九年级抛物线知识点

1、九年级抛物线知识点【篇一：九年级抛物线知识点】右开口抛物线：右开口抛物线：y2=2pxy2=2px抛物线抛物线左开口抛物线：左开口抛物线：y2= -2pxy2= -2px上开口抛物线：上开口抛物线：x2=2pyx2=2py下开口抛物线：下开口抛物线：x2=-2pyx2=-2pypp 为焦准距（为焦准距（p 0p 0） 特点特点在抛物线在抛物线 y2=2pxy2=2px 中，焦点是中，焦点是(p/2(p/2，0 0），准线的方程是），准线的方程是 x= -p/2x= -p/2，离，离心率心率 e=1e=1，范围：，范围：x0 x0；在抛物线在抛物线 y2= -2pxy2= -2px 中，焦点是中

2、，焦点是( -p/2( -p/2，0 0），准线的方程是），准线的方程是 x=p/2x=p/2，离心率离心率 e=1e=1，范围：，范围：x0 x0；在抛物线在抛物线 x2=2pyx2=2py 中，焦点是（中，焦点是（0 0，p/2p/2），准线的方程是），准线的方程是 y= -p/2,y= -p/2,离离心率心率 e=1e=1，范围：，范围：y0y0；在抛物线在抛物线 x2= -2pyx2= -2py 中，焦点是（中，焦点是（0 0，-p/2-p/2），准线的方程是），准线的方程是 y=p/2y=p/2，离心率离心率 e=1e=1，范围：，范围：y0y0；四种方程四种方程抛物线四种方程的异同

3、抛物线四种方程的异同共同点：共同点：原点在抛物线上；原点在抛物线上； 对称轴为坐标轴；对称轴为坐标轴；准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的距离都等于一次项系数的绝对值的 1/41/4不同点：不同点：开口方向与开口方向与 x x 轴（或轴（或 y y 轴）的正半轴相同时，焦点在轴）的正半轴相同时，焦点在 x x 轴（轴（y y 轴）轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与 x x（或（或 y y 轴）的负半轴轴）的负半轴相同时，焦点在相同时，焦点在

4、 x x 轴（或轴（或 y y 轴）的负半轴上，方程的右端取负号。轴）的负半轴上，方程的右端取负号。22切线方程切线方程抛物线抛物线 y2=2pxy2=2px 上一点（上一点（x0,y0)x0,y0)处的切线方程为：处的切线方程为：yoy=p(x+x0)yoy=p(x+x0)抛物线抛物线 y2=2pxy2=2px 上过焦点斜率为上过焦点斜率为 k k 的切线方程为：的切线方程为：y=kx-p/2ky=kx-p/2k3 3 相关参数编辑相关参数编辑( (对于向右开口的抛物线对于向右开口的抛物线 y2=2px)y2=2px)离心率：离心率：e=1e=1（恒为定值，为抛物线上一点与准线的距（恒为定值

5、，为抛物线上一点与准线的距二次函数的图像是一条抛物线二次函数的图像是一条抛物线离以及该点与焦点的距离比）离以及该点与焦点的距离比）焦点焦点:(p/2:(p/2，0)0)准线方程准线方程 l:x=-p/2l:x=-p/2顶点：顶点：(0(0，0)0)通径：通径：2p2p ；定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦；定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦定义域：对于抛物线定义域：对于抛物线 y2=2pxy2=2px，p 0p 0 时，定义域为时，定义域为 x0 x0，p 0p 0 时，定义时，定义域为域为 x0 x0；对于抛物线；对于抛物线 x2=2pyx2=2py，定义域为，定

6、义域为 r r。值域：对于抛物线值域：对于抛物线 y2=2pxy2=2px，值域为，值域为 r r，对于抛物线，对于抛物线 x2=2pyx2=2py，p p 0 0 时，时，值域为值域为 y0y0，p 0p 0 时，值域为时，值域为 y0y0。4 4 术语解释编辑术语解释编辑准线、焦点：抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线准线、焦点：抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹。这一定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做的距离相等的点的轨迹。这一定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。抛物线的准线。轴：抛物线是轴对称图形，它的对称轴简称轴。轴：抛物线是轴对称图形

7、，它的对称轴简称轴。弦：抛物线的弦是连接抛物线上任意两点的线段。弦：抛物线的弦是连接抛物线上任意两点的线段。焦弦：抛物线的焦弦是经过抛物线焦点的弦。焦弦：抛物线的焦弦是经过抛物线焦点的弦。正焦弦：抛物线的正焦弦是垂直于轴的焦弦。正焦弦：抛物线的正焦弦是垂直于轴的焦弦。直径：抛物线的直径是抛物线一组平行弦中点的轨迹。这条直径也直径：抛物线的直径是抛物线一组平行弦中点的轨迹。这条直径也叫这组平行弦的共轭直径。叫这组平行弦的共轭直径。主要直径：抛物线的主要直径是抛物线的轴。主要直径：抛物线的主要直径是抛物线的轴。抛物线即把物体抛掷出去，落在远处地面，这物体在空中经过的曲抛物线即把物体抛掷出去，落在远

8、处地面，这物体在空中经过的曲线线335 5 解析式求法编辑解析式求法编辑以焦点在以焦点在 x x 轴上为例轴上为例知道知道 p p（x0 x0，y0)y0)令所求为令所求为 y2=2pxy2=2px则有则有 y02=2px0y02=2px02p=y02/x02p=y02/x0抛物线为抛物线为 y2=(y02/x0)xy2=(y02/x0)x6 6 光学性质编辑光学性质编辑经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。各种经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。各种探照灯、汽车灯即利用抛物线（面）的这个性质，让光源处在焦点探照灯、汽车灯即利用抛物线（面）的这个性质，让光源处

9、在焦点处以发射出（准）平行光。处以发射出（准）平行光。证明：证明：设设 p p（x0 x0，y0y0），），ptpt 是抛物线在是抛物线在 p p 处的切线，处的切线，phphptpt，抛物线的方，抛物线的方程为程为(a 0)(a 0)，焦点，焦点 f f 坐标为（坐标为（0 0，）根据抛物线的定义知根据抛物线的定义知 pf=y0+pf=y0+又抛物线导数为又抛物线导数为所以切线所以切线 pnpn 的斜率为的斜率为 2ax02ax0，方程为，方程为 y-y0=2ax0(x-x0)y-y0=2ax0(x-x0)令令 x=0,x=0,得得则则 ft=y0+ft=y0+所以所以 pf=ftpf=ft

10、，ftp=ftp=fpt,fpt,又又fpt=fpt=mpnmpn所以所以ftp=ftp=mpnmpnmpmp 平行于平行于 y y 轴轴447 7 准线式方程编辑准线式方程编辑焦点准线式（标准方程）焦点准线式（标准方程）焦点：焦点：f(m,n)f(m,n)准线：准线：l l：ax+by+c=0ax+by+c=0方程为：方程为：抛物线抛物线= =抛物线抛物线整理得整理得 b2x2-2abxy+a2y2-2(ac+ma2+mb2)x- b2x2-2abxy+a2y2-2(ac+ma2+mb2)x-2(bc+na2+nb2)y+(m2+n2)(a2+b2)-c2=02(bc+na2+nb2)y+(

11、m2+n2)(a2+b2)-c2=0面积和弧长公式面积和弧长公式面积面积 area=2ab/3 area=2ab/3弧长弧长 arc length abc arc length abc=(b2+16a2 )/2+b2/8a ln(4a+(b2+16a2 )/b)=(b2+16a2 )/2+b2/8a ln(4a+(b2+16a2 )/b)若若 o(0,0),m(x,y)o(0,0),m(x,y)是抛物线是抛物线 y2=2pxy2=2px 上两点，抛物线的弧上两点，抛物线的弧 omom 的弧长的弧长弧长弧长 l=(p/2)*(2x/p)*(1+2x/p)+ln(2x/p)+(1+2x/p)l=(

12、p/2)*(2x/p)*(1+2x/p)+ln(2x/p)+(1+2x/p)8 8 扩展公式编辑扩展公式编辑抛物线：抛物线：y = ax2 + bx + cy = ax2 + bx + c （a0)a0)就是就是 y y 等于等于 axax 的平方加上的平方加上 bx bx 再加上再加上 c ca 0a 0 时开口向上时开口向上a 0a 0 时开口向下时开口向下c = 0c = 0 时抛物线经过原点时抛物线经过原点b = 0b = 0 时抛物线对称轴为时抛物线对称轴为 y y 轴轴还有顶点式还有顶点式 y = ay = a（x-hx-h）2 + k2 + kh h 是顶点坐标的是顶点坐标的 x

13、 xk k 是顶点坐标的是顶点坐标的 y y一般用于求最大值与最小值一般用于求最大值与最小值抛物线标准方程：抛物线标准方程：y2=2pxy2=2px它表示抛物线的焦点在它表示抛物线的焦点在 x x 的正半轴上，焦点坐标为的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0)(p/2,0) 准线方程准线方程为为 x=-p/2x=-p/2由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程 y2=2pxy2=2px，y2=-y2=-2px2px，x2=2pyx2=2py，x2=-2pyx2=-2py9 9 二次函数图象编辑二次函数图象编辑在平面直角坐标系中作出二次函数在平面直角坐

14、标系中作出二次函数 y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c 的图像，可以看出，的图像，可以看出，在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的抛物线。如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由平移得到的。平移得到的。二次函数图像二次函数图像二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图象的顶点 p p。特别地，当特别地，当 b=0b=0 时，二次函数图像的对称轴是时，二次函

15、数图像的对称轴是 y y 轴（即直线轴（即直线 x=0 x=0）。）。是顶点的横坐标（即是顶点的横坐标（即 x=x=？）。？）。a,ba,b 同号，对称轴在同号，对称轴在 y y 轴左侧轴左侧a,ba,b 异号，对称轴在异号，对称轴在 y y 轴右侧轴右侧二次函数图像有一个顶点二次函数图像有一个顶点 p p，坐标为，坐标为 p(h,k)p(h,k)。当当 h=0h=0 时，时，p p 在在 y y 轴上；当轴上；当 k=0k=0 时，时，p p 在在 x x 轴上。即可表示为顶点轴上。即可表示为顶点式式 y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2+k（a0a0 ）, ,。二次项系数二次项系数 a

16、 a 决定二次函数图像的开口方向和大小。决定二次函数图像的开口方向和大小。当当 a 0a 0 时，二次函数图象向上开口；当时，二次函数图象向上开口；当 a 0a 0 时，抛物线向下开口。时，抛物线向下开口。|a|a|越大，则二次函数图像的开口越小。越大，则二次函数图像的开口越小。一次项系数一次项系数 b b 和二次项系数和二次项系数 a a 共同决定对称轴的位置。共同决定对称轴的位置。当当 a 0,a 0,与与 b b 同号时（即同号时（即 ab 0ab 0），对称轴在），对称轴在 y y 轴左；轴左； 因为对称轴在左因为对称轴在左边则对称轴小于边则对称轴小于 0 0，也就是，也就是- b/2

17、a 0,- b/2a 0,所以所以 b/2a b/2a 要大于要大于 0 0，所以，所以 a a、b b要同号。要同号。当当 a 0,a 0,与与 b b 异号时（即异号时（即 ab 0ab 0），对称轴在），对称轴在 y y 轴右。因为对称轴在右轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于边则对称轴要大于 0 0，也就是，也就是- b/2a 0,- b/2a 0, 所以所以 b/2ab/2a 要小于要小于 0 0，所以，所以 a a、b b 要异号。要异号。可简单记忆为左同右异，即当可简单记忆为左同右异，即当 a a 与与 b b 同号时（即同号时（即 ab 0ab 0），对称轴在），对称轴在y y

18、 轴左；当轴左；当 a a 与与 b b 异号时（即异号时（即 ab 0ab 0 ），对称轴在），对称轴在 y y 轴右。轴右。事实上，事实上，b b 有其自身的几何意义：二次函数图象与有其自身的几何意义：二次函数图象与 y y 轴的交点处的该轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率 k k 的值。可通的值。可通过对二次函数求导得到。过对二次函数求导得到。221 1a a（x1,y1)x1,y1)，b(x2,y2),a,bb(x2,y2),a,b 在抛物线在抛物线 y2=2pxy2=2px 上，则有：上，则有： x1x2 = p

19、?/4 , y1y2 = -p? ( x1x2 = p?/4 , y1y2 = -p? (要在直线过焦点时才能成立要在直线过焦点时才能成立) )；( (当当 a,ba,b 在抛物线在抛物线 x?=2pyx?=2py 上时，则有上时，则有 x1x2 = -p? , y1y2 = p?/4 ,x1x2 = -p? , y1y2 = p?/4 ,要在直线过焦点时才能成立要在直线过焦点时才能成立) ) （1/|fa|1/|fa|）+ +（1/|fb|1/|fb|）= 2/p= 2/p；若若 oaoa 垂直垂直 obob 则则 abab 过定点过定点 mm（2p2p，0 0）；）；焦半径：焦半径：|fp|=x