八年级初二数学数学勾股定理的专项培优练习题(及解析

1、-X选择题1. 如图，在BC中，ZA=90% AB = 69 AC = S9 ZABC与ZAeB的平分线交于 点O,过点。作OD丄AB于点Z若则4D的长为()A. 6B. 8A. 2B 2C也D. 42. 如图，已知直线all b,且a与b之间的距离为4,点A到直线a的距离为2,点B到直 线b的距离为3 , AB=2预.试在直线a上找一点M,在直线b上找一点/,满足 M丄a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=()C. 10D 123. 一艘渔船从港口 A沿北偏东60。方向航行至C处时突然发生故障，在C处等待救援.有 一救搂艇位于港口 A正东方向20( 3 -1)海里的B处，接到求

2、救信号后，立即沿北偏 东45。方向以30海里/小时的速度前往C处救援.则救援艇到达C处所用的时间为( )A.並小时B. ?小时C.空小时3332 1 14. 在 AABC 中I - = - + -,则ZA( )ClbCD.非上述答案A. 一定是锐角B. 一定是直角C. 一泄是钝角5. 下列结论中，矩形具有而菱形不一泄具有的性质是（）A.内角和为360。 B.对角线互相平分 C.对角线相等D.对角线互相垂直6. 我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对 全等的三角形，如图所示，已知ZA = 90°正方形ADOF的边长是2, BD = 4,则CF 的长

3、为（）7. 已知直角三角形的两条边长分别是3和5,那么这个三角形的第三条边的长（）A. 4B. 16C. 34D. 4 或5Z8. 已知M、N是线段AB上的两点，AM = MN = 2, NB = I,以点A为圆心，AN长为半径 画弧：再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C,连接AC, BC,则厶ABC 是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形9. 在下列以线段a、b、C的长为边，能构成直角三角形的是（）A. a=39 b=4, c=6B. cr=5t b=6, c=7C.Q=6, b二& C=9D. =7, b=24fc=25BC = 3分别以点10.

4、如图，在四边形 ABCD 中，AD/BC. ZD = 90°, Ar) = 4,A, C为圆心，大于AC长为半径作弧，两孤交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点0若点O是AC的中点，则CD的长为（）BA. 22B. 4C. 3D価二填空题11如图，AB = 12, AB丄BC于点B, AB丄AD于点A, AD=5, BC = 10, E是CD的中点, 则AE的长是12.我国古代数学名著九章算术中有云：“今有木长二丈，围之三尺葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？ ”大意为：有一根木头长2丈，上、下底而的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长

5、是尺.（注：/丈等于10尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计）RaH¾ An13. 在MBC中，AB = IOcm, AC = lcm . BC边上的髙为SCm.则MBC的而积为cm2 14. 如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个格点可得AABC,则AC边上的髙的长度是15如图，在&3C中，AB=AC=IO t BC=12 t AD是角平分线，P、Q分别是AD、边上的动点，则BP+PQ的最小值为16. 如图，RtAABC中，ZBCA=9Qo , AB=F AC=2. Q为斜边/15上一动点（不与点A, 重合），DELAC, DFLBC.垂足分别为忒尸，连接肪则

6、处的最小值是17. 如图，在四边形 MCD 中，AD= I CD=3 J ZABC=ZACB=ZADC=45 则 BD2= .18. 如图所示，四边形ABCD是长方形，把AACD沿AC折叠到 ACDXAb与BC交于点19. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股立理，创制了一副“弦图”，后人称其为“爽弦 图”（如图1图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中 正方形ABCD.正方形EFGH ,正方形MTVK了的而积分别为S, S2, S3,若S + S? + S3 = 15 ,则 S2 的值是囹！因2220. 如图所示，圆柱体底而圆的半径是一，髙为1,若一只小虫从A点出发沿着圆柱体

7、的三.解答题21. 泄义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形.（1）如图1,四边 形 ABCD 中，ZABC二70°, ZBAC二40°, ZACD=ZADC=80% 求证：四边形 ABCD 是邻和四边 形.（2）如图2.是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A、B、C三点的位置如图，请在网格图中标申所京旳惱息D,使得以A. B、C、D为顶点 的四边形为邻和四边形.(3) 如图 3, ABC 中，ZABC=90% AB二2, BC二2 JJ,若存在一点 D,使四边形 ABCD 是 邻和四边形，求邻和四边形ABCD的面积22. 如图

8、，在矩形ABCD中，AB二& BC=10, E为CD边上一点，将MDE沿AE折叠，使点 D落在BC边上的点F处.(1) 求BF的长：(2) 求CE的长.23如图1,在"BC中，AB=ACf ZaAC=90。，D为&C边上一动点，且不与点人点C重 合，连接3D并延长，在BD延长线上取一点&使AE=AB.连接CE.(1) 若 ZqFD=20。，则ZDEC=度；(2 )若乙AED=a,试探索ZAFD与ZqEC有怎样的数量关系？并证明你的猜想：(3) 如图2,过点A作AF丄BE于点F, AF的延长线与FC的延长线交于点H,求证： EH2CH2 = 2AE2.24. 如

9、图，MBC是等边三角形，ZXE为Aek两点，且AE = CD,延长BC至点F , 使CF = CD,连接BDAED(E)图3（1）如图1，当Q,E两点重合时，求证：BD = DF;（2）延长BD与EF交于点G . 如图2,求证：ZBGE = G0。； 如图3,连接BE.CG9若ZEBD = 30°. BG = 4,则MCG的而积为25. 已知MBC中，ZACB=90% AC = BC,过顶点A作射线AP（1）当射线AP在BAC外部时，如图，点D在射线AP ±,连结CD、BD，已知2 +1 > BD = 2n （ M > 1 ）. 试证明ABD是直角三角形： 求线

10、段CD的长.（用含"的代数式表示）（2）当射线AP在ZBAC内部时，如图，过点作3D丄AP于点D，连结CD，请 写出线段AD. BD、CD的数量关系，并说明理由.26. 如图，己知RtABC, ZACB = 90。，ZBAC = 30°.斜边AB = 4, ED为43垂 直平分线，且DE = Iyl3.连接DB，D4BCA（1）直接写岀 BC = AC=:（2）求证：诚是等边三角形；（3）如图，连接CD,作BF丄CD,垂足为点F ,直接写出BF的长:D备用图（4）P是直线AC±的一点，且CP = ACt连接肱，直接写出PE的长.27. 如图，在四边形ABCD中，A

11、B=ADf BC=DC , ZA=60。，点E为AD边上一 点，连接CE, BD CE与BD交于点F，且CE / AB(1)求iiE： ZCED = ZA(2) 若 AB=S, CE=6.求 BC的长.28. 如图，点A是射线OF： y=× (x>0)上的一个动点，过点A作X轴的垂线，垂足为B,过点B作QA的平行线交ZAOB的平分线于点C.(1) 若O = 52 .求点B的坐标：(2) 如图2,过点C作CG丄M于点G, CH丄OF于点H,求证：CG=CH.(3) 若点&的坐标为(2, 2),射线OC与交于点D在射线3C上是否存在一点P 使得AACP与A8DC全等，若存在

12、，请求岀点P的坐标：若不存在，请说明理由.在(3)的条件下，在平而内另有三点PJ (0,血)，P2(2, 22)，Ps(2+2，2- 2 > ,请你判断也满足Aacp与A3DC全等的点是.(写出你认为正确的点)29. 阅读下列一段文字，然后回答下列问题.已知在平而内有两点A(X”)、&(兀2,)2)，其两点间的距离J(K-X2)2+(儿一儿)2，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂 直于坐标轴时，两点间距离公式可化简为-1 -2或Iy,-y2.(1) 已知4(2, 4)、B(-3, -8),试求久B两点间的距离.已知M、N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为4,点/V

13、的纵坐标为-1,试求N 两点的距离为:(2) 已知一个三角形各顶点坐标为D(l, 6)、E(-3, 3)、F(4, 2),你能判定此三角 形的形状吗?说明理由.(3) 在(2)的条件下，平而直角坐标系中，在X轴上找一点P,使PD+PF的长度最 短，求出点P的坐标及PD+PF的最短长度.30. 在平而直角坐标系中，点A （O, 4） , B （m, 0）在坐标轴上，点C, O关于直线&8 对称，点D在线段43上.（1）如图魚若m = 8,求&3的长；（2）如图2,若m=4,连接OD,在y轴上取一点&使OD=DE,求证：CE= 2 DEX（3）如图3,若m=43 ,在射线A

14、O上裁取AF,使AF=BD.当CD+CF的值最小时，请 在图中画出点D的位置，并直接写岀这个最小值.【参考答案】"审试卷处理标记，请不要删除一.选择题1. B解析：B【分析】过点O作OE丄BC于E, OF丄AC于F,由角平分线的性质得到OD=OE=OF,根据勾股泄 理求岀BC的长，易得四边形ADFO为正方形，根据线段间的转化即可得出结果.【详解】解：过点0作OE丄BC于E, OFlAC于F,VBOzCO分别为ZABCt ZACB的平分线，所以 OD=OE=OF,又 BO=BOzBD0BE0, BE=BD.同理可得,CE=CR又四边形ADOE为矩形，四边形ADOE为正方形.AD=ART

15、在 RtABC 中，AB=6, AC二& BC=IOAD+BD=6 ，AF+FC=8 ，BE+CE=BD+CF=10 ，+得，AD+BD+AF+FC=14,即 2AD+10=14,AD=2.故选：B.【点睛】此题考查了角平分线的左义与性质，以及全等三角形的判圧与性质，属于中考常考题型.2. B解析：B【解析】【分析】MN表示直线与直线b之间的距离，是左值，只要满足AM+NB的值最小即可.过人作直 线a的垂线,并在此垂线上取点A ,使得AAl = MNI连接A'B I则A'B与直线b的交点即 为N ,过N作MN丄于点M.则A'B为所求，利用勾股宦理可求得其值【详解

16、】过&作直线的垂线，并在此垂线上取点A ,使得AA'二4 ,连接A'B ,与直线b交于点 N I过N作直线的垂线，交直线于点M ,连接AM I过点B作3E丄AA ,交射线AA' 于点E.如图，VAAZ丄q,M丄 ,AATI M/VXVAA, = M = 4 r 四边形AATVM是平行四边形，/. AM = AIN 由于AM+MN+NB要最小，且MN固左为4 z所以AWNB最小 由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为AB .处二 2+3+4 二 9 , AB=2y30 I ：. BE= yAB2AE2 = 39 t A,E = AE - AA, = 9 4

17、二 5 , . AIB = yA!E2 + BE2 = 8 所以AMNB的最小值为8 故选BA【点睛】本题考查了勾股左理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N的位 置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短.3 . C 解析:C【解析】【分析】过点C作CD垂直AB延长线于D,根据题意得ZCDB二45° , ZCAD二30° ,设BD=X则CD=BD=x, BC=2 x由ZCAD=30° 可知 tanZCAD=-= 即J=AD 320（馆-1） +X3解方程求岀BD的长，从而可知BC的长，进而求出救援艇到达C处所用的时间即可.【详解】如图：过点C作CD

18、垂直AB延长线于D,则ZCDB=45o , ZCAD=30° ,V ZCDB=45o , CD丄BD,BD=CD,设BDp,救援艇到达C处所用的时间为t,CD /TVtanZCAD= 一 = =, AD二AB+BD,AD 3Ek芈得E海里）'BC=2BD=202 （海里），厂 202_ 22303故选C【点睛】本题考查特殊角三角函数，正确添加辅助线、熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键.4A解析：A【解析】2 1 1【分析】根据一= r + 以及三角形三边关系可得2bc>aS再根据(bc) 20,可推导 CIbC得出b2+c2 >a2,据此进行判断即可得.2 1

19、1【详解】 - = - + -,ClbC2 b + c2bc=a ( b+c ) r,*as b、C是三角形的三条边，. b+c > a，°2bc > aa .即 2bc > a 2 ,T ( b-c ) 2 O rb 2 +c 2 -2bcO zb 2 +c2 2bc rb2+c2 >a2 J一定为锐角，故选A 【点睛】本题考查了三角形三边关系、完全平方公式、不等式的传递性、勾股上理等，题目较难，得出b2+c2 >a2是解题的关键5C解析：C【分析】矩形与菱形相比，菱形的四条边相等、对角线互相垂直；矩形四个角是直角，对角线相 等，由此结合选项即可得出答

20、案【详解】A、菱形、矩形的内角和都为360° ,故本选项错误；B、对角互相平分，菱形、矩形都具有，故本选项错误；C、对角线相等菱形不具有，而矩形具有，故本选项正确D、对角线互相垂直，菱形具有而矩形不具有，故本选项错误，故选C.【点睛本题考查了菱形的性质及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键.6 . A解析：A【分析】设CF=x,则AC=×+2,再由已知条件得到AB=6, BC=6+×,再由AB2+AC2=BC2得到6?+(x+2) 2= (×+4) 2,解方程即可.【详解】设 CF=x,则 AC=×+2,T 正方形 ADOF

21、的边长是 2, BD=4, BDOBEO, CEOCFO.BD=BE, CF=CE, AD=AF=2,.,.AB=6, BC=6+×,VZA=90°,AB2+AC2=BC2,.,.62+ (×+2) 2= (x+4) 2,解得：×=6,即 CF=6,故选：A.【点睛考査正方形的性质、勾股圧理，解题关键是设CF=×,则AC=x+2,利用勾股左理得到62+(×+2) 2= (×+4) 2.7. D解析：D【解析】试题解析：当3和5都是直角边时，第三边长为：32 +52 =34 ；当5是斜边长时，第三边长为：后二尹=4.故选D .

22、8B解析：B【分析】依据作图即可得到AC=AN = 4, BC = BM = 3 AB = 2+2+l = 5,进而得到AC2+BC即 可得岀AABC是直角三角形.【详解】女口图所示，AC=AN=4, BC = BM = 3, AB = 2+2+l=5,.,.AC2+BC2=ABABC是直角三角形，且ZACB=90° , 故选B.【点睛】本题主要考査了勾股泄理的逆左理，如果三角形的三边长a, b, C满足a2+b2 = c2,那么这 个三角形就是直角三角形.9. D解析：D【解析】A选项：32+4262,故不符合勾股立理的逆圧理，不能组成直角三角形，故错误；B选项：52+6272,故

23、不符合勾股定理的逆左理，不能组成直角三角形，故错误：C选项：62+8292,故不符合勾股左理的逆左理，不能组成直角三角形，故错误：D选项：72+242=252,故符合勾股泄理的逆泄理，能组成直角三角形，故正确故选D 10. A解析：A【分析】连接FC,根据基本作图，可得OE垂宜平分AC,由垂直平分线的性质得岀AF=FC.再根 据ASA证明AFOA ABOC,那么AF=BC=3,等量代换得到FC=AF=3 ,利用线段的 和差关系求岀FD=AD-AF=X.然后在直角AFDC中利用勾股圧理求岀CD的长.【详解】解：如图，连接FC,贝IJ AF=FC.AD"BC,ZFAO = ZBCO.在A

24、FOA与ABOC中，ZFAO = ZBCOOA = OC,ZAOF = ZCOB. FOA ABOC(ASA),/. AF = BC = 3,.FC = AF = 3, FD = AD-AF = 4-3 = 1.在 AFDC 中，.ZD = 90°,. CD2 + DF2 = FC-,.CD2 + 2=32,:.CD = 22 -故选A.【点睛】本题考查了作图-基本作图，勾股左理，线段垂直平分线的判左与性质，全等三角形的判 定与性质，难度适中.求岀CF与DF是解题的关键.二、填空题115【详解】解：如图，延长AE交BC于点F,D AB FC.点E是CD的中点，ADE=CEt ,VAB

25、±BC, ABlADjAD Be ZADE=ZBCE 且 DE=CE, ZAED=ZCEBAEDFEC (ASA) ZAD=FC=5, AE=EF,BF=BC-FC=5,在 Rt ABF 中，AP = AB2 + BF7 = 13/AE = -= 6.52故答案为：6.5.12.【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平而内的问题解决，展开后可转化下图，所 以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出.【详解】解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，另一条直角边长7x3=21 （尺）， 因此葛藤长202+212 =29 （尺）.答：葛藤长29尺.故答案为：29.【点睛

26、】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平而图 形后为直角三角形按照勾股定理可求岀解.13 . 36 或 84【分析】过点A作AD丄BC于点D,利用勾股泄理列式求岀3D、CD,再分点D在边BC上和在CB的 延长线上两种情况分別求岀3C的长度，然后根据三角形的而积公式列式计算即可得解.【详解】解：过点A作AD丄BC于点D,. BC边上的髙为8cm,AD=8cm,VAC=I7cm.由勾股左理得：BD = yjAB- -AD2 = 102-82 = 6CECD = AC2-AD2 = 172 -82 = 15 CE如图1,点D在边8C上时，8C=D+CD=6+15=

27、21cm,I ABC 的而积=-BCMD =丄 X2iX8=84c,2 2如图2,点D在CB的延长线上时，3C= CD-BD 二 15-6=9cm,sc的而积冷BCAD冷X9如6曲综上所述，ZiABC的而积为36 Crn2或84 Cm2, 故答案为：36或84.图1图2【点睛】本题考查了勾股左理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，难点是在于要分情况讨 论.【详解】四边形DEFA是正方形，而积是4：ABF, ACD的而积相等，且都是* X 1X2=1.BCE的而积是：一XlXl=2 21 3则ZABC的而枳是：4 - 1 -I-=2 2在直角AADC中根据勾股左理得到：AC=27+1t=5.

28、设AC边上的高线长是x则1 ACx= x=,2 2 2O 一解得：X=T5故答案为-5.156【解析】VAB=AC f AD是角平分线,AD±BC r BD=CD rB点.C点关于AD对称，如图，过C作CQ丄AB于Q,交AD于P，则CQ=BP+PQ的最小值， 根据勾股定理得，AD=S , 利用等而积法得：AB-CQ=BOAD f=9.6BeAD 12x8 CQ=AB 10故答案为：9.6.点睛：此题是轴对称最短路径问题，主要考査了角平分线的性质，对称的性质，勾股定 理，等而积法，用等面积法求出CQ是解本题的关键.16. 迹5【解析】255试题分析：根据勾股泄理可求出BC=I,然后根摒

29、Z BCA = 90o , DE±AC t DF±BC r证得四 边形CEDF是矩形,连接CD,则CD=EF,当CD丄AB时,CD最短，即EF=CD= 故答案为芈.点睹：本题考查了勾股左理的运用，矩形的判左和性质以及垂线段最短的性质，同时也考 査了学生综合运用性质进行推理和计算的能力.17. 41【解析】作 AIy丄ADf AD=AD,连接 CD； DD',如图:即 ZBAD=ZCAET, 在ZiBAD与厶CADr中,BA=CA ;< ZBAD= ZCAD'AD=ADBADSZkCAD (SAS),ABD=CDr,ZDADz=90%由勾股左理得DD =

30、 d2 + AD,2 ,ZD, DA+ZADC=90o ,由勾股泄理得CD'二JDerDD2，BD=CDz =J,即 BD2=41.故答案是：41.718. 一8【解析】试题分析：根据矩形性质得AB=DC=6 , BC=AD=8 , ADBC f ZB=90%再根据折叠性质得ZDAC=ZDrAC,而ZDAC=ZACB,则ZDzAC=ZACB.所以 AE=EC,设 BE=Xt 则 EC=4X , AE=4-x,然后在RtABE中利用勾股定理可计算出BE的长即可.试题解析：Y四边形ABCD为矩形，AB=DC=3, BC=AD=I, AD/7BC, ZB二90° ,VACD沿AC折

31、叠到AACL , ADZ与Be交于点E, ZDAC=ZDf AC,VADz/BC. . ZDAC=ZACB,ZD' AC=ZACB> AE=EC,设 BE=x,则 EC=4 - X, AE二4-,在 RtZkABE 中，TAB讣BEJAES73s+xs= (4-x) 2,解得 X=-,87即BE的长为&O195【分析】根据图形的特征得岀四边形MNKT'的面积设为X ,将其余八个全等的三角形而积一个设 为y,从而用, y表示岀s, S?, S?,得出答案即可.【详解】解：将四边形M%N的而积设为；V,将其余八个全等的三角形面积一个设为y,.正方形ABCD,正方形EF

32、GH ,正方形MNKT'的而积分别为S, S2,，S1 + S, + S3 = 10 ,得出 S1 =8y+x, S2 = 4yxt S3=X t s+s2+ S3 = 3x + 12y = 15 ,故3x÷12y = 15,所以 S1 = x + 4y=5 ,故答案为：5.【点睛】此题主要考査了图形面积关系，根据已知得岀用*, y表示出S, s, SX再利用 5l+s2 + s3 = 15求出是解决问题的关键.20 5【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知.【详解】 圆柱的侧而展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底而周长，C是边的中点，矩形的宽即髙等于圆柱的母线长

33、.VAB=H =2, CB=I.2 AC= AB2+BC2 = 22÷12=5故答案为：/5 【点睛】圆柱的侧而展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底而周长，矩形的宽即高等于圆柱的 母线长本题就是把圆柱的侧而展开成矩形，“化曲而为平面” 用勾股左理解决.三.解答题21(1)见解析：(2)见解析：(3) 4JJ或6J【分析】(1) 先由三角形的内角和为180°求得ZACB的度数，从而根据等腰三角形的判左证得 AB=AC=AD,按照邻和四边形的定义即可得出结论.(2) 以点A为圆心，AB长为半径画圆，与网格的交点，以及AABC外侧与点B和点C组 成等边三角形的网格点即为所求.(

34、3) 先根据勾股左理求得AC的长，再分类计算即可：当DA=DC=AC时：当 CD=CB=BD 时：当 DA=DC=DB 或 AB=AD=BD 时.【详解】(1) ZACB=I80° - ZABC - ZBAC=70°, ZACB二ZABC, AB=AC. ZACD=ZADC, AC=AD,AAB=AC=AD 四边形ABCD是邻和四边形；(2) 如图，格点D、D1、D,'即为所求作的点:图2(3) T 在 AABC 中，ZABC 二 90°, AB 二 2, BC 二 2 J, AC= Jab? + B& = 22+(23)2 = 4, 显然AB,

35、BC, AC互不相等.分两种情况讨论： 当DA=DC=AC=4时，如图所示：BECADC为等边三角形，过 D 作 DG丄Ae 于 G,则ZADG=-X60° = 30° ,：.AG = LAD = 2,DG = yAD2-AG2 =42-22 =23SABC=-AB×BC2 当CD=CB=BD=2 3时，如图所示:DBDC为等边三角形，过 D 作 DE丄BC 于 E,则ZBDE二丄X60° = 30° , BE 气 B",DE = JBD订BE? = (2囘2 _(冋2 =3,* SABDC= × 2× 3 = 3

36、-3 ,2过D作DF丄AB交AB延长线于FtT ZFBD=ZFBC-ZDBC二90o 60o=30o >DF=-BD=3 ,2S N边形 ABCDzzSbdc÷Sadbzz4; 当DA=DC=DB或AB二AD二BD时，邻和四边形ABCD不存在 邻和四边形ABCD的而积是6J或4苗.【点睛】本题属于四边形的新泄义综合题，考査了等腰三角形的判左和性质、勾股左理、三角形的 而积计算等知识点，数形结合并读懂定义是解题的关键.22. (1) BF长为6；(2) CE长为3,详细过程见解析.【分析】(1) 由矩形的性质及翻折可知，ZB二90。，AF=AD=10且AB二&在RtABF

37、中，可由勾 股定理求出BF的长：(2) 设 CE二X,根据翻折可知，EF=DE=8-x,由(1)可知 BF=6,则 CF=4, RtCEF 中, 可由勾股定理求出CE的长.【详解】 解：(I) V四边形ABCD为矩形,.ZB=90 且 AD=BC=10.又Y AFE是由 ADE沿AE翻折得到的,AAF=AD=IO,又 VAB=8, 在 RtZkABF 中，由勾股左理得：BF=7aF2-AB2 =71O2-82 =6故BF的长为6.(2) 设 CE=X ,四边形ABCD为矩形，/. CD=AB=8, Z C=90 DE=CD-CE=8-x,又V AFE是由AADE沿AE翻折得到的，FE=DE=8

38、-x,由(1)知：BF=6t 故 CF=BC-BF=IO-6=4,在RtACEF中，由勾股泄理得：CF2+CE2 =EF2».,.42+x2=(8-x)2,解得：x=3,故CE的长为3.【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变 化，对应边和对应角相等，利用勾股左理求解是本题的关键.23. (1) 45 度：(2) ZAEC- ZAED=理由见解析；(3)见解析【分析】(1) 由等腰三角形的性质可求ZBAF=140。，可得ZCAE=50。，由等腰三角形的性质可得ZAEC=ZACE=65 即可求解；(2) 由等腰三角形的性质可求ZBAE=IS

39、O0 - 2a,可得ZCAE=Soo - 2a,由等腰三角形的 性质可得ZAEC=ZACE=可得结论；(3) 如图，过点C作CG丄加于G,由等戯直角三角形的性质可得FH= y2 EF, CH= CG,由AAy可证CGA,可得AF=CG.由勾股立理可得结论.【详解】解：(1) 9：AB=AC. AE=AB./.AB=AC=AE.：.ZABE=ZAEB. ZACE= ZAEC.T ZAED=20°,：.ZABE=ZAED=20°,Zf=140o,且ZaAC=90°：.ZCAE= 50o 9V ZCAEZACE+ZAEC=180 且 ZACE= ZAEC9：.ZAEC=

40、 ZACF=65。，:ZDEC=ZAEO ZAED=A5故答案为：45：(2)猜想：ZAEC- ZAED=45理由如下：V ZAED=ZABE=a.：.ZBAE=I80° - 2, ZCAE= ZBAE - ZaAC=90° - 2,V ZCAEZACE+ZAEC=180 且ZACE= ZAEC,：.ZAEC=45°+a, ZAEC - ZED=45o:（3）如图，过点C作CG丄&H于G,ZfEH=459CAHLBE. ZFHE= ZFEH=45°,：.EF=FH9 且 ZffH=90%:EH=忑 EF,VZFH£=45 CG丄FH,；

41、 ZGCH= ZFHE=45°,* GC=GH,.CH=JCG,TZBAC=ZCG4 = 90°, ZBM+ZGAG=90°, ZCAGZACG=90：.ZBAF= ZACG9 SLAB=AC9 ZAFB=ZAGC,：.AFBCGA (AAS)：.AF=CG.：.CH=SI2 AF.T 在 RtZiAFF 中，AE2=AF2EF29：.(2F) 2+ (EF) 2=2AE：.EH2CH2 = IAE2.【点睛】本题是综合了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判沱的动点问题，三个问题由 易到难，在熟练掌握各个相关知识的基础上找到问题之间的内部联系，层层推进去解答

42、是 关键.24. (I)见解析；(2)见解析：®2.【分析】(1) 当F两点重合时，贝J AD=CD,然后由等边三角形的性质可得ZCBD的度数，根据 等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得ZF的度数，于是可得ZCBD与ZF的关系，进 而可得结论：(2) 过点E作EH/BC交M于点乩 连接BQ如图4,则易得"比是等边三角形，根 据等边三角形的性质和已知条件可得EH=CF, ZBHE=ZECF=I20o, BH=EC,于是可根据SAS 证明厶BHEm厶ECF,可得ZEBH=ZFEC,易证'BAE竺HBCD、可得ZABE=ZCBD,从而有 ZFEC=ZCBD,然后根据三角

43、形的内角和定理可得ZBGE=ZBCD,进而可得结论； 易得ZBEG=90。,于是可知NBEF是等腰直角三角形，由30。角的直角三角形的性质和等 腰直角三角形的性质易求得3E和3F的长，过点F作FM丄8F于点F,过点C作C丄EF于 点N,如图5,则ABEg EMF和 CFW都是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形 的性质和30°角的宜角三角形的性质可依次求出BM. MC. CF、FN、CN、GN的长，进而 可得'GCN也是等腰直角三角形，于是有Z CG=90o,故所求的'BCG的而积 丄BC CG,而BC和CG可得，问题即得解决.2【详解】解：(1) V ABC 是等

44、边三角形， ZABC=ZACB=60当 D、E 两点重合时，则 AD=CD9 ：. ZDBC = -ZABC = 30o t2： CF = CD , AZF=ZCDF,V ZFZCDFZACB=60Qf ：. Zf=30o, ZCBD=ZF, ：. BD = DF:(2)V AABC 是等边三角形， ZABC=ZACB=60 AB=AC, 过点E作EH/BC交AB于点、H、连接BF,如图4,则ZAHE=ZABC=60°, ZAEH=ZACB=60:AHE 是等边三角形，/.AH=AE=HE9 二BH=EC,V AE = CD9 CD=CF. ：. EH=CF.又. ZBHE= ZEC

45、F二 120° , ：. ABHEAECF (SAS), ZEBH=ZFEC. EB=EF.9.9BA=BC9 Z=Z>4C=60o, AE=CD9：.ABAEBCD (SAS) , ZABE=ZCBD. ： ZFEC=ZCBD,： ZEDG=ZBDc, ：. ZBGE=ZBCD=60 V ZGE=60 ZEBD=30°9 ：. ZSfG=90o,EB=EF, ：. ZF=ZEBF二45°,V ZfG=30o, BG=4, ：EG=2、BE=2 * ,f=2BE = 26 > GF = 2J-2, 过点F作EM丄BF于点F,过点C作CZV丄EF于点/,

46、如图5,则 BEM、 FMF和 CFN 都是等腰直角三角形，. BM=ME = MF =品,VzC=60o, . ZMFC=30°, . fC = 2 » BC = 6 + 2 . CF = 26-6-2=6-2 ,C7V = F = -×(6-2) = 3-l.2.Gv = GF-F = 23-2-(3-l)=3-l = cv,.,.ZGCN = ZCGN = 45o, /. ZGCF=90。=Z gcb, CG = CF = A-VL.BCG 的而积=-BCCG=-(6 + 2)(6-2) = 2.2 2故答案为:2.【点睛】本题考查了等腰三角形与等边三角形的

47、判泄和性质、全等三角形的判泄与性质、等腰宜角 三角形的判定与性质、30。角的宜角三角形的性质和勾股定理等知识，涉及的知识点多、难 度较大，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判左与性质是解题的关键，灵活应用 等腰直角三角形的性质和30。角的直角三角形的性质解题的关键.25. (1) 详见解析：(2) CD =旦4屆一至 (/? > 1 ) : (2) 2 2AD-BD =迈CD，理由详见解析【分析】(1) 根据勾股左理的逆左理进行判断：过点C作CE丄CD交DB的延长线于点E,利用同角的余角相等证明Z3=Z4, Zl=ZE, 进而证明厶ACD幻ABCE,求岀DE的长，再利用勾股泄理求解即可

48、.(2) 过点C作CF丄CD交BD的延长线于点F,先证ZACD=ZBCF,再证 ACD仝ZkBCF, 得CD=CF, AD=BF,再利用勾股定理求解即可.【详解】(1) ADI + BD2 = (/Z2 -1)2 + (2町2 = (2 )2 - 2/r +1 + 4/r= Or) +2n2 +1 =(z2 + 1) 又. ab2=(2 + i)2 AD2 + BD2 = AB2abd是直角三角形如图，过点C作CE丄CD交DB的延长线于点E,. Z3+ZBCD=ZACD=90o, Z4+ZBCD=ZDCE=90oZ3=Z4由知AABD是直角三角形. Zl + Z2 = 90o又 Z2+ZE =

49、 90oAZl=ZE1ACZ)和 ABCE 中，ZA = ZE< Z3 = Z4AC = BCACDBCE：.CD = CE, AD = BE.,.DE = BDBE = BD + AD = 2n + Hl -1 又 YCD = CE, ZDCE = 90。由勾股泄理得DE = yCD2 + DEl = 2CZ) CD = !L1 = Z2 + 2:-5>1)2 2 2(2) AD、BD、CD的数量关系为：AD-BD =迈CD， 理由如下：如图，过点C作CF丄CD交BD的延长线于点F,B ZACD=ZBCfVBD±AD ZADB=90oZ6+Z7=90oT ZACB=90

50、oZ9=Z8=90o又 VZ6=Z8Z7=Z9MCZ）和 ABCF 中Z9 = Z7AC = BCZACD = ZBCFACDBCFCD=CFt AD=BF又 V ZDCF=90°.由勾股定理得DF = CD2 + CFl = y2CD又 DF=BF-BD=AD-BD AD-BD =迈CD【点睛】本题考查的是三角形全等、勾股定理及苴逆左理，掌握三角形全等的判左方法及勾股左理 及其逆建理是关键.26. （1） 2，23（2）证明见解析（3） IL （4）迹或空733【分析】（1）根据含有30°角的直角三角形的性质可得BC=2,再由勾股左理即可求出AC的长；（2）由劭为AB垂直

51、平分线可得DB=DA,在RtBDE中，由勾股左理可得BD=4,可得 BD=2BE,故ZBDE为60° ,即可证明ABD是等边三角形；（3）由（1） （2）可知，AC=23 , AD=4,进而可求得CD的长，再由等积法可得 ½ffMCHD = SftBCD + ACD » 代入求解即可；（4）分点P在线段AC上和AC的延长线上两种情况，过点E作AC的垂线交AC于点Q, 构造RtZkPQE,再根据勾股定理即可求解.【详解】（1）/ RtMBC, ZACB = 90。，ZBAC = 30。，斜边 AB = 4, BC = IAB = 2, AC = AB2-BC2=23

52、 :（2）/ ED为 AB 垂直平分线，.ADB=DA,在 RtBDE 中，V BE = AE = -AB = 2, DE = 23 »2 BD = y/BE2+DE2 =4 BD=2BE> ZBDE 为 60° ,ABD为等边三角形；（3）由（1） （2）可知，AC=23 > AD二4, CD = AC2÷AD2=27，* XiJfJACfiD = »BCD + S.acq ,-（BC+ AD）×AC = -AC×AD + -BFxCD ,2 2 2（4）分点P在线段AC上和AC的延长线上两种情况, 如图，过点E作AC的

53、垂线交AC于点Q,VAE=2, ZBAC=30° , EQ=I, VC=23 , ： CQ = QA=® 若点P在线段AC ±,则 PQ = CQ-CP=3- 3=-33PE = JPQr+ EQ匚辽:若点P在线段AC的延长线上，则 P0 = CQ + CP=J +扌J=孕， PE = yPQ2 + EQ2 =:综上，PE的长为或迺.33【点睛】本题考查勾股左理及其应用、含30°的直角三角形的性质等，解题的关键一是能用等积法 表示并求出BF的长，二是对点P的位苣要分情况进行讨论.27. (1)见解析；(2) BC = 27 【分析】(1) 由等边三角形的

54、判左定理可得AABD为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可 得出结论.(2) 连接AC交BD于点O,由题意可证AC垂直平分BD, ABD是等边三角形，可得 ZBAO=ZDAO=30o , AB=AD=BD=8, BO=OD=4,通过证明AEDF 是等边三角形，可得 DE=EF=DF=2,由勾股定理可求OC, BC的长.【详解】(1) 证明：'：AB = AD, ZA=60°,.,.ABD是等边三角形.：.ZADB = 60°. CEil AB、 ZCED = ZA = 60°. ZCED = ZADB (2) 解：连接AC交BD于点0,V AB = AD, BC = DC,. AC垂直平分3D. ZBAO = ZDAO = 30° VABD是等边三角形，AB = S°. AD = BD = AB = 8 ,* BO = OD = 4 '：CEHA B、 ZACE = ZBAO.： AE = CE = 6, DE = AD-A