课时学案——函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换及物理背景

1、课时学案函数y=Asin（x+）的图象变换及物理背景江苏 韩文美【课前准备】1课时目标（1）正确理解函数y=Asin（x+）与y=sinx图象间的关系；（2）会由函数y=sinx图象通过图象变换得到函数y=Asin（x+）的图象；（3）利用三角函数模型和相关三角函数的知识解答生产、科研和日常生活中的实际问题2基础预探（1）函数y=Asin（x+）（其中A>0，>0）的图象，可以看作用下面的方法得到：先画出函数y=sinx的图象；再把正弦曲线向_（或_）平移_个单位长度，得到函数y=sin（x+）的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的_倍，得到函数y=sin（x+）的图象；最后把

2、曲线上各点的纵坐标变为原来的_倍，这时的曲线就是函数y=Asin（x+）的图象（2）对于简谐运动y=Asin（x+）（其中A>0，>0），A就是这个简谐运动的_，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T=_，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f=_给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；x+称为_，x=0时的相位称为_【知识训练】1将函数ysin（2x）的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，所得到的图像解析式是（）Af（x）sinx Bf（x）cosxCf（x）sin4x Df

3、（x）cos4x2若函数f（x）=sin（x+）的图象（部分）如下图所示，则和的取值是（ ）A=1，=B=1，=C=，=D=，=3函数f（x）sin（2x），给出下列四个命题：函数f（x）在区间，上是减函数；直线x是函数f（x）的图像的一条对称轴；函数f（x）的图像可以由函数ysin2x的图像向左平移个单位得到其中正确的是（）A B C D4已知函数y=Asin（x+）（其中A>0，>0，|<）的一段图象如图，则该函数的解析式为_2-2x05如何由函数y=sinx的图象得到函数y=sin（2x+）的图象？6如图是函数yAsin（x）（A>0，>0，|<）的图

4、象的一段，求其解析式【学习引领】注意函数y=Asin（x+）（A>0，>0）的图象的变换的方法：平移方法一：（先平移变换，再伸缩变换）先将函数y=sinx的图象向左（或右）平移|个单位，再将其上的横坐标缩短（>1）或伸长（0<<1）到原来的倍，再将其纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<A<1）到原来的A倍平移方法二：（先伸缩变换，再平移变换）先将函数y=sinx的图象上的横坐标缩短（>1）或伸长（0<<1）到原来的倍，再将其纵坐标伸长（A>1）或缩短（0<A<1）到原来的A倍，再将其图象向左（或右）平移个单位在实际

5、平移变换中，容易对相应的系数、平移方面等理解问题而导致错误【典例导析】题型一：求解三角函数的解析式问题例1已知函数f（x）=Asin（x+），xR（其中A>0，>0，0<<）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M（，2）试求函数f（x）的解析式思路导析：利用三角函数的图形与性质，结合待定系数法来求解有关的三角函数解析式问题通过图象，利用常数A、与函数y=Asin（x+）之间的关系来考查函数y=Asin（x+）的解析式问题，为进一步研究对应三角函数的概念、性质等埋下伏笔解析：由最低点为M（，2）得A=2，由x轴上相邻的两个交点之间的距离为，

6、得=，即T=，=2，由点M（，2）在图象上，得2sin（2×+）=2，即sin（+）=1，故+=2k，kZ，则=2k，kZ，又0<<，则=，故f（x）=2sin（2x+）点评：主要考查三角函数的图象及其性质在三角函数的图象与性质问题中，要注意在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用，要注意数形结合的方法变式练习1：已知函数y=Asin（x+）（其中A>0，>0，|<）在同一周期内，当x=时，y有最大值3，当x=时，y有最小值3，求函数的解析式题型二：函数图象与解析式问题例2如图是函数y=Asin（x+）（其中A>0，>0，&l

7、t;<）在一个周期内的图象试写出函数y的解析式思路导析：根据三角函数的图象判断相应的解析式中的A，的值，要根据相应的公式与函数图象加以判断解析：由图象知，A=2，T=7（1）=8，则=，所以y1=2sin（x+），将点（1，0）代入得2sin（+）=0，即sin（）=0，又<<，所以=，即函数y1的解析式为y1=2sin（x+）点评：由三角函数的图象确定三角函数的解析式是比较常见的问题之一关键是正确识图，把图中的信息转化为对应参数A，的关系式，进而求解变式练习2：已知函数y=Asin（x+）（A>0，>0）在一个周期内的图象如下图所示，试求函数的解析式题型三：函数

8、与图象的平移变换问题例3已知函数y=sin（2x+），xR，（1）求它的振幅、周期、初相；（2）该函数的图象可由y=sinx（xR）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?思路导析：对于函数的解析式，正确分析相应的名称，而相关函数图象的平移，可采用平移方法一：先平移变换，再伸缩变换和平移方法二：先伸缩变换，再平移变换解析：（1）y=sin（2x+）的振幅为A=，周期为T=，初相为=；（2）解法一：将函数的图象依次作如下变换：函数y=sinx的图象函数y=sin（x+）的图象函数y=sin（2x+）的图象函数y=sin（2x+）的图象；解法二：将函数的图象依次作如下变换：函数y=sinx的图象函数y

9、=sin2x的图象函数y=sin（2x+）的图象函数y=sin（2x+）的图象点评：掌握函数y=Asin（x+）（A>0，>0）变换的两个过程：振幅周期相位；振幅相位周期要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别变式练习3：试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象【随堂练习】1函数f（x）=Asin（x+）（A>0，>0，0，）的图象如图所示，则=（ ）A B C D2已知函数f（x）Acos（x）的图象如图所示，f（），则f（0）等于（ ）A B C D3已知函数f（x）sin（x）（xR，>0）的最小正周期为

10、，将yf（x）的图象向左平移|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是（）A B C D4将函数y=sin（x+）（xR）的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为_5将函数y=sinx（>0）的图象向左平移个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是_6不必画出图象，试说明由ysinx的图象经过怎样的变换可得到y2sin（）2的图象【课后作业】1将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（ ）Ay=1+cos2x By=1cos2x Cy=1+

11、sin（2x+） Dy=1+sin2x2函数ysin（x）（xR，>0，0<2）的部分图象如图，则（）A， B， C， D，3关于函数f（x）4sin（2x）（xR），有下列命题：由f（x1）f（x2）0可得x1x2必是的整数倍；yf（x）的表达式可改写成y4cos（2x）；yf（x）的图象关于点（，0）对称；yf（x）的图象关于直线x对称其中正确的命题的序号为_4已知函数f（x）=2sin（x+）在区间0，上单调，且f（）=0，f（）=2，则f（0）=_5如图是函数y1=Asin（x+）（其中A>0，>0，<<）在一个周期内的图象（1）试写出函数y1的解析

12、式；（2）若函数y2的图象与函数y1的图象关于直线x=2对称，试写出函数y2的解析式；（3）试指出函数y2的图象的周期、频率、振幅和初相6已知函数f（x）Asin（x）（A>0，>0，|<，xR）的图象的一部分如图所示（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x6，时，求函数yf（x）f（x2）的最大值与最小值及相应的x的值答案：【课前准备】2基础预探（1）左，右，|，A；（2）振幅，=，相位，初相；【知识训练】1A；解析：ysin（2x）ysin（x）ysin（x）sinx；2C；解析：由图象知，T=4（+）=4=，=，又当x=时，y=1，sin（×+）=1，+=2k

13、+，kZ，当k=0时，=；3B；解析：当x时，2x，f（x）在，上是减函数，故正确；f（）sin（），故正确；ysin2x向左平移个单位得ysin2（x）cos2xf（x），故不正确；4y=2sin（2x+）；解析：由图象易得A=2，结合周期T=×2，可得=2，把点（，2）代入y=2sin（2x+），结合|<可得=；5解析：由函数y=sinx的图象向左平移个单位得到y=sin（x+）的图象；再把图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=sin（2x+）的图象；再把图象上各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），就得到了函数y=sin（2x+）的图象6解析：由图象可

14、知振幅A，又周期T2（），2，此时函数解析式为ysin（2x），又图象过点（，0），由“五点法”作图的第一个点知，2×0，；所求函数的解析式为ysin（2x）【典例导析】变式练习1：解析：由题意A=3，=，T=，即=2，y=3sin（2x+），又当x=时，y=3，3=3sin（2×+），即sin（+）=1，那么+=2k+，kZ，由于|<，解得当k=0时，+=，即=，函数解析式为：y=3sin（2x+）变式练习2：解析：方法一：由函数图象可知x1=，x2=，所以，解得=，=，所以函数的解析式为y=2sin（x）；方法二：由函数图象可知x3=，x4=0，所以，解得=，=，

15、所以函数的解析式为y=2sin（x+）变式练习3：解析：方法一：y=sin（2x+）方法二：（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的图象；（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象【随堂练习】1B；提示：由图知A=3，周期T=4×2=8，那么=，则f（x）=3sin（x+），把点P（3，0）代入知3sin（×3+）=0，则有+=k，kZ，由于0，），则当k=1时，=；2C；解析：首先由图象可知所求函

16、数的周期为，故3，将（，0）代入解析式，其相当于余弦函数“五点法”作图中的第二个关键点，2k，kZ，2k，kZ，令，代入解析式得f（x）Acos（3x），又f（），即Acos，f（0）Acos（）Acos；3D；解析：f（x）sin（x）的最小正周期是，T，2，f（x）sin（2x），又当yf（x）的图像向左平移|个单位长度，所得图像关于y轴对称时，则必须sin2（0|）sin（2|）±1，经验证，只有时，满足要求；4y=sin（+）；解析：y=sin（x+）y=sin（x+）+）=sin（x+）y=sin（+）；5y=sin（2x+）；解析：将函数y=sinx（>0）的图象向

17、左平移个单位，平移后的图象所对应的函数为y=sin（x+），由图象知（+）=，所以=2；6解析：将y2sin（）2化为y2sin（）2，把ysinx的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得ysinx的图象；把ysinx的图象向左平移个单位，得ysin（x）sin（x）的图象；把ysin（x）的图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得y2sin（x）的图象；把y2sin（x）的图象向上平移2个单位，就得到y2sin（x）2的图象【课后作业】1A；解析：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数y=sin2（x+），即y=sin2（x+）=cos2x的图象，再向上

18、平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=cos2x+1；2C；解析：312，T8，令×1，得；3；解析：由f（x）0有2xk（kZ），得x（kZ），令k1、0，有x1、x2，则x1x2，故命题不正确；式利用诱导公式知正确；由对称中心坐标知2xk（kZ），得x（kZ），令k0得x，故正确；在对称轴处的纵坐标应为最值，而x时，y0，错；41；解析：依题意知（，0）是函数f（x）的平衡点，（，2）是函数f（x）的最高点，又由于函数f（x）在区间0，上单调，那么其周期T=（）×4=4，则=，那么f（）=2sin（+）=0，又函数f（x）在区间0，上单调递增，即+=2k，kZ，则=2k，kZ，那么f（0）=2sin=2sin（2k）=1；5解析：（1）由图象知，A=2，T=7（1）=8，则=，所以y1=2sin（x+），将点（1，0）代入得2sin（+）=0，即sin（）=0，又<<，所以=，即函数y1的解析式为y1=2sin（x+）；（2）由于函数y2的图象与函数y1的图象关于直线x=2对称，那么