极化恒等式在向量问题中的应用专题

1、阅读以下材料：引例：平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。 你能用向量方法证明： 平行四边形的对角线的 平方和 等于两条邻边平方和的两倍证明：不妨设AB a,ADb,M则 AC a b,DB a b,2 .2 . _ 2 | ”2-i-2图1aCACa ba2a b b(1)dB2 2 2L| 2DBa ba 2a b b2(2)(1)（2）两式相加得：AC阿2a2 lb2 2AB2 |ad|2结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍 思考1:如果将上面（1）（ 2 ）两式相减，能得到什么结论呢？2rr 2a b = - a b a b 极化恒等式4对于上述恒等式，用向量运算

2、显然容易证明。 那么基于上面的引例， 你觉得极化恒等式 的几何意义是什么？几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与1“差对角线”平方差的丄4阳""122即：a b AC DB （平行四边形模式）4思考：在图1的三角形ABD（ M为BD的中点），此恒等式如何表示呢？因为AC 2AM，所以a b2AM丄|db|2 （三角形模式）4例1.（2012 年浙江文15）在 ABC中，uu uuurAB AC .解：因为M是BC的中点，由极化恒等式得:M是BC的中点，AM 3, BC10 ,则 2AB AC AMBC =9-100 = -16【小结】在

3、运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线,再写出极化恒等式。目标检测（2012北京文13改编）已知正方形ABCD的边长为1, 点E是AB边上的动点，贝V DE DA的值为.例2.（自编）已知正三角形 ABC内接于半径为2的圆O,点P是圆O上的一个动点，解.取AB 则PA PB的取值范围是.的中点D,连结CD因为三角形 ABC为正三角形，所以 O为三角形ABC勺重心，O在CD上,且 OC 2OD 2，所以 CD 3, AB 2 3（也可用正弦定理求 AB又由极化恒等式得： 2PA PB PD4|ab2PD因为P在圆O上，所以当P在点C处时，| PD |max 3当P

4、在CO勺延长线与圆 O的交点处时，I PD Imin 1所以 PA PB 2,6【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。目标检测2 2 （2010福建文11）若点O和点F分别为椭圆24 号 1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP的最大值为（）A2B.3C.6D.81例3. （2013浙江理7）在 ABC中,P0是边AB上一定点，满足RB - AB，且对于边AB4 ujur uuu uur uuir上任一点P，恒有PB PC F0B PC。则（）A. ABC 90° B. BAC 90&#

5、176;C. AB AC D. AC BC目标检测（2008浙江理9）已知a,b是平面内2个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a c） （b c） 0,则c的最大值是（） 、2A1B.2C.2 D.课后检测1. 在 ABC中， BAC 60°若AB 2 , BC . 3 , D在线段AC上运动，DB DA的最小值为2. 已知AB是圆O的直径，AB长为2, C是圆O上异于A, B的一点，P是圆O所在平面上uur uuu uuu任意一点，则PA PB PC的最小值为()A111A. - B. - C. D. 14323 在 ABC中，AB 3 , AC 4 , BAC 60°，若P是 ABC所在平面内一点，且uuu uuuAP 2，则PB PC的最大值为 2 X24.若点O和点F( 2,0)分别是双曲线 寸1(a 0)的中心和左焦点，点P为双曲线a3uuu右支上任意一点则 OPuuuFP的取值范围是5.在 Rt ABC , ACBC 2，已知点P是ABC内一点，贝V PC (PA PB)的最小值是6.已知A、B是单位圆上的两点，O为圆心，且AOB 120o,MN是圆O的一条直径,点C在圆内，且满足OC OA (1)OB(01),则CM CN的取值范围是()A.12,11,11,07.正ABC边长等于 3，点P在其