如图所示，顶杆AB可沿导

22、轨上下移动，偏心圆盘绕轴O转动，轴O位于顶杆轴线上。工作时顶杆的平底始终接触凸轮表面。该凸轮半径为R，偏心距OC = e，凸轮绕轴O转动的角速度为，角加速度为 。求OC与水平线成夹角时顶杆的速度和加速度。BACO yxe e M解1 用运动方程求解。因推杆作平动，其上各点的速度和加速度都相同，现取推杆上与凸轮的接触点M分析：2sincoscoscossincossinyR edydveedtdtdvddaeedtdtdteeeBACO yxe e My解2 取圆盘的中心C为研究的动点，动参考系与平底推杆AB固连，分析动点的速度和加速度如图所示。avecoscoseavveBACO yxe e

23、Mavevrv2naaeaaee2sincoscossinneaaaaaeee 可求得：BACO xyraeaaanaanaaer aaaa向y轴正向投影：sincosnaae-aaa例15 牛头刨床机构如图所示；已知 。求图示位置滑枕CD的速度和加速度。1200 mmO A 12 rad/s解：一、速度分析1）取套筒A为动点，动参考系与摇杆O2B固连。相对运动是套筒A沿摇杆O2B的直线运动，牵连运动是摇杆O2B绕O2的定轴转动，绝对运动是套筒A绕O1的圆周运动，绝对速度的大小是：111200 2400 mm/savO A 650mmCDO2O1BA 130211121211sin30200

24、mm/s400 mmsin302000.5 rad/s400cos302003mm/seaeo BravvO AO AvO Avv由速度合成定理可得 ：650mmCDO2O1BA 1301av1ev1rv222226500.5cos30650mm/s3cos30325 mm/sao BeavO Bvv2） 取套筒B为动点，动参考系与滑枕CD固连。相对运动是套筒B沿滑杆的竖直直线运动，牵连运动是滑枕CD的水平平动，绝对运动是套筒B绕O2的圆周运动。由速度合成定理 可得：650mmCDO2O1BA 1302av2ev2rv30二、加速度分析，动点和动系的选择分别同前。 2212200 3 mm/sCo Brav2221112002800 mm/snaaO A1）A点的加速度分析如图所示，由于动参考系O2B作定轴转动，有科氏加速度，其方向可由相对