等比数列的前n项和教学设计(第一课时)(共6页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上等比数列的前n项和教学设计（第一课时） 李思齐一、教材分析1.在教材中的地位与作用在数列一章中，等比数列的前n项和是一项重要的基础内容，从知识体系来看，它不仅是等差数列的前n项和与等比数列的顺延，也是前面所学函数的延续，实质上是一种特殊的函数，而且还为后继深入学习提供了知识基础，错位相减法是一种重要的数学思想方法，是求解一类混合数列前n项和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用；从知识结构和人文价值来看，等比数列与等差数列是平行结构关系，两者之间存在着一定联系，可以进行类比，拓展学生发现、创新的能力，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，

2、有助于培养学生的创新思维和探索精神,是增强学生应用意识和数学能力的良好载体；从知识的应用价值来看，它是从大量现实和数学问题中抽象出来的一个模型，前n项和公式的推导过程中蕴涵了基本的数学思想方法，如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常出现。等比数列的前n项和在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。2教材编排与课时安排 提出问题问题解决等比数列前n项和公式推导强化公式运用（例题与练习）。教师教学用书安排“等比数列的前n项和”这部分内容授课时间2课时，本节课作为

3、第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导过程，并充分揭示公式的结构特征和内在联系。二、教学目标分析依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特点，确定本节课的教学目标如下：【知识与技能】 理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题，一是已知等比数列基本量而求其前n项和；二是已知前n项和而逆向求解数列基本量；三是基本思想方法（错位相减法）的运用。【过程与方法】 感悟并理解公式的推导过程，感受公式探求过程所蕴涵的从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质，初步提高学生的建模意

4、识和探究、分析与解决问题的能力。【情感、态度与价值观】 通过经历对公式的探索过程，对学生进行思维严谨性的训练，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美和数学的严谨美。三、重、难点分析【教学重点】 等比数列前项和公式的推导及其简单应用。从知识体系看，为后继学习提供了知识基础，具有承上启下的作用；就知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培养来说，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力。【教学难点】 等比数列前项和公式推导方法的理解。从学生认知发展水平看，探究能力和用数学语言交流的能力有待

5、提高。从知识特点看，等比数列前n项和公式的推导与等差数列的前n项和公式的推导的可比性低，无法进行类比推导，需要充分理解等比数列的概念和性质，并能整合知识，做到融会贯通，而这对学生却是比较困难的，何况错位相减法是初次接触，对学生来说是很新鲜的，因此，教师在发挥学生主体性前提下要给予适当的提示和指导。四、学情与教法分析1学情分析从学生思维特点和认知结构看，前面学生已经深入学习过函数、等差数列及其前n项和等知识，一方面容易把本节内容与等差数列前n项和进行类比，另一方面，本节的公式推导所要求的计算量更大，思维的深刻性更高。而且对q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后继学习使用过程中往往会

6、出错。对高一下学期的学生而言，虽然具有一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但缺乏冷静、深刻，思维上具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。2教法分析根据学生认知发展水平和心理结构特点，结合教学内容的难易程度，在教学过程中可以利用计算机多媒体和实物投影等辅助教学，以建构主义理论为指导，采用引导启发教学法和探究-建构教学相结合的教学模式，着重于学生的发现、探索和运用，并辅以变式教学，注意适时适当讲解和演练相结合。 3教学构想等比数列前 n项和公式的推导是本节课的重点内容，要积极引导学生观察实例，发现规律，类比推理，推导归纳，总结反思，增强认知，强化运用。

7、教学中可以给出等比数列前 n项和公式推导的其他方法，以提高学生学习的兴趣，开拓学生的思维视野。例题和巩固练习的选择要全面，不能忽略q=1的情况，注意分类讨论思想的渗透。通项公式与前 n项和公式的综合运用涉及五个基本量，要对已知其中三个量求另两个量进行强化训练，但要注意避免难度较大的指数方程的求解。还要适当补充可以转化为等差数列、等比数列求和的混合数列求和问题。五、教具准备教科书（苏教版·必修5） 多媒体课件和操作系统 六、教学过程教学环节教 学 过 程设计意图教 学 内 容教 师 活 动学 生 活 动问题情境传说在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，国王大为赞赏，要奖励西萨,问

8、他有什么要求, 西萨说：“请在棋盘第1个格子里放1颗麦粒,在第2个格子里放2颗麦粒,在第3个格子里放4颗麦粒,在第4个格子里放8颗麦粒,依此类推,每个格子里放的麦粒数都是前一格子里所放麦粒数的2倍,直到第64个格子.请给我足够粮食来实现上述要求!”国王说：“简单！来人,快办。”然而,过几天,手下急匆匆跑来,不好啦,不好啦!你猜怎么了?你知道西萨要多少粒小麦吗？打开多媒体课件，动画语音展示故事情境，展示结束后引导、启发学生分析、思考问题聆听故事，感受数学问题的情景化，趣味吸引的同时有自己的猜测，并在教师的引导、启发后展开自己的思维分析以故事引题,激发学生学习兴趣和热情，调动学习积极性，领悟数学应

9、用价值。探究问题 求S64=1+2+22+23+263=？法1：观察类比S1=1S2=1+2=3S3=1+2+22=7S4=1+2+22+23=15 依此类推，S64=2641法2：提取公比2，解方程求S64 法3：错位相减法S64=1+2+22+23+263 2S64= 2+22+23+24+264相减得 S64=1264 S64=2641经测算，需要麦粒1.84×1019粒，约7000亿吨，这么多小麦沿地球表面可铺3厘米厚，能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年粮食产量的459倍，古印度国王显然无法满足西萨的要求。肯定学生的想法和不完全归纳所得出的结果。引

10、导、启发学生观察，寻求等式规律，启发学生发现方法，若提取公比2后便构造出一个方程，就可求出。若是乘以公比2，则所得新等式与原式有63项相同，两式相减可消去63项，达到计算化烦为简的目的，突破难点。 通过提问，使学生体会“乘以2”的作用，注意小结操作方法，为下面的公式推导做好准备。 板书必要步骤，供学生理解和模仿。观察、尝试、讨论、探究，欲解决引言问题，但苦于没思路。部分学生试图找规律，归纳结果（法1）。在师生相互交流中思维逐步展开，动笔演算，感受方程思想和错位相减法的奥妙，体会数学的应用价值，同时感受了错位相减法的优势。感受和惊叹结果的“大”！ 进一步激励学习的主动性。通过引言实例的探究解决，

11、使学生感受数学的应用价值，同时也为下面的学习作好铺垫，在特殊具体的问题情境中蕴涵着一般的规律和方法，激励学生模仿创新，作好认知准备。建构数学 一般化，等比数列前n项和怎么求呢？法1： 于是（1q）Sn=当q1时,Sn=当q=1时, Sn=na1。法2：提取公比q 当q1时,Sn=当q=1时, Sn=na1。法3：类比归纳（不必证明，但须说明）。S1=a1S2=a1+a2=a1+a1q=a1(1+q)S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1(1+q+q2)Sn=a1+a2+an=a1(1+q+q2+qn-1)当q1时,Sn=当q=1时, Sn=na1法4： =q由等比定理 当q1时,

12、Sn=当q=1时, Sn=na1。引导启发学生联想、类比、抽象，鼓励学生由特殊到一般，自主探究等比数列前n项和公式，通过反问，引导学生分类讨论，突破难点。学生在引例启发和老师指导下，基本上能用错位相减法完成公式的推导，但对字母运算存在着一定的困难，教师需适时适当提示并板书，演示字母运算。在用错位相减法推导后，为开阔学生思维视野，教师要及时总结方法，并引导学生分析，师生合作交流，尝试多种方法来探究公式的推导。适当板书关键步骤，注意语音语调，激励学生展开联想、分析、训练学生的思维。在教师指导下，从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，自己探究公式，体验到学习的愉快和成就感。受引例的启发，基本能用错位

13、相减法推导出结果，但不完善，在老师的提示下，经历分类讨论的思维过程。感受变式教学对数学思维的训练，通过积极主动的课堂数学思维活动的参与，进一步提升自己认知结构的深刻性和广泛性，增强自己的数学运算能力。经历数学发现的过程，体会数学建构所带来的成就感，并学会交流，学会合作。发挥学生学习主体性和参与积极性，从特殊到一般,从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提高，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单模仿接受变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力。 多种方法推导，扩展学生思维视野，变式教学有利于培养学生发散思维和创新精神。1）推理成果 当q1时,Sn=

14、当q=1时, Sn=na12）公式的理解 知三求二：n q a1 an Sn n的含义：项数（通项公式是qn1） q的含义：公比（注意q=1，分类讨论） 错位相减法：乘公比（作用是构造许多相同项）后错开一项后再减。提问，师生对话交流，引导学生分析、剖析公式的内在结构，注意强调注意点。归纳小结、理解提升、反思整理、强化记忆，加强认知。剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式，及时总结、巩固、强化探究成果，提高认知的深度。巩固提高自主巩固练习：1等比数列中a1=4，q=，则Sn= 2等比数列中a1=，q=，则Sn= 3= 4 5 打开课件，师生合作交流，通过提问，引导学生思维逐步深入。模仿套用公式作

15、答，强化对公式的理解，思维训练深刻性加强，体会分类讨论思想。直接和变式套用公式， 强化对公式的理解和识记，通过分类讨论思想的渗透，提升思维层次。例1：已知an为等比数列， a1=1，ak=243，q=3，求Sk。 a3=，S9=，求a1和q。a1=4，q=，an=，求Sn。例2： 数列1，2，22，23，2n，中，求第5项到第10项的和。法1：所求和等于S10S4，再用公式计算。法2：第5项到第10项构成首项为16，公比为2的数列，共有6项，再用公式计算。例3：求数列n+的前n项和。 变式1：求数列n+an的前n项和。变式2：求1+ +。打开课件，适时适当点拨提示，引导学生分析，启发学生思维，

16、师生合作交流，强化学生对知识的应用和理解，提升学生的思维品质。自主练习，个别学生板书，在老师的指导和启发下，训练自己的思维，强化对知识的应用，感受变式教学对思维的熏陶，达到巩固、灵活运用知识的目的。进一步研究公式特点，增强公式的应用，促进学生数学认知结构的形成，深化对公式的认识和理解。一题多解及变式教学,有利于提高学生思维的梯度、深度和灵活性总结反思1一个公式：等比数列前n项和 当q1时,Sn=当q=1时, Sn=na12一个方法：错位相减法（乘以公比）3一个思想：分类讨论（公式选择）提问，在师生相互交流的同时打开课件， 帮助学生整合所学知识。回忆总结所学知识，加深印象。整理、归纳所学知识，完

17、善学生认知结构和知识体系，明确本节学习内容。作业布置教材58页“感受·理解”中第1、2、7题。口述聆听，作记号巩固知识七、板书设计 等比数列前n项和投 Sn=a1+a2+an1+an=？ 例1： S64=1+2+22+23+263=？影 仪 例2：接 收 例3：屏 幕 八、教学设计说明问题情境故事化。采用语音动画形式叙述故事来创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生的探究欲，让学生感受数学的应用价值，通过问题的解决，在特殊方法之中蕴涵一般规律，使学生自己去体会其中的思想方法，为进一步学习奠定基石。问题情境与公式推导探究活动化。教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生思考

18、、分析时间、讨论研究和交流展示思维的机会，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验数学学习成功的喜悦。通过师生之间不断对话合作交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。通过教师的积极引导和启发，借助于变式教学的模式，培养学生思维的发散性、深度与广度，加深学生对知识的理解。巩固练习结构、层次化。在理解公式的基础上,及时进行必要的思维训练练习，强化对公式的理解和运用。通过例题的板书和分析，进一步强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，优化知识体系，加强对数学思想方法的感悟。板书设计人性化。必要的推理和演算过程板书在