材料力学《第六章》弯曲变形)

1、上海交通大学12-1 引引 言言12-2 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程12-3 计算梁位移的积分法计算梁位移的积分法12-4 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法12-5 简单静不定梁简单静不定梁12-6 梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计第第 十十二二 章章 弯弯 曲曲 变变 形形主要介绍：弯曲变形基本方程、计算梁位移的方法、 简单静不定梁分析、梁的刚度条件与设计上海交通大学12-1 引引 言言一、工程实例一、工程实例齿轮轴：变形过大时，齿轮轴：变形过大时，会使齿轮啮合不良，会使齿轮啮合不良， 轴与轴承产生非均匀磨损，产生噪轴与轴承产生非均匀磨损，产生噪 声

2、，降低寿命。声，降低寿命。 加工工件：变形过大时，加工工件：变形过大时，影响加工精度。影响加工精度。吊车横梁：变形过大时，工作中出现爬坡现吊车横梁：变形过大时，工作中出现爬坡现 象，使小车行驶困难，产生振动象，使小车行驶困难，产生振动。轧钢机轧辊：变形过大时，钢板厚度不均轧钢机轧辊：变形过大时，钢板厚度不均。上海交通大学利用变形：利用变形：汽车板弹簧：要求弹性好，变形大，缓冲减振效果好；汽车板弹簧：要求弹性好，变形大，缓冲减振效果好；车床割刀：切割中碰到硬点时，利用刀杆的变形使吃刀深度减车床割刀：切割中碰到硬点时，利用刀杆的变形使吃刀深度减 小，小，“自动自动”让刀，起缓冲作用。让刀，起缓冲作

3、用。二、研究弯曲变形的目的二、研究弯曲变形的目的1. 解决弯曲刚度问题解决弯曲刚度问题2. 解决弯曲静不定问题解决弯曲静不定问题此外可用于确定构件临界转速，解决振动问题。此外可用于确定构件临界转速，解决振动问题。FB上海交通大学三、弯曲变形的特点三、弯曲变形的特点 变弯后的梁轴称为挠曲轴，又称为挠曲线；变弯后的梁轴称为挠曲轴，又称为挠曲线； 对称弯曲时，挠曲线为位于纵向对称平面内的平面曲线；对称弯曲时，挠曲线为位于纵向对称平面内的平面曲线； 对细长梁，剪力对弯曲变形的影响一般可忽略不计，因而对细长梁，剪力对弯曲变形的影响一般可忽略不计，因而 弯曲变形后梁横截面仍保持为平面，并与挠曲线正交。弯曲

4、变形后梁横截面仍保持为平面，并与挠曲线正交。Fq挠曲轴挠曲轴 小变形下，挠曲线为平坦曲线，水平位移不计，曲线连续、小变形下，挠曲线为平坦曲线，水平位移不计，曲线连续、 光滑、单值；光滑、单值；AB上海交通大学四、弯曲变形的表示和度量四、弯曲变形的表示和度量取坐标系：取坐标系：Oxw 得挠曲线方程：得挠曲线方程：w = w (x)横截面形心在垂直于梁轴线方向上的位移称为横截面形心在垂直于梁轴线方向上的位移称为挠度挠度。Fq挠曲轴挠曲轴1. 挠度挠度 w (线位移线位移)xwAwC挠度挠度w规定：规定： w 向上为正，向下为负。向上为正，向下为负。CB如如C截面挠度：截面挠度：wC A截面挠度：截

5、面挠度：wA=0 B截面挠度：截面挠度：wB单位：单位：mm、cm、mw= w(x)上海交通大学横截面相对原来位置所转过的角度称为横截面相对原来位置所转过的角度称为转角转角。Fq挠曲轴挠曲轴2. 转角转角q q (角位移角位移)xwAwC挠度挠度w规定：规定： 逆时针时逆时针时q q 为正，顺时针时为正，顺时针时q q 为负。为负。CB如如C截面转角：截面转角：q qC A截面转角：截面转角：q qA=0 B截面转角：截面转角：q qB单位：弧度单位：弧度(rad)q qC转角转角q q转角一般随横截面位置变化，可用函数表示：转角一般随横截面位置变化，可用函数表示：q q = q q (x)

6、称为转角方程称为转角方程上海交通大学由几何关系得：由几何关系得：q q = q q Fq挠曲轴挠曲轴xwAwC挠度挠度wCB由小变形条件：由小变形条件：q q tanq q q qC转角转角q q五、挠度与转角之间的微分关系五、挠度与转角之间的微分关系q q 由微分知识：由微分知识：wxwxw)(ddtanwxwxw)(ddtan即梁任一截面的转角即梁任一截面的转角q q 近似等于挠曲线上该点切线的斜率；近似等于挠曲线上该点切线的斜率；或梁任一截面的转角或梁任一截面的转角q q 近似等于该截面的挠度对近似等于该截面的挠度对x 的一阶导数。的一阶导数。上海交通大学12-2 梁挠曲线的近似微分方程

7、梁挠曲线的近似微分方程zEIM1由前纯弯曲得：由前纯弯曲得：推广到横力弯曲，得：推广到横力弯曲，得：(a)(x)1zEIxM( M = Const，r r = Const )(略去剪力对弯曲略去剪力对弯曲变形的影响。变形的影响。)由微分学中曲线由微分学中曲线 w = w (x) 上任一点的曲率公式，得：上任一点的曲率公式，得：3/221ww 3/2222dd1dd)(1xwxwx小变形：小变形： q q 1 w = q q = tanq q = 0.017 w2 0.00289 1+ w2 1 上式化简为上式化简为 wxwx 22dd)(1上海交通大学(a)(x)1zEIxM(b)代入代入(a

8、) ，得梁挠曲线的近似微分方程：，得梁挠曲线的近似微分方程：(b)dd)(122xwxzEIxMxw)(dd22( 略去了剪力对弯曲变形的影略去了剪力对弯曲变形的影 响，并略去响，并略去(dw/dx)3/2项。项。)由此近似微分方程所求得解在一般工程问题中已足够精确。由此近似微分方程所求得解在一般工程问题中已足够精确。符号规定：选取图示坐标时符号规定：选取图示坐标时wxM 0M 0wxw b，wmax在在AC段中。段中。在在3221blx322max)(39blEIFbwzzEIlFw483max(向下向下)令令 0111ddxw0)(6212221bllFbxlFbEIz即：即： 处有处有

9、|w|max将将3221blx代入代入w1得：得： 若若 F 在梁中点，在梁中点，a = b = l/2，则，则 x1= l/2 时：时：(向下向下)上海交通大学积分法求梁变形步骤：积分法求梁变形步骤：(1) 求约束力，列弯矩方程；求约束力，列弯矩方程；(2) 列近似微分方程并积分；列近似微分方程并积分；(3) 由由边界条件或连续性条件边界条件或连续性条件确定积分常数，建立转角方程、确定积分常数，建立转角方程、 挠曲线方程；挠曲线方程；(4) 由转角方程、由转角方程、挠曲线方程求梁变形。挠曲线方程求梁变形。注意：注意：(1) 分段正确：载荷变化时分，分段正确：载荷变化时分， EIz 不同时分；

10、不同时分；(2) 所列弯矩方程正确；所列弯矩方程正确；(3) 正确利用正确利用边界条件或连续性条件边界条件或连续性条件确定积分常数确定积分常数；(4) 注意注意 q q、w 的方向的方向。优点：可求得梁的优点：可求得梁的转角方程、转角方程、挠曲线方程，确定整个梁的变形。挠曲线方程，确定整个梁的变形。缺点：求解较繁。缺点：求解较繁。各简单载荷下梁的转角各简单载荷下梁的转角q q、挠度挠度 w见附录见附录D(P350)。上海交通大学12-4 计算梁位移的叠加法计算梁位移的叠加法M(x) = M1(x) + M2(x)叠加原理：梁在同时受几个载荷作用下产生的弯矩，等于各载叠加原理：梁在同时受几个载荷

11、作用下产生的弯矩，等于各载 荷分别单独作用时所产生弯矩的代数和。荷分别单独作用时所产生弯矩的代数和。一、叠加法一、叠加法设梁上载荷：设梁上载荷：F1、F2F1单独作用：单独作用： M1(x) F2单独作用：单独作用： M2(x) F1、F2 同时作用：同时作用： M(x) 则有：则有： M(x) = M1(x) + M2(x)梁弯矩梁弯矩 M(x)与载与载 Me、F、q 成线性关系，可适用叠加原理：成线性关系，可适用叠加原理：上海交通大学挠曲线微分方程为线性微分方程：挠曲线微分方程为线性微分方程：叠加原理：梁在同时受几个载荷作用下产生的变形叠加原理：梁在同时受几个载荷作用下产生的变形(转角转角

12、q q、挠挠 度度 w)，等于各载荷分别单独作用时所产生变形的，等于各载荷分别单独作用时所产生变形的 代数和。代数和。)(dd22xMxwEIz由此求得转角由此求得转角q q、挠度挠度 w也与载荷成线性关系，因此可应用叠加也与载荷成线性关系，因此可应用叠加原理求梁的变形。原理求梁的变形。设梁上载荷：设梁上载荷：F1、F2F1单独作用：单独作用：F2单独作用：单独作用：F1、F2 同时作用：同时作用：(a) + (b) ：(a)(dd1212xMxwEIz(b)(dd2222xMxwEIz(c)(dd22xMxwEIz)()(dddd21222212xMxMxwEIxwEIzz)(xM上海交通大

13、学设梁上载荷：设梁上载荷：F1、F2F1单独作用：单独作用：F2单独作用：单独作用：F1、F2 同时作用：同时作用：(a) + (b) ：(a)(dd1212xMxwEIz(b)(dd2222xMxwEIz(c)(dd22xMxwEIz)()()(dddd21222212xMxMxMxwEIxwEIzz即即 ：)(dddddd2122222212xMwwxEIxwxwEIzz与与(c) 比较，有：比较，有：即为叠加原理。即为叠加原理。w = w1+ w2可推广到多个载荷的情况。可推广到多个载荷的情况。应用叠加原理可将较复杂的载荷分解成简单的单独载荷，分别应用叠加原理可将较复杂的载荷分解成简单的

14、单独载荷，分别求得其变形后再叠加起来就可求得总变形。求得其变形后再叠加起来就可求得总变形。上海交通大学工程实际中有时不需求梁得挠曲线，只需求某些截面的挠度或工程实际中有时不需求梁得挠曲线，只需求某些截面的挠度或转角，此时用叠加法较为简捷。转角，此时用叠加法较为简捷。如：图示悬臂梁，已知如：图示悬臂梁，已知q 、F、Meq：叠加法是实用而便利的方法。求：求： wA 、q qAABlqFMezEIqlw84AqzEIql63AqF：zEIFlw33AFzEIFl22AFMe：zEIlMw22eAMezEIlMeAMezzzEIlMEIFlEIqlwwww2382e34AMeAFAqAzzzEIlM

15、EIFlEIqle23AMeAFAqA26ABlqABlFABlMe上海交通大学ABlMezEIqlw84AqzEIql63AqzEIFlw33AFzEIFl22AFzEIlMw22eAMezEIlMeAMeFABlqABl为便于计算，将几种简单受力情况下的变形公式汇集在附录为便于计算，将几种简单受力情况下的变形公式汇集在附录D中中(P350)供查阅使用。供查阅使用。如：图示悬臂梁情况如：图示悬臂梁情况上海交通大学如：图示简支梁情况如：图示简支梁情况ABlMeEIqlwl3844/25EIql243BAEIFlwl843/2EIFl162BAEIlMwl162e/2EIlM6eAEIlM3eB

16、ABlFl/2l/2qABl上海交通大学ABlBCl例例3 图示悬臂梁，已知图示悬臂梁，已知 F、l、EI。求。求 wC、q qC。解：解： 将梁在将梁在B处切开：处切开：分为二悬臂梁分为二悬臂梁AB、BC。由悬臂梁由悬臂梁AB部分：部分：FEIFlw33BEIFl22B由悬臂梁由悬臂梁BC部分：部分：lABClFF无载荷作用，不产生变形。无载荷作用，不产生变形。但随但随B截面的转角而产生刚体转截面的转角而产生刚体转动，使动，使C截面产生向下的位移：截面产生向下的位移：EIFllEIFll2232BEIFl22BClwwBBCEIFlEIFlEIFl6523333二、逐段分析求和法二、逐段分析

17、求和法(逐段刚化法逐段刚化法)上海交通大学例例4 图示外伸梁，已知图示外伸梁，已知F、l、EI。求。求 wC、q qC。EIaFw33C1EIFa22C1EIFalEIMl33B解：解：将梁在将梁在B处切开：处切开：ABlMFBaC分为一悬臂梁分为一悬臂梁BC和简支梁和简支梁AB。简支梁简支梁B处受力：处受力： F、M =Fa 由悬臂梁由悬臂梁BC部分：部分：F由简支梁由简支梁AB部分：部分：BC部分产生刚体转动：部分产生刚体转动：EIlFa3BC2EIlFaaw32BC2ABlaCFF上海交通大学ABlaCFEIaFw33C1EIFa22C1EIFalEIMl33BABlMBaCF由悬臂梁由

18、悬臂梁BC部分：部分：由简支梁由简支梁AB部分：部分：BC部分产生刚体转动：部分产生刚体转动：EIlFa3BC2EIlFaaw32BC2ABlaCFFEIFalEIFa322C2C1CEIlFaEIFawww3323C2C1C上海交通大学ABl/2BCl/2q例例5 图示悬臂梁，已知图示悬臂梁，已知 q、l、EI。求。求 wC、q qC。解：解：FM将梁在将梁在B处切开：处切开：分为二悬臂梁分为二悬臂梁AB、BC。由悬臂梁由悬臂梁BC部分：部分：qEIqlEIlqw1288/2)(44C1EIqlEIlq486/2)(33C1由悬臂梁由悬臂梁AB部分：部分：F =ql/2 、M =ql2/8

19、EIlMEIlF/2)(2/2)(2B2B1BEIqlEIqlEIql81616333EIlMEIlFwww2/2)(3/2)(23B2B1BEIqlEIqlEIql19276448444ql/2ABCl/2上海交通大学BCl/2qABFM由悬臂梁由悬臂梁BC部分：部分：EIqlEIlqw1288/2)(44C1EIql483C1由悬臂梁由悬臂梁AB部分：部分：F=ql/2 、M=ql2/8 EIlMEIlF/2)(2/2)(2B2B1BEIqlEIqlEIql81616333EIlMEIlFwww2/2)(3/2)(23B2B1BEIqlEIqlEIql19276448444ql/2ABCl

20、/2l/2EIqlEIqlEIql487848333BC1C/2)(BBC1ClwwwEIqllEIqlEIqlEIql384412819271284344上海交通大学或：或：EIqlw84C1EIql63C1由悬臂梁由悬臂梁(1)：EIqlEIlq486/2)(33BC22488/2)(/2)(34BBC2lEIqlEIlqlwwql/2ABCl/2EIqlEIqlEIql487486333C2C1CC2C1CwwwEIqlEIqlEIql384796128444qBACqqqqClAql/2Bl/2CA由悬臂梁由悬臂梁(2) ：EIqlEIqlEIql3844138478444上海交通大学

21、例例6 图示悬臂梁，已知图示悬臂梁，已知F、l、I。求。求 wC、q qC。解：解：FaABCa2IIFBCaI2IABaFM将梁在将梁在B处切开：处切开：分为二悬臂梁分为二悬臂梁AB、BC。由悬臂梁由悬臂梁BC部分：部分：FEIFaw33C1EIFa22C1由悬臂梁由悬臂梁AB部分：部分：F、M =Fa EIMaEIFa242B2B1BEIFaEIFaEIFa4324222EIMaEIFawww4623B2B1BEIFaEIFaEIFa12546323上海交通大学FaABCa2IIFBCaI2IABaFM由悬臂梁由悬臂梁BC部分：部分：EIaFw33C1EIFa22C1由悬臂梁由悬臂梁AB部

22、分：部分：F、M =Fa EIaEIFa242B2B1BMEIFaEIFaEIFa4324222EIMaEIFawww4623B2B1BEIFaEIFaEIFa12546323EIFaEIFaEIFa45432222BC1CawwwBBC1CaEIFaEIFaEIFa431253233EIFa233上海交通大学例例7 图示空间刚架，已知图示空间刚架，已知F、l、a、EI、GIP 。求。求 yC。解：分析：解：分析：AB段受弯曲、扭转组合作用段受弯曲、扭转组合作用；BC段受弯曲作用。段受弯曲作用。C点垂直方向位移由三部分组成：点垂直方向位移由三部分组成：1) 由于由于AB段弯曲在段弯曲在B点产生

23、的垂直位移点产生的垂直位移 wB 引起的引起的 yC1；2) 由于由于B截面的转动截面的转动(f fB)使使BC段发生刚体段发生刚体 转动引起的转动引起的 yC2；3) 由于由于BC段发生弯曲引起的段发生弯曲引起的 yC3。 yC= yC1 + yC2 + yC3上海交通大学分别计算分别计算：yC1：yC2；yC3：EIFly33C1P2PBC2GIlFaaGITlayfEIFay33C3EIFaGIlFaEIFlyyyy333P23C3C2C1C上海交通大学叠加法注意事项：叠加法注意事项：1) 将梁分解为简支梁、悬臂梁的情况；将梁分解为简支梁、悬臂梁的情况；2) 采用等效梁时必须与原梁受力和

24、变形相同，采用等效梁时必须与原梁受力和变形相同， 即静力等效、变形等效；即静力等效、变形等效；3) 叠加时各载荷引起的变形方向可直接判断，应用公式时用叠加时各载荷引起的变形方向可直接判断，应用公式时用 相当量代入，不要死套公式；相当量代入，不要死套公式；4) 不要遗漏刚体位移对变形的影响。不要遗漏刚体位移对变形的影响。上海交通大学12-6 梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计| w |max d d 一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件d d ：梁的许用挠度；：梁的许用挠度； q q ：梁的许用转角。：梁的许用转角。如：如：桥式起重机：桥式起重机：l 为梁的跨度。为梁的跨度。 其他

25、情况下的其他情况下的 d d 、q q 可查阅设计手册。可查阅设计手册。| q q |max q q 500750ll 对一般用途的轴：对一般用途的轴：100005100003ll 在安装齿轮或轴承处：在安装齿轮或轴承处： q q = 0.001 rad由梁的刚度条件可进行三方面刚度计算：由梁的刚度条件可进行三方面刚度计算：校核刚度、设计截面尺寸、确定许可载荷。校核刚度、设计截面尺寸、确定许可载荷。应满足：应满足：上海交通大学例例8 一简支梁，在跨度中点受集中载荷一简支梁，在跨度中点受集中载荷 F 作用。已知作用。已知F= 35 kN， l=4 m，E=200 GPa，s s =160 MPa，d d = l /500 。 试选择工