2018年中考数学真题分类汇编(第二期)专题27锐角三角函数与特殊角试题(含解析)

1、锐角三角函数与特殊角.选择题nmoQecisog1.2018 ?山东烟台市？ 3分）利用计算器求值时，小明将按键顺序为显示结果记为a d （SI E3日的显示结果记为 b.则a, b的大小关系为（）A. avb B. a>b C. a=b D.不能比较【分析】由计算器的使用得出A.b的值即可.【解答】解：由计算器知 a= （sin300 ） 4=16.b= 1i=12,3a> b,故选：B.CELh,量得/ ABC=c【点评】本题主要考查计算器-基础知识，解题的关键是掌握计算器的使用. .2 （2018?金华、丽水？ 3分）如图，两根竹竿 AB和AD斜靠在墙 /ADC书 ，则竹竿A

2、B与AD的长度之比为（）A.达立F sjnS B.-inC. &CQ邓 D. :。m【解析】【解答】解：设AC=x,在 RtABC中，AB= sinct 一 51ntt .在 RtACD中，AD= &迎,.iB _ sjjM _ 5m产AD Tjsince则 辿1,故答案为：Bo【分析】求AB与AD的比，就不必就求 AB和AD的具体的长度，不妨设 AB=x,用含x的代 数式分别表示出 AB, AD的长，再求比。3. （2018 黑龙江大庆 3 分）2cos60° =（）A. 1B.一； C._： D.2【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案.【解答】解：2

3、cos60° =2X -1=1.2二.填空题1. （2018 湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市3分）我国海域辽阔，渔业资源丰富.如图，现有渔船 B在海岛A, C附近捕鱼作业，已知海岛 C位于海岛A的北偏东450方向上.在渔船 B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛 C恰好位于渔船B的正北方向18 （1 + /§） n mile处，则海岛 A, C之间的距离为 _18方_n mile .北4*孝【分析】解：作ADL BC于 D,ii4*东作ADLBC于D,根据正弦的定义、正切的定义分别求出BD.CD根据题意列式计算即可.设AC=x海里,在 Rt

4、ACD中,AD=AC： sin / ACD=2/lx,2在 RtA ABD中,BD=野x,t an/ ABD 2则一x+Sx=18 （1 + 日），解得，x=18Mj,22答：A, C之间的距离为18花海里.故答案为：18 '：【点评】本题考查的是解直角三角形的应用,掌握方向角的概念、锐角三角函数的定义是解题的关键.2. （2018?江苏宿迁？ 3分）如图，将含有30°角的直角三角板 ABC放入平面直角坐标系，顶转过程中，三角板的角度和边的长度不变，所以点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积:点A, B分别落在x、y轴的正半轴上，/ OAB= 60° ,点 A的坐标为

5、（1,0）,将三角板 ABC沿x轴向右作无滑动的滚动（先绕点A按顺时针方向旋转 60。，再绕点C按顺时针方向旋转90。，）当点B第一次落在x轴上时，则点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积是OA=1根据锐角三角形函数可得 AB=2, OB小，在旋o 1r 60 X 7E x 2* 1匚 90 * 力 K、，替"口口一r/曰小%生s= * 1K忑）*1一 x I x .5 +,计算即可得出答案 .【详解】在 RtAAOE, - A ( 1, 0),OA=1X/Z OAB= 60° , OA cos60 =, AB .AB=2 OB/;在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变,3

6、60二12 点B运动的路径与坐标轴围成的图形面积:oJ .二 60 乂# K 21, J-S=. '23602 匚17故答案为：小T兀.12Ax旋转的性质等，根据题意正确【点睛】本题考查了扇形面积的计算，锐角三角函数的定义, 画出图形是解题的关键.3. （2018?广西北海？ 3分）如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30° ,从甲楼 顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°.已知甲楼的高 AB是120m,则乙楼的高 CD是 m （结果保留根号）第16题图【答案】40【考点】三角函数【解析】俯角是 45! ，,/BDA = 45：，AB = AD=l20m,又

7、 ZCAD = 30!CD 3,二 在 RtAADC 中 tan/CDA=tan30 = =AD 3, CD = 40A3- （m）【点评】学会应用三角函数解决实际问题。三.解答题1. （2018 湖北襄阳 6分）为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作 人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒 10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶.在A处测得岸边一建筑物 P在北偏东30。方向上，继续行驶 40秒到达B处时，测得建 筑物P在北偏西60。方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB的距离（结果保留根号）.西【分析】作PCL AB于C,构造出RtPAC与RtPBC求出AB的长度，利用特

8、殊角的三角 函数值求解.【解答】 解：过 P点作 PCL AB于 C,由题意可知：/ PAC=60 , / PBC=30在 RHPAC中，FtanNPAC， AC=PC在 RHpBC中，去tan/PBC， BC$PC， dCPC+VPC=10X40=4。，,.AB=AC+BC= -；3.PC=100/5，答：建筑物P到赛道AB的距离为100几米.【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三 角形，再利用特殊角的三角函数值解答.2. （2018?江苏宿迁？ 8分）计算：（-2/.；.版）0十|布.2|十2疝16"【答案】5【斛析】【分析】按顺序先进行

9、平方运算、。次军运3.绝对值的化而、特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序送行计算即可，匚、*【详II牛】原式=4-1+ （2-%；，）+2X,2=4-1+2-布+卡,=5.【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算顺序、特殊角的三角函数值是解题的关键.3. （2018?江苏淮安？ 10 分）（1）计算：2sin45 ° + （兀1） °-V13+| - 2&| ;（2）解不等式组:【分析】（1）先代入三角函数值、计算零指数哥、化简二次根式、去绝对值符号，再计算乘 法和加减运算可得;（2）先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可.【解答】解：（1）原式=

10、2X 返+1-3&+2、匹2=! 7+1 -: =1;（2）解不等式 3x-5vx+1,得：x<3,解不等式2x 1遍3kT ,得：x>1, 2则不等式组的解集为1W Xv 3.【点评】本题主要考查解一元一次不等式组和实数的运算，解题的关键是掌握解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了及实数的混合运算顺序和运算法则.4. (2018?江苏淮安？ 12分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y= - -x+4的图象与x3轴和y轴分别相交于 A.B两点.动点P从点A出发，在线段 AO上以每秒3个单位长度的速 度向点O作匀速运动，到达点。停止运

11、动，点 A关于点P的对称点为点 Q,以线段PQ为边 向上作正方形PQMN设运动时间为t秒.(1)当t=_1秒时，点Q的坐标是(4, 0);3(2)在运动过程中，设正方形PQMlNf4AOB重叠部分的面积为 S,求S与t的函数表达式；【分析】(1)先确定出点 A的坐标，进而求出 AP,利用对称性即可得出结论；(2)分三种情况，利用正方形的面积减去三角形的面积，利用矩形的面积减去三角形的面积，利用梯形的面积，即可得出结论；(3)先确定出点T的运动轨迹，进而找出 OT+PTt小时的点T的位置，即可得出结论.【解答】解：(1)令y=0,2 .八-=-x+4=0,3x =6,A (6, 0),当1=1秒

12、时，AP=3X1=1,33.OP=OA AP=5, P (5, 0),由对称性得，Q (4, 0);故答案为(4, 0);(2)当点Q在原点O时，OQ=6.AP=' OQ=32，t=3+3=1,当0VtWl时，如图1,令x=0, y=4, .B (0, 4), .OB=4, A (6, 0),.OA=6在 RtAOB中，tan / OAB=2?_=2,OA 3由运动知，AP=3t, .P (6 - 3t , 0), .Q (6-6t, 0),PQ=AP=3t 四边形PQM显正方形， MM OA PN=PQ=3t在 RtAPD中，tan/OAB=W上，AP 3t 3PD=2t,DN=t,

13、 MIN/ OA ./ DCNg OABtan / DCN旦L-=2,CN CN 3.CN= t ,2 .S=S正方形PQMNSa cdN= (3t) 2-Lt X J-t=21t2；224当1vtw3时，如图2,同的万法得，DN=t, CNqt ,32''' S=S矩形 oenp SacD=3t x ( 6 3t) t x -t= t +18t ;224当且 VtW2 时，如图 3, S=S 梯形 obd4 (2t+4) (6-3t) = - 3t 2+12;32(3)如图 4,由运动知，P (6- 3t , 0) , Q (6 - 6t , 0),.M(6-6t,

14、3t),T是正方形PQM由对角线交点，.T (6-t ,雪)22点T是直线y=-Lx+2上的一段线段，(-3<x< 6),3作出点。关于直线y=-L+2的对称点CT交此直线于G,过点0'作OF，x轴，则OF就是 3OT+P巾勺最小值，由对称知，OO'=2OQ易知，OH=2 OA=6 AHoh2+oa2=2V1O,S AAOo/ OA=1-AHX OQ22og=A,5qq.= 6V105在 RtAOH中，sin Z OHA=£!=_5 W15AH 2710 10/ HOG£ AOG=90 , Z HOG£ OHA=90 , ./AOGNO

15、HA在 RtOFO中，OF=OO，sin / O'OF=x 二殁,5105即：OT+P晒最/、值为 弱.BQ图1【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了正方形的面积，梯形，三角形的面积公式，正方形的性质，勾股定理， 锐角三角函数，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键，找出 点T的位置是解本题（3）的难点.5. （2018?金华、丽水？ 8分） 如图，在 RtABC中，点 O在斜边 AB上，以O为圆心，OB 为半径作圆，分别与 BC,AB相交于点QE,连结AD已知/ CAD=B.（1）求证：AD是。的切线.(2)若 BG8, tan B=l,求。的半径.【解析】【分析】（1）证明切线时

16、，第般将圆心与切点连结起来，证明该半径和该直2线垂直即可证得；此题即证/ ADO=90;（2）直接求半径会没有头绪，先根据题中的条件,求出相关结论，由 BC=& tan B= 2不难彳#出AC, AB的长度；而tan/1=tanB= 2 ,同样可求出CD AD的长度；设半径为r,在RtADO中，由勾股定理构造方程解出半径r即可。6. （2018?广东？ 9分）如图，四边形 ABCM, AB=AD=CD以AB为直径的。O经过点C,连接AC,。位于点E.(1)证明：OD/ BQ(2)若tan/ABC=2证明：DA与O O相切；(3)在(2)条件下，连接 BD交于。O于点F,连接EF,若BC

17、=1,求EF的长.【分析】(1)连接OC证 OA国OCD导/ ADOW CDO由AD=C出口 DEL AC,再由AB为直径知BC± AC 从而得 OD/ BQ(2)根据tan/ABC=2可设BC=A.则AC=2A.AD=AB而高不=/a，证 OE为中位线知OE=lA.AE=CE=-AC=ei,进一步求得 口£山口2 2=2a,再 AOM利用勾股定理逆定理证Z OAD=90即可得;22彳(3)先证 AFD BAD得 DF?BD=ADD,再ffiA AE中 OAD得 OD?DE=ADD,由得DF?BD=OD?DE即电=蚂，结合/ EDF=Z BDCH EDM BDQ 据此可得变

18、®,结合(2)OD BDOB BD可得相关线段的长，代入计算可得.【解答】解：(1)连接OC在 OA丽 AOCD43,"0A-0C，AD=CD,lod=od . OA国 OCD( SSS , / ADOh CDO又 AD=CD .DEL AC,.AB为。O的直径,，/ACB=90 ,，/ACB=90 ,即 BCL AC, .OD/ BC;(2) . tan / ABC&=2,EC ,设 BC=A.则 AC=2a .AD=AB= . OE/ BC,且 AO=BQ .OE=_BC=_a, AE=CE= AC=a,222在AAED中，DE= - _/'=2a,在A

19、OD中,aO+AeJ= (2i£) 2+ (加a) 2=-a2, OD= (OF+DF 2= (a+2a) 2=a： 2424.aO+aDmoD,/ OAD=90 ,则DA与。O相切；(3)连接AF,.AB是。O的直径，/ AFD=/ BAD=90 , / ADF=/ BDA . AFD BAD：.L=辿,即 df?bd=adD,AD BD又 / AEDh OAD=90 , / ADEh ODA . AED QAD.国1=理，即 od?de=ADd,OD AD一 1_ DF DF由可得 DF?BD=OD?DEP =,OD BD又 / EDF4 BDQ . EDM BDQ .BC=1,

20、 .AB=AD次、OD皂、ED=2.BD=/1Q> OB也，22.匹匹，即笄=3，OB BD 渔技2解得：EF=.2【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点.7. (2018?广西贵港？ 8分)如图，已知。0 是4ABC的外接圆，且 AB=BC=C DAB/ CD连接 BD(1)求证：BD是。0的切线；(2)若AB=10 cosZ BAC=2,求BD的长及。0的半径.【分析】(1)如图1,作直径BE,半径OC证明四边形 ABD比平行四边形，得/ A=Z D, 由等腰三角形的性质得：/ CBD

21、W D=Z A=Z OCE可彳EBD=90 ,所以 BD是。0的切线；(2)如图2,根据三角函数设 EC=3x, EB=5x,贝U BC=4x根据AB=BC=10=4x彳导x的值，求得。0的半径为至，作高线CG根据等腰三角形三线合一得 BG=DG根据三角函数可得结4论.【解答】(1)证明：如图1,作直径BE,交。0于E,连接EC.OQ则/BCE=90 , ./ OCE+OCB=90 ,1. AB/ CD AB=CD 四边形ABDO平行四边形，/ A=Z D, .OE=O C/ E=Z OCEBC=CD / CBDW D, / A=Z E, ./ CBD= D=/A=/ OCE .OB=O C ./ OBCg OCB ./ OBC+CBD=90 ,即/EBD=90 , .BD是。0的切线;(2)如图 2, ,. cos/BAC=co“ F= EC 3设 EC=3x, EB=5x,贝U BC=4x, .AB=BC=10=4