Wilcoxon符号秩检验,点估计和区间估计——ppt

1、 与符号检验相比，Wilcoxon 符号秩检验不仅利用了观测值与零假设的中心位置之差的符号，而且还利用了这些差的绝对值的大小。 因此从数据 中利用了更多的信息，不仅有观测值在中心位置的哪一边，而且还把各观测值距离中心远近的信息考虑进去，使检验结果更加有效和精确。n1,XX 2.2 Wilcoxon 符号秩检验，点估计和区间估计符号秩检验，点估计和区间估计 2.2.1 Wilcoxon 符号秩检验 Wilcoxon signed-rank test 检验假定：样本点 来自连续对称总体分布 （符号检验不需要这个假定） 此时总体中位数等于均值n1,XX 检验统计量：观测值和零假设的中心位置之差的绝对

2、值的 秩分别按照不同的符号相加作为其检验统计量 检验思想： Wilcoxon 符号秩检验是检验关于中位数对称的 总体的中位数是否等于某个特定值 检验假设：单边检验： 左侧检验 右侧检验双侧检验：0010:HMMHMM0010:HMMHMM0010:HMMHMM2.3104.12, 5.81, 7.63, 9.74, 10.39, 11.92, 12.32, 12.89, 13.54, 14.458例下面是个欧洲城镇每人每年平均消费的酒类相当于纯酒精数(单位：升). 数据已经按照升幂排列：人们普遍认为欧洲各国人均年消费酒量的中位数相当于纯酒精 升.我们希望用上述数据来检验这种看法一、Wilcox

3、on 符号秩检验 的步骤00:=8HM M分析：设111.160:8HM 由数据计算而得的中位数为的，因此我们的备择假设为01:=8:8HMHM即：假设检验Wilcoxon 符号秩检验 步骤：(1). 00 1,2,inXMiM对计算，它们代表这些样本点到的距离.02.31,2,103.88, 2.19, 0.37, 1.74, 2.39, 3.92, 4.32, 4.89, 5. 54, 6.45.iXMi 对于例数据到，计算，得100, 20niiiiinxDxMHDnDxiD为了对假设作出判定，需要从总体中随机抽取一个样本得到个观察值，记作，它们分别与的差值记为1， ， ，如果为真，那么

4、观察值围绕分布，即关于对称分布.这时，对于来说，正的差值和负的差值应近似地相等.为了借助等级大小作判定，先忽略符号，而事实取绝对值，对按大小顺上，序分等级(2). nn把上面的个绝对值排序，并找出它们的个秩；如果有相同的样本点，每个点取平均秩.2.35, 3, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10.对于例数据，这些秩为按本身符号的正、负分别加总它们的等级即秩次，得到正等级的总和与负等级的总和。虽然等级本身都是正的，但这里是按的符号计算的事实上，等级和。000000+ 1 / 2=.iiiiWXMXMWXMXMWnWn令等于的秩的和.而的秩的和，两者之的和等于的(3). 2.35,3,

5、 1,2,4,6,7,8,9,10.=2+4+6+7+8+9+10=46=5+3+1=9WW对于例数据，加上符号的秩为因此，；(4). 0010:=.HMMHMMWW对的右侧检验问题，取2.3=9.WW对于例问题，取0010:mi n (,).HMMHMMWWWWW(1).对双边检验，在零假设下，应该差不多.因而，当其中之一很小时，应怀疑零假设.在此，取检验统计量和注：0010:.HMMHMMWW(2).对右侧检验，取检验统计量0010+:.HMMHMMWW(3).对左侧检验取检验统计量，WilcoxonnWZWpp根据得到的查符号秩检验的分布表 以得到在零假设下的值。如果很大就要用正态近似：

6、得到一个与有关的正态随机变量的值，再用软件或查正态分布表值，利用统计软得到件或值.(5). 2.3=0.032p对于例数据，得到值(6). ppp如果值较小(比如小于或等于给定的显著性水平)，则可以拒绝零假设.如果值较大，则没有充分证据来拒绝零假设，但不意味着接受零假设.实际上显著性水平可取任何大于或等于值的数。2.30.050.032,.p对于例问题，如果给定，由于值小于我们可以拒绝零假设 关于 Wilcoxon 符号秩检验 统计量的常见定义：|jjRx用表示在绝对值样本中的秩，则有正秩次总和1(0)njjjWR I X负秩次总和+1(0)njjjWR I X 其实，上面例子的检验在 R 软

7、件中用一个语句就可以得出结果： wilcox.test(y-8,alt=“greater”) 其中 y表示数据向量二、Wilcoxon 符号秩检验 在零假设下的精确分布+:W简单情况下，概率计的方法算3123.8n 当时， 绝对值的秩只有 ， ，但是却有 种可能的符号排列在零假设下，每一个这种符号排列都是等概率的+21,8384WWPP因而二、Wilcoxon 符号秩检验 在零假设下的精确分布+W 概率现在，给的一出计算般方法. 11|0.(0)jjjjjjDjnnjjjjjRxS xI xWS DDXXWR I XjW表示示性函数，其中用表示在绝对值样本中的秩反秩由定义则，用定义011112

8、22jtWttjEeeee由于， 111112njjjtjWnntjWtWtjnnjjnWMtEeEeEee可得 样本量为时，的母函数 2012=ttnMtaa ea e母函数有展开式+jaP Wj则dwilxonfun=function(N) a=c(1,1) n=1 pp=NULL aa=NULL for (i in 2:N) t=c(rep(0,i),a) a=c(a, rep(0, ,i)+t p=a/(2i) pN=19dwilxonfun (N)+dwilxonfWjunRWP分下面的函数用布来计算的一个密度函数，即参考程序三、Wilcoxon 符号秩检验 和 符号检验 在解决同样

9、的位置参数检验问题时的不同1、两个不同方向的 Wilcoxon 符号秩检验 9=4690.032230.05 WWWWp，；检验统计量 值对拒绝零假设01:=8:8HMHM0iiXXM秩符号4 .1 23 .8 855 .8 12 .1 937 .6 30 .3 719 .7 41 .7 421 0 .3 92 .3 941 1 .9 23 .9 261 2 .3 24 .3 271 2 .8 94 .8 981 3 .5 45 .5 491 4 .4 56 .4 51 01、两个不同方向的 Wilcoxon 符号秩检验 44=11110.052730.05 WWWWp，；检验统计量 值对不能

10、拒绝零假设结论：两个不同方向的 Wilcoxon 符号秩检验 的结果并不对称 01:=12.5:12.5HMHM0iiXXM秩符号4 .1 28 .3 81 05 .8 16 .6 997 .6 34 .8 789 .7 42 .7 671 0 .3 92 .1 161 1 .9 20 .5 831 2 .3 20 .1 811 2 .8 90 .3 921 3 .5 41 .0 441 4 .4 51 .9 552、两个不同方向的 符号检验 01:= 8:8HMHM3=730.17190.05 SSKSp，；检验统计量 值对不能拒绝零假设01:= 12.5:12.5HMHM+7=330.17

11、190.05 SKSSp，；检验统计量 值对不能拒绝零假设结论：两个不同方向的 符号检验 的结果完全对称 这是由于 ,0.5=,0.5Sb nSb n，1. Wilcoxon 符号秩检验 不但利用了符号，还利用了数值本身大小所包含的信息。这些区别也使得结果有所区别 2. 当然，Wilcoxon 符号秩检验 需要关于总体分布的对称性和连续性的假定 在这样的假定下， Wilcoxon 符号秩检验 比符号检验更加有效 如果对称性不成立，还是符号检验可靠四、Wilcoxon 符号秩检验 大样本时的修正n在大样本时， 太大而无法查表，可利用正态近似11111224nnjiiRjn nE W111(1)(

12、)024nniiiin nE WER I XMi221111 214 4 241nnjiin nRnVar Wj2111(1)(21)()0424 nniiiin nnVar WVarR I XMiWilcoxon由符号秩检验统计量的期望和方差可以用于构造大样本渐近正态统计量（：在零假设下）1 /4(0,1)(1)(21)/24Wn nZNn nnZp计算出值后，可由正态分布表查出值. min,0.;22;WWWZpP ZzzpP Zzz 因为，所以总小于对于单边检验， 值对于双边检验， 值利用正态近似 对例2.3 进行 Wilcoxon 符号秩检验 01:=8:8HMHM1.8856995z

13、 0.0297z0.05对，拒绝零假设检验结果检验统计量p 值01:=8:8HMHM1.8856995z 20.0593z0.05对，不拒绝零假设检验结果检验统计量p 值单边检验双边检验解： 从数据直方图上，没有明显的迹象表明数据的分布不是对称的. 建立假设检验例题 为了解垃圾邮件对大型公司决策层工作发影响程度，某网站收集了19家大型公司的CEO邮箱里每天收到的垃圾邮件数，得到如下数据: (单位：封) 310 350 370 377 389 400 415 425 440 295 325 296 250 340 298 365 375 360 385问从平均意义上来看，收到垃圾邮件的数量的中心

14、位置是否等于320封？使用Wilcoxon符号秩检验法计算如下：01:320,:320HH1030505769809510512025-+-2710121416171819652470202245554065+-+-+1515 34911813iRi|X320|iRi|X320|结论：不拒绝原假设。0.005W158158 19 20/ 40.5Z2.515,Z2.575819 20 39/ 24由于用R的内置函数计算格式: wilcox.test(x, y, alternative=two.sided, mu=0, paired=F, exact=T, correct=F) alternat

15、ive two.sided“ or greater or less mu X分布的中心位置paired 是否是配对 exact 使用W+的精确分布correct 使用正态近似 x y wilcox.test(x, y)Exact Wilcoxon rank-sum testdata: x and y rank-sum statistic W = 135, n = 10, m = 10, p-value = 0.0232 alternative hypothesis: mu is not equal to 0 wilcox.test(x,y,alternative=greater)Exact W

16、ilcoxon rank-sum testdata: x and y rank-sum statistic W = 135, n = 10, m = 10, p-value = 0.0116 alternative hypothesis: mu is greater than 0 ssn wilcox.test(x-320) Wilcoxon signed rank testdata: ss - 320 V = 158, p-value = 0.009453alternative hypothesis: true location is not equal to 0 Wilcoxon符号秩检验

17、采用了比符号检验更多的信息，一般地，可以得到比较好的结果。 但如果假定了总体分布的对称性，然而对称性不成立，则使用符号检验的结果更可靠。S14,S5,n19,p0.06360.01 如果采用binom符号检验法01H :P0.5,H :P0.5结论：接受 H0即计算 Yi=IXi320, S+=SUM(Yi)五、总结 Wilcoxon 符号秩检验p对显著性水平 ，如果值，拒绝零假设，否则不能拒绝0010:=:HMMHMM检验统计量p 值0010:HMMHMM0010:HMMHMMmin,WWWWWWW2 P WwP WwP Ww1 /4+0.5(1)(21)/24Wn nZn nn大样本时，用

18、渐近正态统计量说明：1 . 这里看上去是按照备择假设的方向选择 或 作为检验统计量但是实际上往往按照实际观察的 和 的大小来确定备择假设WWWW2. 这是因为只有数据（通过一些统计量）显现出某些和原模型不相容的特征时，人们才会怀疑零假设，并考虑进行假设检验的003.MMMMWWWW对于不同的备选假设或，我们分别选或作为检验统计量，是因为它们是及中较小的一个因而在计算或查表时要方便些4. 如果利用大样本正态近似，则选哪一个都没有关系 数据中有相同的数字，称为结 结中数字的秩为它们按升幂排列后位置的平均值 这样的秩称为中间秩 如果结多了，零分布的大样本公式就不准了。此时，需要对检验统计量进行修正六

19、、打结的情况 事实上，连续分布变量的观测值在理论上不应该产生结，但是由于四舍五入效应，连续变量的观测值实际上都是离散的，因此会产生打结的现象 而在存在打结时，无法进行精确的 Wilcoxon 符号秩检验的计算例题：假定有 12 个数其中秩和结统计量 为第 i 个结中观察值的个数 i1233=2=3=4g该数据一共有个结：，31(1)/401(1)(21)/24 /48giiiWn nZNn nn，当存在结的情况时，上面的正态近似公式应修正为：110,2nnijjiXXIij 2.2.2 基于 Wilcoxon符号秩检验 的点估计和置信区间/21ijnXXijn nWalsh要估计有个数的样本的对称中心，当然可以用该样本的中位数。但是为了利用更多的信息，首先求每两个数的平均（） ，一共有个来扩大样本数目.这样的平均称为平均。0WWalshWWalsh可以证明等于 大于 的平均的个数(是平均值中符号为正的个数)，即：#0,2ijXXWij1. Walsh 平均 111 ,.() ( ) 2nnnijjiWilcXXF xXXWIijoxon如果考虑位移 ，即，人们同样可以用来作符号，秩检验.无偏检验2ijWalshHodge