结构力学力法

1、第 六 章位 移 法Displacement method6-1、位移法的基本概念、位移法的基本概念 一、位移法的提出一、位移法的提出 从理论上讲，用力法可以分析各种（所有）从理论上讲，用力法可以分析各种（所有）超静定结构。困难是当未知量较多时，力法方超静定结构。困难是当未知量较多时，力法方程不易求解。这个困难对于计算工具落后（无程不易求解。这个困难对于计算工具落后（无电子计算机）的年代，是一个很难解决的问题。电子计算机）的年代，是一个很难解决的问题。 上世纪初，在力法的基础上提出了位移法，上世纪初，在力法的基础上提出了位移法，位移法最主要的研究对象是高次超静定刚架位移法最主要的研究对象是高次

2、超静定刚架（多层多跨刚架）。（多层多跨刚架）。 基本设想：基本设想：几何不变体系在一定外因（荷载、支移、几何不变体系在一定外因（荷载、支移、温改等）作用下，内力（反力）与变形之间恒有一定关系。温改等）作用下，内力（反力）与变形之间恒有一定关系。DABCFPDABCFPCCDDCD确定的内力确定的内力 确定的位移确定的位移对应对应 位移法位移法：先确定结构的某些结点位移，再据此确定其先确定结构的某些结点位移，再据此确定其内力。基本未知量为结点位移。内力。基本未知量为结点位移。CB二、基本思路二、基本思路EI=常数常数FPl/2l/2lCABABB3BABEIMlFPCBCBFP8lFP8lFP4

3、BEIl2BEIl=+BBB48PBCBF lEIMlBBAMBCMMB=0 MBA+M BC =0分析上图所示刚架分析上图所示刚架 刚架在荷载作用下，发生黄线所示变形。刚架在荷载作用下，发生黄线所示变形。 其中，固端其中，固端C，无任何位移；铰支端，无任何位移；铰支端A，无线位移，无线位移，只有铰位移；结点只有铰位移；结点B，为刚结点，联结为刚结点，联结B结点的两杆杆端结点的两杆杆端有相同的转角有相同的转角B B，忽略轴向变形，认为无线位移。忽略轴向变形，认为无线位移。 讨论讨论：如何确定每根杆件的内力？：如何确定每根杆件的内力？ AB杆：杆：可视为一端铰支，一端刚结的梁，在可视为一端铰支，

4、一端刚结的梁，在B端发端发生杆端转角生杆端转角B B 杆端弯矩：杆端弯矩： MBA=3EIB B /l (a) （杆端弯矩对杆端顺时针为正）（杆端弯矩对杆端顺时针为正） BC杆：杆：可将其视为两端刚结的梁，其上承受竖向可将其视为两端刚结的梁，其上承受竖向荷载荷载FP ，同时在，同时在B 端发生转端发生转B B。 其杆端弯矩可由两部分叠加而成：其杆端弯矩可由两部分叠加而成： M BC= -FPl /8+4EIB B /l (b) 同理：同理： MCB = +FPl/8+2EIB B /l 由由（a）、（）、（b）式可见，如式可见，如B B已知，则：已知，则： MBA、 M BC 、MCB即可知，

5、整个刚架的弯矩图即可画出。即可知，整个刚架的弯矩图即可画出。 因此，以因此，以B B为基本未知量，并设法求出，则各杆为基本未知量，并设法求出，则各杆内力均可定出。内力均可定出。 由平衡条件：由平衡条件： 刚结点刚结点B处，杆端弯矩应满足平衡条件处，杆端弯矩应满足平衡条件 MB=0 MBA+M BC =0 3EIB B /l FPl /8+4EIB B /l =0 (c) 7EIB B /l FPl /8 =0 B B=FPl2/56EI 将将B B代入代入(a) (b)式式,则则: MBA= 3EI/l FPl2/56EI = +3FPl/56 M BC=-FPl/8+4EI/l FPl2/5

6、6EI = - 3FPl/56 MCB=+FPl/8+2EI/L FPl2/56EI = +9FPl/56弯矩图如下图所示弯矩图如下图所示:3FPl/569FPl/56FP l /4MBA= +3FPl/56MBC= - 3FPl/56MCB= +9FPl/56由简例可见位移法的基本思路由简例可见位移法的基本思路: (1)、根据结构的几何条件、根据结构的几何条件(包括变形连续条件和边包括变形连续条件和边界支承条件界支承条件)确定某些结点位移作为基本未知量。确定某些结点位移作为基本未知量。 (2)、把每根杆件视为单跨超静定杆、把每根杆件视为单跨超静定杆,建立其杆端内建立其杆端内力与杆端位移之间的

7、关系。力与杆端位移之间的关系。 (3)、根据平衡条件求解结点位移。、根据平衡条件求解结点位移。 (4)、结点位移代入杆端内力公式解出最后内力。、结点位移代入杆端内力公式解出最后内力。整体结构整体结构（变形协调）（变形协调）拆拆搭搭(还原还原)原结构原结构若干根杆件若干根杆件（平衡条件）（平衡条件）三、需解决的问题三、需解决的问题 1、单跨（超静定）杆件在杆端发生各种、单跨（超静定）杆件在杆端发生各种位移作用下的杆端力，以及单跨杆在各种外因位移作用下的杆端力，以及单跨杆在各种外因（包括荷载等因素）作用下的杆端力。（包括荷载等因素）作用下的杆端力。 2、讨论结构上的哪些结点位移作为基本、讨论结构上

8、的哪些结点位移作为基本未知量。未知量。 3、位移法方程的建立及其求解。、位移法方程的建立及其求解。 6-2 等截面直杆的刚度方程等截面直杆的刚度方程 在各类结构中，常可发现如下几种类型的单跨杆。在各类结构中，常可发现如下几种类型的单跨杆。 因为是从结构中取出来的，杆件两端并不一定是真正因为是从结构中取出来的，杆件两端并不一定是真正的固定端、铰支端、滑动端、的固定端、铰支端、滑动端、，各杆端都可能有线位移，各杆端都可能有线位移和角位移。和角位移。 本教材采用本教材采用a)图模型代替上图所述各单跨杆图模型代替上图所述各单跨杆件，有普遍性。件，有普遍性。 梁的两端均为从结构梁的两端均为从结构(梁、刚

9、架）中截出的。梁、刚架）中截出的。b)图与图与a)图相互可替代。图相互可替代。（参考分段叠加法）（参考分段叠加法）a)EI，lb)EI，llEIABABMABFQABMBAFQBA 一、由杆端位移引起的杆端力一、由杆端位移引起的杆端力 1 、杆端力和杆端位移的正负号规定、杆端力和杆端位移的正负号规定 （1）、杆端转角）、杆端转角A 、 B ，弦转角，弦转角 = /l均以顺时均以顺时针方向转动为正。针方向转动为正。 （2）、杆端弯矩）、杆端弯矩MAB 、 MBA规定对杆端以顺时针方规定对杆端以顺时针方向为正。（对结点或支座，则以逆时针方向为正）。向为正。（对结点或支座，则以逆时针方向为正）。 （

10、3）、杆端剪力）、杆端剪力FQAB 、 FQBA的正方向规定同前。的正方向规定同前。lEIABABMABFQABMBAFQBAFPDBE= / l BECD= / l CD+- 注意：注意：杆端弯矩的正负号规则与通常关于杆端弯矩的正负号规则与通常关于弯矩的正负号规则不同。弯矩的正负号规则不同。 （1）、此处规则是针对杆端弯矩，而不是）、此处规则是针对杆端弯矩，而不是针对杆中任一截面的弯矩。针对杆中任一截面的弯矩。 （ 2 ） 、当取杆件（或取结点）为隔离体、当取杆件（或取结点）为隔离体时，杆端弯矩是隔离体上的外力，建立隔离体时，杆端弯矩是隔离体上的外力，建立隔离体平衡方程时，力矩一律以顺时针（

11、或逆时针）平衡方程时，力矩一律以顺时针（或逆时针）转向为正。转向为正。 杆端弯矩有双重身份：既是杆件的内力又杆端弯矩有双重身份：既是杆件的内力又是隔离体外力。是隔离体外力。 因此，这里的规则是把杆端弯矩视为外力，因此，这里的规则是把杆端弯矩视为外力，为了便于建立平衡方程而规定的。为了便于建立平衡方程而规定的。MABMBAlEIBAA B由单位荷载法，得：由单位荷载法，得：BAABBBAABAMiMiMiMi31616131 其中其中 i=EI/l 为杆件线刚度。为杆件线刚度。二、由杆端位移求杆端力二、由杆端位移求杆端力 1、杆端转角与杆端、杆端转角与杆端弯矩之间的关系弯矩之间的关系lBAEIA

12、B2、杆端转角与杆端相对线位移之间的关系、杆端转角与杆端相对线位移之间的关系lBA3、考虑两种因素、考虑两种因素11361163AABBABABBAMMiilMMiil 解联立方程，得解联立方程，得liiiMliiiMBABABAAB642624（6-5）由平衡条件：由平衡条件：21266lililiFFBAQBAQAB（6-6）注：注： （8-5）（）（8-6）公式也可由力法公式也可由力法导出。上下两图导出。上下两图等效。等效。lEIABABMABFQABMBAFQBAlEIABABMABFQABMBAFQBA4、矩阵形式：、矩阵形式：BAQABBAABlilililiiiliiiFMM21

13、266642624（6-7）其中：其中：称为弯曲杆件的刚度矩阵称为弯曲杆件的刚度矩阵称为弯曲杆件的刚度矩阵称为弯曲杆件的刚度矩阵26426246612iiiliiiliiilll5、不同支座时的刚度方程、不同支座时的刚度方程 （杆件在一端具有不同支座时的刚度方程）（杆件在一端具有不同支座时的刚度方程）（1）B端为固定支座lABEIAMBAMABliiMliiMABAAAB6264(6-8)（2）B端为铰支座端为铰支座lABEIAMAB33ABAMiil（6-9）lABEIMBAMABAABAAABiMiM（6-10）（3）B端为定向支座端为定向支座三、由荷载求固端弯矩三、由荷载求固端弯矩 图示

14、两端固定图示两端固定梁承受荷载的情况。梁承受荷载的情况。 MFAB， MFBA 称为称为固端弯矩固端弯矩 。 FFQAB ， FFQBA 称为称为固端剪力固端剪力。 正负号规定同正负号规定同杆端力。杆端力。ABFPq(x)MFABMFBAFFQABFFQBA 根据荷载的不同，可用根据荷载的不同，可用力法计算出固端弯矩和固端力法计算出固端弯矩和固端剪力。剪力。 对于下列三种杆件：对于下列三种杆件： （1）两端固定（刚结）的梁。）两端固定（刚结）的梁。 （2）一端固定、另一端简支的梁。）一端固定、另一端简支的梁。 （3）一端固定、另一端滑动支承的梁。）一端固定、另一端滑动支承的梁。 表表8-1给出

15、了几种常见荷载作用下个杆端弯矩和杆端剪给出了几种常见荷载作用下个杆端弯矩和杆端剪力。由于它们是只与荷载形式有关的常数，所以又称为载力。由于它们是只与荷载形式有关的常数，所以又称为载常数。常数。 表中的杆端弯矩，固端剪力的正负号均按位移法正负表中的杆端弯矩，固端剪力的正负号均按位移法正负号规定给出。使用是应注意弯矩的受拉方向。号规定给出。使用是应注意弯矩的受拉方向。 各类杆件在各种荷载作用下杆端弯矩、固端剪力的计算，各类杆件在各种荷载作用下杆端弯矩、固端剪力的计算，均可应用力法算出，在此不再讨论，可自学。均可应用力法算出，在此不再讨论，可自学。 由于实际结构中，各杆方向有所不同，不会与表中情况由

16、于实际结构中，各杆方向有所不同，不会与表中情况完全一样，在使用中应具体情况，具体分析。完全一样，在使用中应具体情况，具体分析。四、等截面单跨超静定梁的转角位移方程四、等截面单跨超静定梁的转角位移方程 （1）、两端固定梁 等截面两端固定梁同时承受已知的杆端位移和荷载的作用，杆端弯矩的一般公式为：(6-12)(6-13)杆端剪力的一般公式为： 426246FABABABFBAABBAMiiiMlMiiiMl2266126612FQABABQABFQBAABQBAiiiFFllliiiFFlll (2)、一端刚结，一端铰结223303333FABAABBAFQABAQABFQBAAQBAMiiMlM

17、iiFFlliiFFll (3)、一端刚结，一端滑动FABABABFBAABBAMiiMMiiM 6-3、 6-4 刚架的计算刚架的计算一、位移法基本未知量的确定一、位移法基本未知量的确定 上一节讨论了杆端位移与杆端力之间的关上一节讨论了杆端位移与杆端力之间的关系。可以认为：如果结构上每根杆件的两端的系。可以认为：如果结构上每根杆件的两端的角位移和相对线位移成为已知，则由此可以得角位移和相对线位移成为已知，则由此可以得到整个结构的所有内力。到整个结构的所有内力。 各杆件是由结点联在一起的，杆端位移即各杆件是由结点联在一起的，杆端位移即为结点位移。由此可知，位移法的基本未知量为结点位移。由此可知

18、，位移法的基本未知量是是刚结点的角位移刚结点的角位移和和结点线位移。结点线位移。1、变形假定（传统）、变形假定（传统） （1）、受弯直杆忽略轴向变形和剪切变）、受弯直杆忽略轴向变形和剪切变形的影响。形的影响。 （2）、受弯直杆弯曲变形是微小的（小）、受弯直杆弯曲变形是微小的（小变形）。变形）。 、假定弯曲后，杆端间距不变；、假定弯曲后，杆端间距不变； 、圆弧可用垂直于半径的一小段直线、圆弧可用垂直于半径的一小段直线代替。代替。弯曲变形是微小的。弯曲变形是微小的。FP1FP12 2、位移法的基本未知量、位移法的基本未知量 （1）、刚结点转角位移。每个刚结）、刚结点转角位移。每个刚结点有一个独立的

19、角位移未知量。点有一个独立的角位移未知量。 （2）、独立的结点线位移。）、独立的结点线位移。 在传统的位移法中，由于考虑了杆件在传统的位移法中，由于考虑了杆件的变形假定，结点独立线位移的确定有一的变形假定，结点独立线位移的确定有一定的难度。定的难度。 、一般刚、一般刚架（简单），可架（简单），可直接观察判断。直接观察判断。判断方法：判断方法：n=n+n=2+1=3 、附加链杆法，由两个已知不动点出发、附加链杆法，由两个已知不动点出发（无线位移点），引出的两个不平行的受弯直杆（无线位移点），引出的两个不平行的受弯直杆的相交点也不动。的相交点也不动。 控制所有结点成为不动点，所需添加的最少控制所有

20、结点成为不动点，所需添加的最少链杆数链杆数,则为独立线位移的个数。则为独立线位移的个数。ABCDEF原 结 构ABCDEFn=n+n=2+1=3 、几何法，把刚结、几何法，把刚结点（包括固定端支座）变点（包括固定端支座）变成铰结点，则此铰结体系成铰结点，则此铰结体系的自由度数目即为原结构的自由度数目即为原结构独立结点线位移的个数。独立结点线位移的个数。（将此机构变为几何不变（将此机构变为几何不变体系，所需加上的最少链体系，所需加上的最少链杆数，即为独立线位移的杆数，即为独立线位移的个数。个数。) 因为不考虑各杆因为不考虑各杆长度的改变，所以结点长度的改变，所以结点独立线位移的个数，可独立线位移

21、的个数，可以用几何构造分析方法以用几何构造分析方法得出。得出。n=n+n= 4+2=6举例举例： （1）、等高刚架。）、等高刚架。位移法：位移法： n=n+n=6+2=8。 位移法：位移法：n=n+n=7+3=10 。力法：力法： n=34=12 。力法：力法：n=34=12 。（2）、刚架有组合结点）、刚架有组合结点位移法：n=n+n=4+2=6力法：n=3+2=5 。组合结点组合结点（3）、刚架有刚性杆）、刚架有刚性杆(EI1=) n=n+n=0+1=1 (EI1) n=n+n=2+1=3 n=n+n=0+1=1(EA=)n=n+n=0+2=2(EA)（4）、有斜杆的刚架 n=n+n=2+

22、1=3 n=3+2=5 (0) n=2+1=3 (=0) （分析计算较麻烦）（5）、考虑受弯直杆的轴向变形，）、考虑受弯直杆的轴向变形， 考虑受弯曲杆的变形情况考虑受弯曲杆的变形情况 各杆各杆 EI=c ， EA=c n=n+n=2+4=6 各杆各杆EI=cn=n+n=2+2=4（6）、ABCD213n= n+n =2+1=3注意13，32杆（7）、刚架有内力静定的杆件）、刚架有内力静定的杆件ABCDEn= n+n =2+1=3ABDCEn= n+n =2+0=2（8）、用位移法计算桁架结构n= n+n =0+5=5二、刚架的计算二、刚架的计算 （举例说明）（举例说明）1、无侧移刚架、无侧移刚

23、架123FPEI1aa/2a/2EI2=2EI1原结构原结构11 （1）、图示刚架有一个基本未知量1。 （2）、利用杆端弯矩的一般公式（8-12）等，写出各杆端弯矩的表达式。 杆杆13： M13=4i1313+2i1331 - 6i1313 /l+MF13 注意：注意： 13 = 1 ， 31=0， 13=0，MF13=0 M13=4i1 同理：同理：M31=2i 1令：令：EI1/a=i123FPEI1aa/2a/2EI2=2EI111杆杆12：M12=3i1212 - 3i1212 /l+MF12 M21=0 注意：注意： 12 = 1 ， 12=0MF12= - 3FP a /16 M1

24、2=32i1 3FP a / 161M13M12由结点由结点1的力矩平衡条件的力矩平衡条件M1=0 ： M13+M12=01 = 3FP a /160i10 i1 3FP a / 16 =0解出：解出：求各杆的杆端弯矩。作最后弯矩图。求各杆的杆端弯矩。作最后弯矩图。M13=4i（3FP a2 /160i）=3FP a /40M31=2i（3FP a2 /160i）=3FP a /80M12=6i（3FP a2 /160i）- 3FP a /16= - 3FP a /40FPM 图23117FP a /803FP a /803FP a /402、有侧移刚架、有侧移刚架FPBCADll/2l/2E

25、I=常数常数BB 举例说明。举例说明。 （1）、图示刚架有两）、图示刚架有两个基本未知量。个基本未知量。 （2）、利用公式（）、利用公式（8-8）或（）或（8-9），并叠加固），并叠加固端弯矩后，可写出各杆端弯矩的表达式。端弯矩后，可写出各杆端弯矩的表达式。 MBA= 4iB 6 i /l + FPl /8令：令：EI/l=i MAB=2i B 6i /l FP l/8 MBC = 3i B MDC= 3i /l 由结点由结点B的力矩平衡条件的力矩平衡条件 MB=0 ： MBA+MBC=0FPBCADll/2l/2EI=常数常数BBBMBAMBC MBA= 4iB 6 i /l + FPl /

26、8MAB=2i B 6i /l FP l/8 MBC = 3i B MDC= 3i /l7i B 6 i/l +FP l/8=0 （a）FPBCADll/2l/2EI=常数常数BB 与横梁水平位移相对应，与横梁水平位移相对应，截取两柱顶以上部分为隔离体截取两柱顶以上部分为隔离体的投影平衡条件的投影平衡条件Fx=0, FQBA+FQCD=0BCFQBAFQCD2)(1 0PBAABQBAAFMMlFM10 DQCDDCMFMl-6i/l B +15i/l2 - FP /2=0 (b) （3）解如下联立方程：解如下联立方程：7i B - 6i/l +FP l/8=0-6i/l B +15i/l2

27、- FP /2=0 解得： （4）、将B 、代入各杆杆端转角位移方程，即得出各杆端弯矩。2955222552PBPF liF li FP MBA= 4iB 6 i /l + FPl /8= 27/552 FP l MAB=2i B 6i /l FP l/8 = -183/552 FP l MBC = 3i B =27/552 FP l MDC= 3i /l= 66/552 FP l27552PF l183552PF l60552PF l66552PF l小结： 从计算过程可见，位移法的基本方程都是平衡方程。 对应每一个转角未知量，有一个相应的结点力矩平衡方程。 对应每一个独立的结点线位移未知量

28、，有一个相应截面上的力的平衡方程。 直接平衡法先拆后搭，根据结点或截面平衡列基本方程。6-5、位移法的基本体系、位移法的基本体系 为了分析计算的需要，引用两种附加约束装为了分析计算的需要，引用两种附加约束装置：置： 附加刚臂：附加刚臂：只阻止结点转动，不能阻止结点只阻止结点转动，不能阻止结点移动。移动。 附加链杆：附加链杆：只阻止结点沿某一方向的移动只阻止结点沿某一方向的移动，不能阻止结点转动。，不能阻止结点转动。 本节介绍通过位移法的基本体系建立位移本节介绍通过位移法的基本体系建立位移法典型方程的方法。法典型方程的方法。如图：如图：FP基本结构1 、位移法基本体系、位移法基本体系结点结点B

29、被完全固定。被完全固定。杆杆AB 两端固定（两端固定（刚结）的单跨梁；刚结）的单跨梁；杆杆BC 一端固定一端固定（刚结）一端铰支的单（刚结）一端铰支的单跨梁。跨梁。实际为单跨超静定实际为单跨超静定杆的组合体。杆的组合体。 基本体系与原结构的区别在于：增加了人为基本体系与原结构的区别在于：增加了人为约束，把基本未知量由被动的位移变成为受人约束，把基本未知量由被动的位移变成为受人工控制的主动的位移。工控制的主动的位移。 基本体系是用来计算原结构的工具与桥梁。基本体系是用来计算原结构的工具与桥梁。一方面，它可以代表原结构；另一方面它的计算一方面，它可以代表原结构；另一方面它的计算又比较简单。又比较简

30、单。整体结构整体结构（变形协调）（变形协调）锁住锁住放松放松(还原还原)原结构原结构若干根单跨杆若干根单跨杆件的组合体件的组合体（平衡条件）（平衡条件） 利用基本体系建立位移法基本方程。利用基本体系建立位移法基本方程。分两步考虑：分两步考虑： 第一步，控制附加约束，使结点位移全部为零第一步，控制附加约束，使结点位移全部为零，这时，刚架处于锁住状态，即基本体系。施加荷，这时，刚架处于锁住状态，即基本体系。施加荷载后，可求出基本体系中的内力，同时，在附加约载后，可求出基本体系中的内力，同时，在附加约束上会产生约束力矩。束上会产生约束力矩。 第二步，再控制附加约束，使基本结构发生结第二步，再控制附加

31、约束，使基本结构发生结点位移，这时，附加约束中的约束力将随之改变。点位移，这时，附加约束中的约束力将随之改变。如果控制结点，使与原结构的实际值正好相等，则如果控制结点，使与原结构的实际值正好相等，则约束力即完全消失。这是基本体系形式上虽然还有约束力即完全消失。这是基本体系形式上虽然还有附加约束，但实际上它们已经不起作用，基本体系附加约束，但实际上它们已经不起作用，基本体系实际上处于放松状态，与原结构完全相同。实际上处于放松状态，与原结构完全相同。 基本体系转化为原结构的条件是：基本体系转化为原结构的条件是： 基本结构在给定荷载以及结点位移的共同基本结构在给定荷载以及结点位移的共同作用下，在附加

32、约束中产生的总约束力应该等作用下，在附加约束中产生的总约束力应该等于零。于零。 以两个基本未知量的结构以两个基本未知量的结构为例。为例。 基本体系转化为原结构的基本体系转化为原结构的条件：条件： 基本体系在给定荷载和结基本体系在给定荷载和结点位移点位移 1， 2共同作用下，共同作用下，在附加约束中产生的总约束反在附加约束中产生的总约束反力力F1，F2应等于零。应等于零。 即：即： F1 =0 F2 =0FPBCADll/2l/2EI=常数BCAD112基本结构（6-15）BCAD基本结构FPBCADll/2l/2EI=常数1 1 2F1 =0BCADFP12基本体系1MBAMBCF1=0F2=

33、0FQBAFQCD F2 =0F11F21 BCADBCAD2F12F22F1PF2PF1 =F11+F12+F1P=0F2=F21+F22+F1P=0BCADFP1ABCD1=1k11k21 M1 图图ABCD2=1M2 图图k22k12ABCDFPF1PF2Pk11 1+k122+F1P=0k21 1+k222+F2P=0 位移法典型方程。位移法典型方程。计算系数和自由项：计算系数和自由项：1234k11k21 1=1k121234 2=1M1 图M2 图4i3i1k11 =7ik21= - 6i/l3i4i2i-6i/l001k12 = - 6i/lk22=15i/l2-6i/l12i/

34、l23i/l26i/l6i/l3i/lk221234F1PF2PFPMP 图10F1P=FP l/8F2P= -FP /2FP l/8FP l/8FP l/8- FP /20k11=3i+4i=7ik21= - 6i/lk12= - 6i/lk22=12i/l2+3i/l2=15i/l2F1P= FP l/8F2P= - FP /2由反力互等，有： k12 = k21 将系数和自由项代入位移法典型方程将系数和自由项代入位移法典型方程 7i 1 - 6i/l 2 +FP l/8=0-6i/l 1+15i/l2 2 - FP /2=0 解出：解出： 所设的所设的 1 、 2方向与实际位移方向一致。

35、方向与实际位移方向一致。2955222552PBPF liF li 求出求出 1 、 2后，可用叠加法计算刚后，可用叠加法计算刚架最后弯矩图。架最后弯矩图。FP183/552 FP lM= 1 M1 + 2 M2 +MP27/552 FP l60/552 FP l66/552 FP l注意：注意： （1）、基本体系与原结构变形相同：）、基本体系与原结构变形相同： 荷载作用下，附加刚臂产生与原结构相同的荷载作用下，附加刚臂产生与原结构相同的转角转角 1 ，附加链杆产生与原结构相同的水平，附加链杆产生与原结构相同的水平线位移线位移 2。 （2）、基本体系与原结构受力相同：）、基本体系与原结构受力相

36、同： 原结构上无附加人为约束，结点力为零。原结构上无附加人为约束，结点力为零。 基本体系上使附加人为约束后令反力为零。基本体系上使附加人为约束后令反力为零。四、位移法典型方程（四、位移法典型方程（n个基本未知量）个基本未知量） k11 1+k12 2+ k1n n+F1P=0 k21 1+k22 2+ k2n n+F2P=0 (6-1a) kn1 1+kn2 2+ knn n+FnP=0 可写成矩阵形式：可写成矩阵形式： k +FP=0 (6-19) 其中， k 称为结构刚度矩阵 111212122212nnnnnnkkkkkkkkkk讨论：讨论： 1、主系数、副系数（反力系数，刚度、主系数、

37、副系数（反力系数，刚度系数）、自由项系数）、自由项 主系数主系数kii（主反力）：（主反力）： i=1时，附加约束时，附加约束i方向的反力（或反方向的反力（或反力矩）。力矩）。 恒为正，不为零。恒为正，不为零。 副系数副系数kij（ij）（副反力）：）（副反力）： j=1时，附加约束时，附加约束i方向的反力（或方向的反力（或反力矩）。反力矩）。 可正，可负，可为零。由反力互等可正，可负，可为零。由反力互等定理定理 ： kij = kji 自由项自由项FiP ： 荷载单独作用下，附加约束荷载单独作用下，附加约束i方向上方向上的反力（或反力矩）。可正，可负，可的反力（或反力矩）。可正，可负，可为零

38、。为零。 2、基本方程是按一定规则写出的，、基本方程是按一定规则写出的，它不依结构的形式不同而异。基本方程它不依结构的形式不同而异。基本方程中每一个系数都是由结构的结点单位位中每一个系数都是由结构的结点单位位移引起的附加约束反力。结构的刚度愈移引起的附加约束反力。结构的刚度愈大，反力（或反力矩）数值愈大。大，反力（或反力矩）数值愈大。 因此，基本方程又成为刚度方程；位因此，基本方程又成为刚度方程；位移法称为刚度法。移法称为刚度法。 1、基本体系法与转角位移方程法、基本体系法与转角位移方程法（直接利用平衡方程法），本质完全相（直接利用平衡方程法），本质完全相同，所用方法（途径）不同。同，所用方法

39、（途径）不同。 直接平衡法直接平衡法先拆后搭先拆后搭，根据结点，根据结点或截面平衡列基本方程。或截面平衡列基本方程。 基本体系法基本体系法先锁后松先锁后松，根据放松，根据放松原则建立位移法基本方程。原则建立位移法基本方程。 2、请同学们想一想，请同学们想一想，力法只能计算力法只能计算超静定结构，不能计算静定结构。而位超静定结构，不能计算静定结构。而位移法既能计算超静定结构，也可计算静移法既能计算超静定结构，也可计算静定结构。为什么？定结构。为什么？进一步讨论：进一步讨论：提问：提问： 从概念出发，请同学们考虑：从概念出发，请同学们考虑： 图示结构，选两种基本体系，计算出的内图示结构，选两种基本

40、体系，计算出的内力是否一样？为什么？力是否一样？为什么？ 基本体系基本体系与与横梁单元的刚度系数是否横梁单元的刚度系数是否一样？为什么？一样？为什么？FPFPFP提问： 左图所示刚架，用左图所示刚架，用位移法求解时有两个位移法求解时有两个未知量未知量D 、DE。 1、当写各杆的杆、当写各杆的杆端弯矩，杆端剪力表端弯矩，杆端剪力表达式时，应注意些什达式时，应注意些什么？么？ 2、取什么样的隔、取什么样的隔离体，建立什么样的离体，建立什么样的平衡方程。平衡方程。 杆杆AD,杆杆BE的的侧移为正侧移为正;杆杆CD的的侧移为负。侧移为负。 取结点取结点D为隔离为隔离体，建立力矩平衡方体，建立力矩平衡方

41、程。程。 取杆取杆DE为隔离为隔离体，建立截面剪力平体，建立截面剪力平衡方程。衡方程。 6-6 、 对称结构的计算对称结构的计算 对称结构在工程中应用很多。对称结构在工程中应用很多。 对称结构在正对称荷载作用下，结构对称结构在正对称荷载作用下，结构的变形和受力均为正对称的。的变形和受力均为正对称的。 对称结构在反对称荷载作用下，结构对称结构在反对称荷载作用下，结构的变形和受力均为反对称的。的变形和受力均为反对称的。 在以上情况下，可取半结构计算。在以上情况下，可取半结构计算。 什么是结构的对称性什么是结构的对称性 （1）、结构的几何形状和支承）、结构的几何形状和支承情况，对某轴（或点）对称。情

42、况，对某轴（或点）对称。 （2）、杆件的截面和材料性质，）、杆件的截面和材料性质，对此轴（或点）也对称。对此轴（或点）也对称。考虑两种荷载情况考虑两种荷载情况（1）、对称荷载作用）、对称荷载作用FPFPFPFPX1X2FPFPFPFP MP图是对称的，有图是对称的，有3P=0 因此因此,反对称未知力反对称未知力X3=0； 只有正对称未知力只有正对称未知力X1，X2。 故故：M=M1 X1+M2 X2+MP 最后弯矩图也是正对称的。最后弯矩图也是正对称的。 结论：对称结构在正对称荷载作用下，反结论：对称结构在正对称荷载作用下，反对称未知力必为零，结构所有的反力、内力及对称未知力必为零，结构所有的

43、反力、内力及变形均为正对称的。变形均为正对称的。 提问：弯矩图和轴力图是正对称的，剪力图却是提问：弯矩图和轴力图是正对称的，剪力图却是反对称的，这是为什么？反对称的，这是为什么？（2）、反对称荷载）、反对称荷载FPFPX3FPFPFPFPFPFP MP图是反对称的，有图是反对称的，有1P=0，2P=0。 因此因此,正对称未知力正对称未知力X1=0，X2=0。 只有反对称未知力只有反对称未知力X3。 故：故：M=M3 X3+MP 最后弯矩图也是反对称的。最后弯矩图也是反对称的。 结论：对称结构在反对称荷载作用下，正结论：对称结构在反对称荷载作用下，正对称未知力必为零，结构所有的反力、内力及对称未

44、知力必为零，结构所有的反力、内力及变形均为反对称的。变形均为反对称的。 提问：弯矩图和轴力图是反对称的，剪力图却是提问：弯矩图和轴力图是反对称的，剪力图却是正对称的，这是为什么？正对称的，这是为什么？一、奇数跨对称刚架一、奇数跨对称刚架 1、正对称荷载、正对称荷载2、反对称荷载、反对称荷载FPFPFPFPFPFP思考：下列各图所示结构可取什么样的半结构？思考：下列各图所示结构可取什么样的半结构？注意：对称轴上的变形特点，应具体分析。注意：对称轴上的变形特点，应具体分析。FPFPFPFPqqqq二、偶数跨对称刚架二、偶数跨对称刚架 1、正对称荷载、正对称荷载FPFPFP2、反对称荷载、反对称荷载

45、FPFPFPFPFPFPFP思考：下列各图所示结构可取什么样的半结构？思考：下列各图所示结构可取什么样的半结构？注意：对称轴上的变形特点，应具体分析。注意：对称轴上的变形特点，应具体分析。FPFPFPFPFPFPFPFP 上图所示结构最终可简化成什么样的半结构，进行计算？FPFPFPFPqq 上图所示结构最终可简化成什么样的半结构，进行计算？FPFP2EI2EI2EIEIEI例：求图示结构内力例：求图示结构内力,作内力图。作内力图。EI=常数常数a a aqqABCDqABaa/2解：（1）取半结构如图。基本未知量：A点转角A (2)、求杆端弯矩：令EI/a=iDqABaa/22ii1242q

46、aiMAAB1222qaiMABAADAiM2AADiM2 （3）、由结点）、由结点A的力矩平衡条件的力矩平衡条件 MA=0 ： MAB+MAD=0MADMABA01262qaiAiqaA722362qa3642qa362qa362qa362qaMAB3642qaMBA362qaMAD362qaMDADABC362qa3642qa362qa362qa3642qa362qa例:求图示结构内力,作内力图。EA=EI/20 解： （1）取半结构如图。 基本未知量：B点转角B和竖向线位移。 （2） 求固端力： MFBC =-ql2/3=-10102/3 = -333kNm MFCB=-ql2/6=-10102/6 = -167kNm FQBC=q l=1010 = 100kN (3)、求杆端力: 杆AB： MAB=2iAB B - 6iAB/l =2EI/20B-6EI/202 MBA=4iAB B - 6iAB/l =4EI/20B-6EI/202 FQBA=-(MAB + MBA)/l =-6EI/202B-12EI/203杆BC: MBC=EI/10 B 333 MCB=-EI/10 B 16