数字信号处理程佩青离散时间信号与系统新PPT课件

1、11.1 离散时间信号序列1. 1.离散时间信号离散时间信号序列的定义序列的定义2.2.序列的运算序列的运算3.3.几种常用序列几种常用序列4. 4.序列的周期性和能量序列的周期性和能量返回本章第1页/共92页21.离散信号序列的定义信号：是消息的表现形式，消息则是信号的具体内容。 信号可以定义为一个传载信息的函数，在信号 处理领域中，信号被定义为一个随机变化的物 理量。离散信号：离散时间信号是时间为离散变量的信号，是时间上不连续的序列。 表示方法：x nT简化 x nn是整数，不是整数时没有定义，不能认为零。离散时间信号在nT点上的值，也就是序列的第n个采样。第2页/共92页31.离散信号的

2、定义x nT序列的表示方式:为了方便 x n公式表示法：图形表示法：离散时间信号的图形表示返回本节第3页/共92页42.序列的运算主要包括卷积和移位翻褶和积累加差分第4页/共92页5序列的运算移位移位移位：3m 1( )()y nx nm2( )()ynx nm整个序列移动)(nx第5页/共92页6 序列的运算序列的运算翻褶翻褶翻褶翻褶：设某一个序列 x(n) ，则x (-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶。第6页/共92页7序列的运算和、积和：z(n)=x(n)+y(n)注意：时刻对齐第7页/共92页8序列的运算累加累加：累加：设某个序列x(n)，则序列x(n)的累加序列y(

3、n)定义为： nky nx k含义：y(n)在n0上的值等于序列x(n)在n0处的值以及n0 以前的所有n上的值之和。 11220nx n1n 1n 例：第8页/共92页9序列的运算累加 111220knky n1n 1n 累加累加后的图形累加第9页/共92页10序列的运算差分差分：差分：设某个序列x(n)，则序列x(n)的差分定义为： 1x nx nx n 1x nx nx n前向差分：后向差分： 1x nx n 1x nx n 11220nx n1n 1n 例：第10页/共92页11序列的运算差分 10111 11 11 12 22 24 2nnnx nx nx n 10111 11 11

4、 12 22 22 2nnnx nx nx n 1n 1n 1n 2n 2n 2n 前向差分后向差分第11页/共92页12序列的运算差分前向差分图形后向差分图形第12页/共92页13序列的运算卷积和卷积和：卷积和：设两个序列为x(n)，h(n)，则序列x(n)和序列h(n) 的卷积和定义为： my nx m h nmx nh n卷积和是求离散线性时不变系统输出响应(零状态响应)的主要方法。卷积和的运算在图形表示上可分为四步： 翻褶、移位、相乘、相加第13页/共92页14序列的运算卷积和翻褶移位相乘相加先在原变量坐标m上作出x(m)和h(m)，将h(m)以m=0为对称轴翻褶成h(-m)。将h(-

5、m)移位n得到h(n-m)；n为正整数时，右移n位；n为负整数时，左移n位。将x(m)和h(n-m)的相同m值的对应点值相乘。把以上所有相同点的乘积值叠加起来，得到y(n)。第14页/共92页15序列的运算卷积和第一步翻褶例： 10h n 120nx nn其他 13nn其他 02n第15页/共92页16序列的运算卷积和第二步移位第三、四步相乘、相加第16页/共92页17序列的运算卷积和 31my nx nh nx m h nm一般对两个序列的卷积进行求解时，往往需要分成几个区域来考虑。仍依上面的例子为例来进行一下说明：！之所以要分段求解，是因为不同时间段上求和范围不同第17页/共92页18分段

6、考虑：（1）n1时， x(m)和h(n-m)相乘时处处为零，故 y(n)=0 n1（2） 时，x(m)和h(n-m)有交叠相乘的非零项是从m=1到m=n,12n 111111222nnmmy nx m h nmmn12n序列的运算卷积和第18页/共92页19（3） 时， x(m)和h(n-m)有交叠相乘的非零项的m下限的范围是变化的，n=3、4、5分别对应m的下限为m1、2、3；m的上限为3。 325442myx m hm 353532yxh（4） 时， x(m)和h(n-m)没有非零的交叠部分，故 0y n 6n 35n 31333myx m hm序列的运算卷积和第19页/共92页20 卷积

7、的性质： y nx nh nh nx n卷积和与两序列的先后顺序无关。返回本节序列的运算卷积和第20页/共92页213.几种常用序列单位抽样序列单位抽样序列101( )()000nnknnknnk( )()kp nnk如何表达注意与连续时间信号与系统中单位冲激函数 的区别 t第21页/共92页22单位冲激信号（Drac 函数）)()()(xdtttx( )1( )0,0t dttt第22页/共92页23( )()kp nnk脉冲串： 或写为 = , 1 , 1 , 1 , 将 用 来替换snTn( )p n冲激串：()( )sx nTx n离散序列( )()skp ttkT()( ) ( )(

8、 )()ssnx nTx t p tx ttnT第23页/共92页24单位抽样序列移位加权和的形式。 0 x nx mnm用单位抽样序列表示任意序列： mx nx mnm两种表述方式 和 的卷积和。 x n nmnmn3.几种常用序列第24页/共92页25单位阶跃序列单位阶跃序列 10u n0n0n注意与连续时间信号与系统中单位冲激函数 的区别 u t3.几种常用序列第25页/共92页26单位抽样序列与单位阶跃序列之间的关系： 1nu nu n 0mmku nu mnmnmk后向差分累加令n-m=k3.几种常用序列第26页/共92页27矩形序列矩形序列 10NRn01nNn其他 3.几种常用序

9、列第27页/共92页28矩形序列与单位抽样序列及单位阶跃序列之间的关系： NRnu nu nN 10NNNmmRnRmnmnm3.几种常用序列第28页/共92页29实指数序列实指数序列 nx na u n1a a实数序列收敛1a 序列发散3.几种常用序列第29页/共92页3001020304050607000.20.40.60.8101020304050607000.20.40.60.81指数信号 ( ),( )x tx n第30页/共92页31复指数序列复指数序列 0ajnx ne 0jnx ne0或是数字域频率3.几种常用序列第31页/共92页32正弦型序列正弦型序列 0cosx nAnA

10、是幅度0是数字域频率是起始相位返回本节3.几种常用序列第32页/共92页3300( )sin(2)sin()x tAf tAt 正弦型序列正弦型序列( : Hz; 0 : rad/s; : 抽样频率, Hz )0fsf( )( )|sin(2/)st nTsx nx tAfnf定义：002/()sffrad0( )sin()x nAn数字频率3.几种常用序列第33页/共92页34010203040506070-1-0.500.51010203040506070-1-0.500.51 ( )x t( )x n第34页/共92页354.序列的周期性和能量 如果对于所有n，存在一个最小的正整数N，满

11、足： x nx nN则称x(n)为周期性序列，周期为N。u序列的周期性序列的周期性下面讨论正弦型序列的周期性：第35页/共92页36 0sinx nAn000sinsinx nNAnNAnN如果02Nk且正弦序列为周期性序列，其周期满足k为整数时 x nx nN02kNN，k为整数。4.序列的周期性和能量第36页/共92页3702分情况讨论：（1）当 为整数时，则当 时 ， 为最小正整数，正弦序列的周期为 。0202QP，为最小正整数1k 02（2）当 不是整数，而是有理数时，设 ，其中Q、P为互素的整数，要使得 是最小正整数，只有使QNkPkPNQ，即时（3）当 为无理数时，任何k均不能使N

12、 为正整数，正弦序列不是周期的。02N024.序列的周期性和能量第37页/共92页380( )sin()x nn02/02/200 200N )1.0sin()(nnx02/20 无周期20N( )sin(0.01)x nn4.序列的周期性和能量第38页/共92页39u序列的能量序列的能量 定义：序列的能量是序列各抽样值的平方和。 2nEx n返回本节4.序列的周期性和能量第39页/共92页401.2 线性移不变系统1. 离散时间系统的定义2.什么是线性移不变系统3.线性移不变系统的单位抽样响应表示法4.线性移不变系统的性质5.系统的稳定性与因果性返回本章第40页/共92页41 1.离散时间系

13、统的定义 y nT x n离散时间系统：离散时间系统：离散系统在数学上定义为将输入序列离散系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出序列映射成输出序列y(n)的惟一性变换或运算。亦即将一个序列变的惟一性变换或运算。亦即将一个序列变换成另一个序列的系统，记为：换成另一个序列的系统，记为：第41页/共92页42连续系统的描述：微分方程, 卷积，转移函数（Laplace变换）, 频率响应（Fourier 变换）离散系统的描述：差分方程, 卷积，转移函数（Z 变换）, 频率响应（DTFT, DFT）本课程讨论的本课程讨论的“线性移不变系统线性移不变系统”是离散时间系统。是离散时间系统。返回本节 1

14、.离散时间系统的定义第42页/共92页432.什么是线性移不变系统线性移不变系统：线性移不变系统：是指具有线性和移不变特性的是指具有线性和移不变特性的系统。系统。(1) (1) 系统的线性特性系统的线性特性 满足叠加原理的系统具有线性特性这里包含了两个性质：可加性和比例性（齐次性）1122( )( )( )( )T x ny nT x ny n1122 ( )( )( )( )T x ny nT x ny n nynynxnxT2121)()(第43页/共92页44含意：该系统满足迭加原理2.什么是线性移不变系统第44页/共92页45)()()()(knyknxTnynxT2.什么是线性移不变

15、系统第45页/共92页46离散系统的移不变特性含意： 移不变性质保证对给定的输入，系 统的输出和输入施加的时间无关。2.什么是线性移不变系统第46页/共92页47线性移不变系统模型返回本节2.什么是线性移不变系统第47页/共92页483.线性移不变系统的单位抽样响应表示法线性移不变系统可用它的单位抽样响应来表示线性移不变系统可用它的单位抽样响应来表示（1 1）单位抽样响应：）单位抽样响应：是指输入为单位抽样序列时，系统的输出。一般用h(n)来表示。即： h nTn知道h(n)，就可以求出系统的输出。第48页/共92页493.3.线性移不变系统线性移不变系统的单位抽样响应表示法的单位抽样响应表示

16、法（2）线性移不变系统的表示：）线性移不变系统的表示：设输入为x(n),输出为y(n),系统的输出y(n)可以表示成输入x(n)与单位抽样响应h(n)的卷积和的形式。即： y nx nh n下面我们来推导一下这个公式：非常重要的公式第49页/共92页503.3.线性移不变系统线性移不变系统的单位抽样响应表示法的单位抽样响应表示法我们知道序列x(n)可以用单位抽样序列来表示： mx nx mnm系统的输出y(n) 为： mmmy nTx mnmx m Tnmx m h nmx nh n叠加性 线性移不变性返回本节第50页/共92页514.线性移不变系统的性质 y nx nh nh nx n 12

17、121221x nh nhnx nh nh nx nh nhnx nhnh n第51页/共92页52h1(n)h2(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n)x(n)y(n)=h1(n) *h2(n)x(n)y(n)= 这就是说，两个线性移不变系统级联后仍构成一个线性移不变系统，其单位抽样响应为两系统单位抽样响应的卷积和，且线性移不变系统的单位抽样响应与它们的级联次序无关。4.线性移不变系统的性质第52页/共92页53 1212x nh nhnx nh nx nh nh1(n) +h2(n)x(n)y(n)x(n)y(n)h1(n)h2(n)+=返回本节这就是说两个线性移不变系统的并联等式右端)

18、等效于一个系统，此系统的单位抽样响应等于两系统各自的单位抽样响应之和(等式左端)。4.线性移不变系统的性质第53页/共92页545.5.系统的稳定性与因果性系统的稳定性与因果性一个线性移不变系统是稳定系统的充分必要条件是： nh nP 输入有界输出也有界第54页/共92页555.系统的稳定性与因果性( )( ) ()( )()( )kkky nh k x nkh kx nkMh k 其中假设x(n)M。因为：第55页/共92页565.系统的稳定性与因果性( ) ( ), (), ()0,0y nf x nx nky nmkm),2(),1()( nxnxfny非因果系统因果系统含意：一个实际的

19、物理系统，其当前时刻的输出只能和当前时刻的输入、过去时刻的输入与输出有关，而不能和将来时刻的输入与输出有关。第56页/共92页57第57页/共92页58例1:( )( )y nnx n11122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )y nT x nnx ny nT x nnx nletx nx nx n如何判断：线性？移不变？ 因果？稳定？线性！121212( ) ( )( )( )( )( )( )( )y nT x nnx nx nnx nnx ny ny n则第58页/共92页59所以： 系统对 的输出是( )x n( )nx n对 的输出是()x nk()nx n

20、k 而：由于：( )( ) ( )y nnx nT x n()() ()y nknk x nk所以：() ()y nkT x nk本系统不具备移不变性！第59页/共92页60( )( )y nnx n另外，系统是因果的，但不是稳定的( )(1)( )y nay nx n例2：本系统是线性系统、非移不变系统、因果系统，如果 则该系统是稳定的。1a (0)0y边界条件第60页/共92页6111122212( )( )( )( )( )( )( )( )( )T x ny nAx nBT x ny nAx nBx nx nx n121212 ( )( )( )( )( )( )( )T x nAx

21、nx nBA x nA x nBy ny n( )( )y nAx nB例3：所以本系统是非线性系统第61页/共92页62例4：系统)()()()() 1()(2nxnynxnynxny线性、移不变性、因果性、稳定性是对系线性、移不变性、因果性、稳定性是对系统的基本要求。希望能掌握判断的方法。统的基本要求。希望能掌握判断的方法。非线性系统的研究不在本课的范围。非线性系统的研究不在本课的范围。返回本节第62页/共92页631.3 常系数线性差分方程 1.常系数线性差分方程的表示及求解方法 2.用迭代法求差分方程求单位抽样响应返回本章第63页/共92页641. 1.常系数线性差分方程的表示及求解方

22、法常系数线性差分方程的表示及求解方法00NMkmkma y nkb x nm（1）常系数线性差分方程）常系数线性差分方程用来表示离散时间线性移不变系统的输入输出关系。常用以下形式表示：常系数：ak，bm是常数。阶数：未知序列y(n)的变量序号的最高值和最低值之差。线性：y(n-k)，x(n-m)各项都只有一次幂，且不存在相乘项。第64页/共92页65（2）求解方法）求解方法 序列域（离散时域）求解法：a.迭代法；b.时域经典解法；c.卷积和计算法。 变换域求解法：z变换法。第65页/共92页662.2.用迭代法求差分方程用迭代法求差分方程求单位抽样响应求单位抽样响应 差分方程在给定输入和给定边

23、界(起始)条件下，可用迭代的办法求系统的响应。如果输入是 这一特定情况，响应就是单位抽样响应h(n)。 n例： ，假设该系统是因果系统，试求其单位抽样响应。 0,0y nh nn 1y nay nx n x nn解：设 ，对于因果系统，必有 1y nh nah nn第66页/共92页67 1000hahaa 100nnh nah naa 222100hahaa依次迭代求得所以系统的单位抽样响应为 0nah n00nn若|a|1，则系统是稳定的。第68页/共92页69 同样，个常系数线性差分方程，只有当边界条件选的合适时才相当于一个线性移不变系统。仍考虑上面给出的例题当边界条件选为y(0)1时，

24、则系统不是移不变系统，也不是线性系统；当边界条件选为y(0)0时，则相当于线性系统，但不是移不变系统；当边界条件选为y(一1)0时，则该系统才相当于线性移不变系统。 返回本章第69页/共92页701.4 1.4 连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样1.抽样2.理想抽样与实际抽样3.抽样定理奈奎斯特定理4.抽样的恢复（重构）返回本章第70页/共92页711. 1.抽样抽样抽样抽样 将连续信号变成离散信号是通过抽样来完成的。抽样就是利用周期性抽样脉冲序列p(t)从连续信号xa(t)中抽取一系列的离散值，得到离散时间信号用 表示。设p(t) 的周期为T，则T称为抽样周期，T的倒数称为抽样频率或抽样率

25、，记为： fS=1/T axt第71页/共92页721. 1.抽样抽样连续信号的抽样返回本节第72页/共92页732.2.理想抽样与实际抽样理想抽样与实际抽样 在对连续时间信号的抽样中，我们选取周期为在对连续时间信号的抽样中，我们选取周期为T、脉宽为、脉宽为 的周期性脉冲序列的周期性脉冲序列p(t)p(t)作为抽样序列。作为抽样序列。0 Tt Tt冲激函数序列 为： TmttmT第73页/共92页742.2.理想抽样与实际抽样理想抽样与实际抽样 axt理想抽样输出 为： aaTamamxtxttxttmTxmTtmT第74页/共92页752.2.理想抽样与实际抽样理想抽样与实际抽样T第75页/

26、共92页762.2.理想抽样与实际抽样理想抽样与实际抽样连续时间信号的抽样返回本节第76页/共92页773.3.抽样定理抽样定理奈奎斯特奈奎斯特定理定理第77页/共92页783.3.抽样定理抽样定理奈奎斯特奈奎斯特定理定理设信号xa(t)为限带信号，最高频率为 aaTxtxtt FFFaaTTaaXjxtjtXjxt 12aaTXjXjj 式中各项的傅里叶变换傅里叶变换 jaaaXjF xtxt edt h第78页/共92页793.3.抽样定理抽样定理奈奎斯特奈奎斯特定理定理由于 是周期函数，所以可以表示成傅里叶级数，有 sjktTkktA e Tt此级数的基频即为抽样频率：1sfT2sT 系数Ak可以表示为： 2222221111sssTTjktjktTTkTmTjktTAt edttmT edtTTt edtTT第79页/共92页803.3.抽样定理抽样定理奈奎斯特奈奎斯特定理定理 1sjktTkteTTj所以 112ssjktjktTTkkssskkjteeTTkkT FFF12aaTXjXjj 将 的值代入式中，得到第80页/共92页813.3.抽样定理抽样定理奈奎斯特奈奎斯特定理定理122112asakskkXjkXjTXjjkTXjjkTT 由此可以看出，连续时间信号