2019-2020学年江苏省盐城市阜宁县九年级(上)期中数学试卷

1、2019-2020学年江苏省盐城市阜宁县九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共有 8小题，每小题3分，共24分在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1 （ 3分）学校为了丰富学生课余活动开展了一次“爱我阜宁，唱我阜宁”的歌咏比赛，共有18名同学入围，他们的决赛成绩如表:成绩（分）9.409.509.609.709.809.90人数235431则入围同学决赛成绩的极差是（）A 0.5B 9.60C 9.40D 9.902 （ 3分）下列说法中正确的是（）A 两个平行四边形一定相似B 两个菱形一定相似C 两个矩形一定相似D 两个

2、等腰直角三角形一定相似3. （ 3分）下列命题中，是真命题的为（）A .三个点确定一个圆B 一个圆中可以有无数条弦，但只有一条直径C.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D 同弧所对的圆周角与圆心角相等4. （ 3分）如图，DE /BC ,在下列比例式中，不能成立的是（）A DB ECDEBCAEECC.空山AD AEDBECABAC5. （ 3分）如图，点C是线段AB的黄金分割点（ACBC）,下列结论错误的是AC BC2 IA B BC ABlBCAB ACT6. （ 3分）将正五边形绕它的中心顺时针旋转AC 5 1BCC.-D 0.618AB2AC度与本身完全重合，的最小值是（A . 30B

3、 . 45C. 60D. 727 . （ 3分）如图,为ABC的内切圆,AC 10 , AB 8 , BC9 ,点D , E分别为BC ,CDE的周长为（A . 9AC上的点，且DE为00的切线，贝UC. 11& （ 3分）如图，AB是00的直径，弦CD垂直平分OB ,则BAC等于（B . 20C . 30D . 45请将答案二、填空题（本大题共有 10小题，每小题3分，共30分.不需写出解答过程,直接写在答题卡相应位置上）9. （3分）甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是 8.5环，方差分别是：S2 2 , Sl 1.5 ,则射击成绩较稳定的是 _ （填“甲”或“乙

4、“）.10 . （3分）已知线段b是线段a、C的比例中项，且a 2 Cm , b 4 Cm ,那么C Cm .11 . （3分）为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，如表是这10户居民2019年10月份用电量的调查结果：居民（户）1324月用电量（度/户）40505560那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法：（1）中位数是55 （2）众数是60（3）方差是29 （4）平均数是54 .其中错误的是 _ （填序号）12 . （3分）小刚身高1.7m ,测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ,紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ,那么小刚举起的手臂超

5、出头顶的高度为m .13 . （3分）直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧.其中错误的是 .（填序号）14 . （3分）圆锥的母线长5cm ,底面半径长3cm ,那么它的侧面展开图的圆心角是 度.15. （3分）如图，四边形 ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点 R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q .则CP: AC.16. （3分）如图，PA切00于点A , PBC是OO的割线，若PBBC 2 ,贝U PA第5页（共29页）17. （3分）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，直径MN为IOOcm ,油面宽AB为

6、80cm ,则油面上升18. （3分）如图，在Rt ABC内有边长分别为a , b , C的三个正方形.则a、b、C满足三、解答题（本大题共有 9小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. （10分）某居民小区一处柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形 截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.（1） 请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面（保留作图痕迹）；（2） 若这个输水管道有水部分的水面宽AB 16cm ,水面最深地方的高度为 4cm ,求这个 圆形截面的半径.20. （10分）如图，已知 O是 ABC内一点，

7、D、E、F分别是OA、OB、OC的中点.求证： ABCS DEF .21. （10分）某养鸡场有 2500只鸡准备对外出售，从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量（单位：kg）,绘制出如下的统计图 和图.请根据相关信息，解答下列问题：（I）图中m的值为;（）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数；（川）根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为2.0kg的约有多少只?22. （ 10分）如图，0O中，弧BC所对的圆周角是BAC ,圆心角是 BOC .求证:BAC - BOC .23.（ 10分）如图，等边三角形 ABC的边长为6,在AC , BC边上各取一点 E , F ,使AE CF , 连

8、接AF , BE相交于点P .（1）求证： AF BE ,并求 APB的度数；AP AF的值.24. （10 分）如图，在 Rt ABC 中, ACB 90 , AC 3 , BC 交AB于D , DE是OO的切线，过点 B作DE的垂线，垂足为4，以边BC为直径作Qo，E .(1)求证： ABC ABE ;ABC 和 DEF 中， A D 90 ， ABDE 3， AC 2DF 4 .（1）判断这两个三角形是否相似并说明为什么?（2）能否分别过 A，D在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC分割成的两个三角形与 DEF分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论.26. （12分）【旧知再现】

9、圆内接四边形的对角 .如图1,四边形 ABCD是0O的内接四边形， 若AB BD， ABD 40，贝U BCD【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗?如图2,某数学兴趣小组进行深入研究发现：ABlCD BqDA AqBD证明：如图3,作 BAE CAD ,交BD于点E .11J BAE CAD , ABD ACD ,ABES ACD ,AB BE 即 AB(CDAC CDAqBE (请按他们的思路继续完成证明)【应用迁移】如图4,已知等边 ABC外接圆00 ,点P为BC上一点，且PB 3 , PC 1 , 求PA的长.27. (14 分)如图，在 Rt ABC 中， ACB 90 , AC

10、 8 , BC 6 , CD AB 于点 D .点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止.设运动时间为t秒.(1) 求线段CD的长；(2) 当t为何值时，CPQ是直角三角形？(3) 是否存在某一时刻，使得PQ分 ACD的面积为1:11 ?若存在，求出t的值，若不存在， 请说明理由.第6页(共29页)AD第11页（共29页）2019-2020学年江苏省盐城市阜宁县九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有 8小题，每小题3分，共24分在每小题所给出的四个选项中, 只有一项

11、是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1 （ 3分）学校为了丰富学生课余活动开展了一次“爱我阜宁，唱我阜宁”的歌咏比赛，共有18名同学入围，他们的决赛成绩如表：成绩（分）9.409.509.609.709.809.90人数235431则入围同学决赛成绩的极差是（）A 0.5B 9.60C 9.40D 9.90【分析】根据极差的定义即可求得.【解答】解：入围同学决赛成绩的极差是：9.90 9.40 0.5 ;故选：A 【点评】此题考查了极差，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值.2. （ 3分）下列说法中正确的是 （）A 两个

12、平行四边形一定相似B 两个菱形一定相似C 两个矩形一定相似D 两个等腰直角三角形一定相似【分析】根据相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同进行分析即可.【解答】 解：A、两个平行四边形一定相似，说法错误；B、两个菱形一定相似，说法错误；C、两个矩形一定相似，说法错误；D、两个等腰直角三角形一定相似，说法正确；故选：D 【点评】此题主要考查了相似图形，关键是掌握相似图形定义：把形状相同的图形称为相似 形.3. （ 3分）下列命题中，是真命题的为（）A .三个点确定一个圆B .个圆中可以有无数条弦，但只有一条直径C .圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D .同弧所对的圆周角与圆心角相

13、等【分析】 结合圆的基本知识，逐一判断.【解答】 解：A、不在同一直线上的三点可以确定一个圆，错误；B、经过圆心的弦都是圆的直径，圆有无数条直径，错误；C、圆是最特殊的平面图形，圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；D、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，错误.真命题为C .故选：C .【点评】本题考查了点与圆的关系，圆的对称性，弦，弧，圆周角，圆心角等圆的有关概念 和性质.在下列比例式中,不能成立的是A. AD AEDB ECB. DE 竺 BC ECAB ACAD AEDPBAB.ECAC【分析】本题主要掌握相似三角形的定义，根据已知条件判定相似的三角形.【解答】 解：根据题意，可得AD

14、E S ABC ,根据相似三角形对应边成比例，可知B不正确，因为 AE与EC不是对应边,所以B不成立.故选：B .【点评】此题考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况.5. （ 3分）如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC BC）,下列结论错误的是（）ACACBC2AAC5 1BCA .B . BC ABIBCC .D .0.618ABACTAB2AC这样【分析】把一条线段分成两部分， 使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（学1）叫做黄金比.【解答】解：Z AC BC ,AC是较长的线段,根据黄金分割的定义可知：AB: AC AC: BC ,故A正确

15、，不符合题意;AC2ACABBCABlBC ,故B错误，51,故C正确，不符合题意;2AC0.618 ,故D正确，不符合题意.故选:【点评】 本题主要考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段原线段的3 5倍，较长的线段 原线段的倍，难度适中. 2 26. （ 3分）将正五边形绕它的中心顺时针旋转度与本身完全重合,的最小值是（）A . 30B . 45C. 60D. 72第19页（共29页）【分析】根据正五边形的性质，旋转中心为正五边形的中心，由于正五边形每个顶点到旋转 中心距离相等，两个相邻的顶点可看作对应点.【解答】 解：正五边形每边所对的中心角是360 5 72 , 因此 的最小

16、值是72 , 故选：D .“至少应将它绕中心顺时【点评】此题主要考查了旋转对称图形，解答此题的关键是要明确针旋转的度数”为其中心角的度数，然后根据五边形中心角的求法解答.7. （ 3分）如图，0为ABC的内切圆，AC10 , AB8 , BC9 ,点D , E分别为BC ,AC上的点，且DE为00的切线，贝U CDE的周长为（A . 9C. 11【分析】设AB , AC ,BC和圆的切点分别是.根据切线长定理得到 NC MC ,QE DQ .所以三角形CDE的周长即是CMCN的值，再进一步根据切线长定理由三角形ABC的三边进行求解即可【解答】 解：设AB , AC , BC和圆的切点分别是 P

17、 , N , M , CM X ,根据切线长定 理，得CN CM X , BM BP 9 X , AN AP 10 X 则有 9 X 10 X 8,解得：X 5.5 所以 CDE 的周长 CD CE QF DQ 2x 11.故选：C .【点评】此题主要是考查了切线长定理要掌握圆中的有关定理，才能灵活解题.& （ 3分）如图，AB是00的直径，弦CD垂直平分OB ,则BAC等于（B . 20C. 30D. 45【分析】连接OC ,在直角 OCE中，即可求得 COE的度数，根据等腰三角形的性质，即 可求解.【解答】解：连接OC ,1 1OE 丄 OB -OC ,t 2 2OCD 30 ,C

18、OB 60 , II OA OC ,BAC 30 .故选：C .【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，正确解直角三角形，求得CoE的度数是关键.二、填空题（本大题共有 10小题，每小题3分，共30分不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）9. （3分）甲、乙两人进行射击测试， 每人10次射击成绩的平均数都是 8.5环，方差分别是:S甲2 , Sl 1.5 ,则射击成绩较稳定的是乙 （填“甲”或“乙“）.【分析】直接根据方差的意义求解.【解答】解：S甲 2 , Si 1.5 ,SlSl,乙的射击成绩较稳定.故答案为：乙.【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平

19、方的平均数，叫做这组数据的方差.方差通常用 S来表示，计算公式是： S21（X1X）2（冷X ）2（XnX）2；方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方n差越大，则平均值的离散程度越大， 稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小， 稳定性越好.10. （3分）已知线段b是线段a、C的比例中项，且a 2 Cm , b 4 Cm ,那么C 8 Cm .【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解.【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，所以 b2 ac ,即 42 2c , C 8 .故答案为：&【点评】 此题考查了比例线段；理解比

20、例中项的概念，注意线段不能是负数.11. （3分）为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行了调查，如表是这10户居民2019年10月份用电量的调查结果：居民（户）1324月用电量（度/户）40505560那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法：（1）中位数是55 （2）众数是60（3）方差是29（ 4）平均数是54.其中错误的是（3） （填序号）【分析】根据众数、平均数、众数和方差的概念，求出该组数据的众数、平均数、众数和方差，然后选择错误选项即可.【解答】 解：组数据按照从小到大的顺序排列为40, 50, 50, 50, 55, 55, 60, 60, 60,60,

21、则中位数为：555555 (度 ),2；60度出现了 4次，出现的次数最多,众数为60度，平均数为：4050 3 55 2 60 454 (度 ),1022方差为和（4054)3(50 54)2 22(5554)4(60 54) 39 ；其中错误的是（3）;故答案为：（3）.【点评】本题考查了众数、中位数、平均数和方差的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念.12. （3分）小刚身高1.7m ,测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ,紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ,那么小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.5 m .【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时

22、总高度X ,即可列方程解出X的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度.【解答】 解：设手臂竖直举起时总高度Xm ,列方程得：1.7 X0.851.1 ,解得X 2.2 ,2.2 1.7 0.5m ,所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.5m .故填0.5.【点评】 解答此题的关键是明确在同一时刻物体的高度和影长成正比.13. （3分）直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧其中错误的是.（填序号）【分析】根据直径与弦的定义判断 ；根据确定圆的条件判断 ；根据三角形的外心的性质 判断；根据半圆与等弧的定义判断 .【解答】 解：

23、直径是圆中最长的弦，正确； 经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，错误； 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，正确； 半径相等的两个半圆是等弧，正确.其中正确的有，错误的为.故答案为：.【点评】本题考查了圆的认识，三角形的外接圆与外心，确定圆的条件，是基础知识.掌握 定义是解题的关键.14. （3分）圆锥的母线长5cm ,底面半径长3cm ,那么它的侧面展开图的圆心角是216 度.【分析】易得圆锥的底面周长， 也就是圆锥侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角.【解答】 解：.圆锥的底面半径长 3cm ,圆锥的底面周长为 6 Cm ,设扇形的圆心角为n ,6 ,180解得

24、n 216 .【点评】用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长.15. （3分）如图，四边形 ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点 R为DE的中点，BR 分别交AC、CD于点P、Q .则CP: AC 1:4.【分析】由平行四边形的性质，可以得出AC/DE ,且AC DE ,根据线段成比例即可得出结论.【解答】 解：T四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，AC/DE , BC AD CE ,PC BCRE BE，BC 1BE 2，PC 1RE 2，.点R为DE的中点,PC : DE 1:4 , 即 PC: AC 1:4 , 故答案为：1:4 .【点评】本题考查了平行

25、四边形的性质，结合平行线的性质得出线段间的距离是常考的知识点，要求有比较高的读图能力0O于点A , PBC是0O的割线，若PBBC 2 ,则 PA _22PA 【分析】首先根据切割线定理得到 PA2 PBlPC ,利用等式即可求出【解答】解：PA切00于点A , PBC是®O的割线，PA2PBPC ,而PBBC 2 ,PA22 48,PA2、2 .故填空答案：2 2 【点评】本题主要考查了切割线定理，正确利用定理是解决本题的关键.17. （3分）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，直径MN为100cm ,油面宽AB为60cm ,如果再注入一些油后，油面宽变为80cm ,则油面上升

26、10cm或70cm 【分析】本题实质是求两条平行弦之间的距离.根据勾股定理求弦心距， 作和或差分别求解.【解答】 解：连接OA ,作OG AB于G，:AB 6分米，1AG -AB 3 分米，2T油槽直径MN为10分米.OA 5分米，OG 4分米，即弦 AB的弦心距是4分米，同理当油面宽 AB为8分米时，弦心距是 3分米，当油面没超过圆心 0时，油上升了 1分米，即IOcm ;当油面超过圆心 0时，油上升了 7分米，即70cm .【点评】本题主要考查了垂径定理的应用，此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三 角形中

27、，然后通过直角三角形予以求解.18. （3分）如图，在Rt ABC内有边长分别为a , b , C的三个正方形.则a、b、C满足的关系式是_b aC_.4、【分析】因为RtABC内有边长分别为a、b、C的三个正方形，所以图中三角形都相似, 且与a、b、C关系密切的是 DHE和GQF ,只要它们相似即可得出所求的结论.【解答】解：如图,i <* DH /AB/QFGFQB ;EDHA,又Z A1B 90, EDHDEH 90 ,GFQFGQ 90EDHFGQ,DEHGFQ ;DHE S GQF ,DHEHGQFQ，ab ab CCac (b c)(b a)2bab bc b(a C),b

28、a C .【点评】此题考查了相似三角形的判定，同时还考查观察能力和分辨能力.三、解答题(本大题共有9小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19. (10分)某居民小区一处柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形 截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.(1) 请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面(保留作图痕迹)；(2) 若这个输水管道有水部分的水面宽AB 16cm ,水面最深地方的高度为 4cm ,求这个 圆形截面的半径.【分析】(1)根据尺规作图的步骤和方法作出图即可;(2)先过圆心 O作半径Co AB ,交AB于

29、点D设半径为r ,得出AD、OD的长，在Rt AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径.【解答】解：(1)如图所示；(2)作OC AB于C ,并延长交Qo于D ,则C为AB的中点,1 I彳 AB 16cm ,1AD AB 8cm .2设这个圆形截面的半径为 XCm ,又;CD 4cm，OC X 4，在Rt OAD中，2222 介22f OD AD OA ,即(x 4)8 X ，解得X 10 .这个圆形截面的半径为 10cm .【点评】此题考查的是作图应用与设计作图，涉及到垂经定理和勾股定理,关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解.20. （10分）如图，已知 O是 ABC内一点，D

30、、EF分别是OA、OB、OC的中点.求证： ABCS DEF .AAA【分析】先根据三角形中位线性质得到DE -AB , EF - BC , DF - AC ,则可利用三2 2 2组对应边的比相等的两个三角形相似得到结论.【解答】 证明：D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，111DE AB , EF BC , DF AC ,222第#页（共29页）即DE ABEF DFBC AC，ABCS DEF .【点评】本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似.也考查了三角形中位线性质.21. (10分)某养鸡场有 2500只鸡准备对外出售，从中随机抽取了一部分鸡，根据它们的质量

31、(单位：kg),绘制出如下的统计图 和图.请根据相关信息，解答下列问题：第25页（共29M）(I)图中m的值为 28;()求统计的这组数据的平均数、众数和中位数;(川)根据样本数据，估计这2500只鸡中，质量为2.0kg的约有多少只?【分析】(I)根据各种质量的百分比之和为1可得m的值;(II)根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可；(III )将样本中质量为2.0kg数量所占比例乘以总数量2500即可.【解答】 解：(I)图中m的值为100(32 8 10 22)28,故答案为：28;(II)这组数据的平均数为1.0 5 1.2 11 1.5 141.8 16 2.0 45 11 14

32、1641.52(kg),众数为1.8kg ,中位数为1.5 £ 1.5 1.5(kg)；4(III )估计这2500只鸡中，质量为 2.0kg的约有2500200只.50【点评】此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识.找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个； 平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.22. （ 10分）如图，0O中，弧BC所对的圆周角是BAC ,圆心角是 BoC 求证:BAC - BOC .【分析】如图1中，当圆心O在 BAC

33、的一边上时，禾U用三角形的外角的性质以及等腰三 角形的性质解决问题即可.如图2中，当圆心O在 BAC的一边上时，延长 BO交IO于点D ,连接CD ,根据同弧或 等弧所对的圆周角都相等可得 A D ,再根据等腰三角形的两底角相等，D OCD ,然后利用三角形的外角性质BOC DOCD ,整理即可得证;如图3中，当圆心在BAC外部时，延长BO交0O于点E ,连接CE ,根据同弧或等弧所对的圆周角都相等可得A E ,再根据等腰三角形的两底角相等，E OCE ,然后利用三角形的外角性质BOC EOCE ,整理即可得证.【解答】 证明：当圆心O在 BAC的一边上时.如图1中,A ACO ,+1i BO

34、C A ACO ,1.BOC 2 A ,即 BAC BOC ,* 2当圆心角在 BAC内部时，如图2中，延长BO交0O于点D ,连接CD ,则D A （同弧或等弧所对的圆周角都相等）C«II OC OD ,D OCD ,'l' BOC D OCD （三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和）BOC 2 A ,1 即 BAC BOC ;2当圆心在 BAC外部时，如图3中，延长BO交00于点E ,连接CE ,则E A （同弧或等弧所对的圆周角都相等），E OCE，:BOC E OCE （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），BOC 2 A，1即 BAC BO

35、C .2【点评】 本题考查了圆周角定理的证明，是基础题，作出辅助线找出与BAC相等的角，进行等量代换是解题的关键，方法与定理都需要熟练掌握并灵活运用.23.（ 10分）如图，等边三角形ABC的边长为6,在AC , BC边上各取一点E ,F,使AE CF ,连接AF , BE相交于点P .（1）求证： AF BE ,并求 APB的度数；（2）若AE 2 ,试求APAF的值.ABE CAF ,依据全等三角形的性质可得到AB AC ,C CAB ,然后依据SAS可证明角的性质求解即可;(2)先证明APE S案.【解答】解:(1)ABECAF,最后，再依据三角形的外AB AC ,ACF ,依据相似三角

36、形的性质得到ABC为等边三角形,CAB60 ,在ABE和CAF中,ABCAEACCAB ,CFABE CAF ,AF BE , ABE 又 APE BPFCAFABPBAP,APEBAPCAF 60 ,APB180 APE 120C APE60 , PAE CAF ,APES ACF ,AP圧，即APAC AF62AF ,AP AF 12.【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、相关知识是解题的关键.APACAE,从而可得到问题的答AF相似三角形的性质和判定，熟练掌握24. (10 分)如图，在 Rt ABC 中， ACB 90 , AC交AB于D , DE是0的切线，过点 B作DE的

37、垂线，垂足为 E .3 , BC 4 ,以边BC为直径作0O ,(1)求证： ABC ABE ;(2)求DE的长.第22页(共29页)第24页(共29M)【分析】(1)连接OD ,根据切线的性质得到OD DE ,证明OD/BE ,根据平行线的性质证明;(2)连接CD ,根据勾股定理求出 AB ,证明BDC S BCA ,求出 BD ,证明 DEBS ACB ,根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可.【解答】(1)证明：连接OD，:DE是0O的切线;OD DE ,+1.BE DEOD /BEEBDODB，ODBABC，ABCABE ；(2)连接CD，在 Rt ABC 中，ACBC 4，AB 5

38、 ,CDB90 ,ACB90 ,ACBCDB ,ABCCBD ,BDC SBCA BC AC，即 B16BD + I4l （JO的半径,ACB DEB 90 , ABC ABE ,DEB S ACB DE BD ,即 DEAC AB 31655【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.25( 10分)如图，在 ABC和 DEF中， AD 90 , AB DE 3, AC 2DF 4 (1)判断这两个三角形是否相似并说明为什么?(2)能否分别过 A , D在这两个三角形中各作一条辅助线，使ABC分割成的两个三角形与 DEF分割成的两个三角形分别对应

39、相似？证明你的结论.【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析即可.【解答】解：（1）不相似.在 Rt BAC 中， A 90 , AB 3 , AC 4 ; 在 Rt EDF 中， D 90 , DE 3 , DF 2 , .AB 3 AC 4DF 2 , DE 3 ,AB ACDF DE ,Rt BAC与Rt DFE不相似.(2)能作如图所示的辅助线进行分割.证明：作 BAM E ,交BC于M ;作 NDE B ,交EF于N .由作法和已知条件可知BAM S DEN .+1I BAM E , NDE B , AMC BAM B , FND E NDE ,AMC FND .:FDN 90

40、 NDE , C 90 B ,FDN C . 有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似; 三组对应边的比相等，则两个三角形相似.26.（ 12分）【旧知再现】圆内接四边形的对角 互补 .如图1,四边形ABCD是©O的内接四边形，若AB BD , ABD 40 ,贝U BCD 【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？如图2,某数学兴趣小组进行深入研究发现：ABlCD BClDA ACBD证明：如图3,作 BAE CAD ,交BD于点E .BAE CAD , ABD ACD ,ABES ACD ,ABACBECD即 ABICDACBE （请按他们的思路继续完成证明）第31

41、页（共29页）【应用迁移】如图4,已知等边 ABC外接圆00 ,点P为BC上一点，且PB 3 , PC 1 ,求PA的长.【分析】【旧知再现】根据等腰三角形的性质，以及圆内接四边形对角互补求出所求即可.【问题创新】所得等式两边加上ADIBC ,右边变形后即可得证.【应用迁移】由上题的结论，根据三角形ABC为等边三角形，可得 AB AC BC ,代入化简即可求出PA的长.【解答】【旧知再现】解：圆内接四边形对角互补,如图1中，；AB BD ,ADB BAD ,* IABD 50 .11BAD （180 ABD） 70 ,2-四边形ABCD是圆内接四边形，«II BAD BCD 180BCD 180 BAD 110 ;故答案为互补，110【问题创新】证明：如图 3,11i BAE CAD ,BAE CAE CA