山东省济南市历下区高考数学模拟卷一文

1、山东省济南市历下区2017届高考数学模拟卷(一)文本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 8页。时量120分钟。满分150分。第I卷一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.(1)设A, B是两个非空集合，定义集合 A B= x|x £ A且x?B,若A= x N|0 <x<5,2B= x|x -7x+10<0,则 A B= (D)(A)0 , 1 (B)1, 2 (C)0,1,2 (D)0, 1, 2, 52 ai(2)如果复数 不7(a e R)为纯虚数，则a= (D)(A) -2 (B)0

2、 (C)1 (D)2(3)等差数列an中,a3 = 5, a4+a8 = 22,则an的前8项和为(B)(A)32 (B)64 (C)108 (D)128(4)某校为了解本校高三学生学习的心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将他们随机编号为1, 2,，800,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18,抽到的40人中，编号落在区间1,200的人做试卷 A,编号落在201 ,560的人做试卷B,其余的人做试卷 C,则做试卷 C的人数为(B)(A)10 (B)12 (C)18 (D)2823(5)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是,则(C)(A)a

3、=13 (B) a= 12 (C) a= 11 (D) a= 10(6)已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的直径为2,则该几何体的表面积为(D)2俯视图(A)46 (B)52+ 兀(C)52 + 3 兀(D)46 + 2 兀 如图是函数y = Asin(wx+()R,A>0,w >0,0<(j)<向区间 6,61上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y=sin x(xC R)的图象上所有的点(D)(A)向左平移 看个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 ,.兀 -(B)向左平移 不个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的(C)向左平移个单位长度，再把

4、所得各点的横坐标伸长到原来的 3(D)向左平移 个个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 32倍，纵坐标不变1 一 、2，纵坐标不变2倍，纵坐标不变1八一,-,纵坐标不变(8)设变量x, y满足约束条件x+3yw4,则z=|x 3y|的最大值为(A)22,(A)8 (B)4 (C)2 (D)酎x，【解析】作出约束条件 Sx+ 3y<4,对应的可行域如下,2,|x3M,10.I x- 3y| .一其中 班 表不可行域内的点(x, y)到直线x3y=0的距离，由下图可知，点火一2, 2)到直线x3y = 0的距离最大，最大值为所以z=|x 3y|的最大值为8.故选A.11 .x .一

5、.(9)下列图象可以作为函数f(x)=x：匚a的图象的有(C)(A)1 个(B)2 个(C)3 个(D)4 个_. . _ .一.x 一,【解析】当a<0时，如取a=4,则f(x)=x,其定义域为：x|xw±2,它是奇x 函数,图象是，所以选项是正确的；当a>0时，如取a=1,则设上亦,其定义域，、一，一 一一一 一 一 一 1. i 1为R它是奇函数，图象是.所以选项是正确的；当 a=0时，则f(x)=-,其定义域为： xx|xw0,它是奇函数，图象是，所以选项是正确的.故选 C.(10)已知三棱锥 A BC计，AB= AO BD= CD= 2, BC= 2AD,直线A

6、D与底面BC所成角为,则此时三棱锥外接球的体积为(D)32兀(A)8 兀(B)七一 34.Ja 8-(C)3(D)3 兀【解析】如图，取 BC的中点Q连接OA OD过A做AHOW E,c因为 AB= AC= D氏 DC 所以 BCL OA BCL OD因为OAn OD= Q OA 平面OAD OD?平面OAD所以BCL平面 OAD因为BC?平面BCD所以平面 OAD_平面BCD又AE! OD所以AEL平面BCD所以/ ADO是直线ADW底面BC的成角，所以/ ADO=-, 3又因为 A氏AC= DB= DC所以 ABCW DBCir等，所以 OA= OD所以 OAD1正三角形，所以 OA= O

7、B= OC= OD= AQ即点O是三锥 A- BCM外接球的球心， 在直角 OA抖，OA + OB= A甘？ OA=也，所以三棱锥的外接球的半径为 成，三棱锥外接球的体积为 V=：x兀X (。2) = 8+兀.故选D.33(11)设双曲线C：2 x 孑一yb2=1( a>0, b>0)的左右焦点分别为Fi, F2,若在曲线C的右支上存在点P,使彳PFF2的内切圆半径为 a,圆心记为 M 又 PF1F2的重心为 G满足 MGT行 于x轴，则双曲线 C的离心率为(C)(A) 2 (B)3 (C)2 (D)5【解析】由MGFF行于x轴得yG= yM= a,则yp= 3yo= 3a, .1

8、1所以 SJA PFF2 = 2 2c - 3a=2 - (| PF| +| P同 +2c) a,又 | PF| -| PR| =2a,贝 U| PF| =2c+a, | PE| =2ca.由 |PF|2(xp+c)2=|PE|2 (c xp)2 得 xp= 2a,222因此P(2 a, 3a),代入椭圆方程得 a2b=1，即b=，3a,则e= 卜+占=2.故选C.(12)设函数 f (x) = (x-a)2+ (ln x22a)2,其中 x>0, aCR,存在 x()使得 f (x() w b 成立， 则实数b的最小值为(C)(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D)1 555【解析】

9、函数f(x)可以看作动点P(x, ln x2)与点Qa, 2a)的距离的平方，点 P在曲线 y=2ln x上，点Q在直线y=2x上，问题转化为直线上的点到曲线上的点的距离的最小值，由y = 2ln x求导可得y'=令y' = 2,解得x= 1,此时y= 2ln 1 = 0,则M1，0),所 x以点M1 , 0)到直线y=2x的距离d =22+ ( 1) 22 ；55即为直线与曲线之间最小的距离,故 f ( x) min = d2=5.由于存在xo使彳导f(xo)Wb,则f(x)minWb,即b>,故选C.5第n卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)(21)题为必考题，

10、每个试题考生都必须作答.第(22)(23)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4小题，每小题5分，共20分.把各题答案的最简形式写在题中 的横线上.(13)已知向量a=(3, 4), b=(t, 6),且a, b共线，则向量 a在b方向上的投影为-5 .(14)已知条件p： log 2(1 - x)<0 ,条件q： x>a,若p是q的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是(一巴 0.(15)已知直线l: x-y=1与圆M x2 + y2-2x+2y- 1 = 0相交于A C两点，点B, D分 别在圆M上运动，且位于直线 AC两侧，则四边形 ABC前积的最大值为眄

11、.(16)定义在(0, +8)上的函数 f(x)满足：当 xC1 ,3)时，f(x) =1-|x-2| ;f(3x) = 3f(x).设关于x的函数F(x) = f (x) a的零点从小到大依次为 x1, x2,，xn,.若a C (1 , 3),则 x + x2+ x2n =6(3 1).【解析】因为当 xC 1 , 3)时，f (x) =1-| x-2| C 0 , 1； f(3x) =3f (x).所以当；wx<1 时，则 1W3x<3,由 f (x) =；f (3 x)可知：f(x)C |0,"333同理，当xe |0,x,0wf(x)<1 ,当 xe 3,

12、 6时，由6e 1, 2,3则 F( x) = f (x) a+ x2=2x 6,依此类推:xf（x） e 0, 3；同理，当 xe（6, 9）时，由-（2, 3）, 3此时 f（x）e（0 , 3）.在区间（3, 6）和（6, 9）上各有一个零点，分别为xi, x2,且满足xix3+x4=2X18,，x2n l+x2n=2X2X3n,，当aC(1, 3)时,/2n3(3n 1)xdx2+ + x2n-1 + x2n= 4x( 3+ 3 + 3 ) = 4X - = 6X33-1（3n-1）,故答案为6(3 n-1).三、解答题：本大题共（17）（本小题满分12分）在ABC4内角 A B, C

13、的对边分别为a, b, c.已知cos A 2cos C 2c acos Bsin C (I)求仍的值;(n )若 cos B=sin B ', b= 2,求 ABC勺面积 S4【解析】(I)由正弦定理，得 片=2sin CUn A,所以cos A 2co11得4= a + 4a 4a x 4,解得a= 1,从而c= 2.又因为cos B= 4,且0<B<兀,所以sin B c = bsin Bcos B2sin C- sin A二一4 .因此 S= lacsin B= ；x 1 x 2X 乂15 = #5.(12 分)(18)(本小题满分12分)一汽车厂生产 A, B,

14、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量 如下表(单位：辆):轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆.(I )求z的值；(n)用分层抽样的方法在 C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(m)用随机抽样的方法从 B类舒适型轿车中抽取 8辆，经检测它们的得分 x的值如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2 ,把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数Xi(1 < i <

15、;8, i N),设样本平均数为 x ,求| xi _ x | <0.5的概率.【解析】(I )设该厂这个月共生产轿车 n辆,-50由题意得一=n10100+300所以 n=2 000.则 z=2 000 (100 + 300) -(150 +450)600 = 400.(2 分)(n)设所抽样本中有a辆舒适型轿车，由题意 黑r=a,得a=2.(4分)1 0005因此抽取的容量为 5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车.用A, A表示2辆舒适型轿车，用 B,艮，区表示3辆标准型轿车，用 E表示事件“在 该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(

16、A, A), (A, B), (A, B2), (Ai, B3) , (A, B) , (A, R), (A, R) , (B, B2) , (B, B3), (B2, B3)，共 10 个.事件E 包含的基本事件有：(A,A),(A,B),(A,B), (A,B3), (A, B), (A, B),(A, B),共 7 个.故")4,即所求概率为看18分)1(出)样本平均数 x =8X (9.4 +8.6 +9.2 + 9.6+8.7+9.3 +9.0 +8.2) =9.设D表示事件“从样本中任取一数，该数与1本平均数之差的绝对值不超过0.5 ”，则基本事件空间中有 8个基本事件，

17、事件 D包括的基本事件有：9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0 6 3共6个，所以RD=z，8 4即所求概率为3.(12分)4(19)(本小题满分12分)如图，四棱锥S-ABCD勺底面是正方形，每条侧棱白长都是底面边长的42倍，P为侧棱SD上的点.(I )求证：ACL SD;(n )若SDL平面PAC侧棱SC上是否存在一点 E,使得BE/平面PAO若存在，求SE： EC的值；若不存在，试说明理由.【解析】(I )证明：连接BD设AC交BW点Q连接SO由题意得四棱锥 S- ABCD1正四棱锥，所以 SOL AC又因为正方形 ABCD3, AC! BD所以ACL平面SBD,.

18、SD?平面 SBD 所以 ACL SD(6 分)(n )在SC上存在一点E,使得BE/平面PAC设正方形边长为 a,则SD= 42a.由SDL平面PAC# PD=冲,故可在 SP上取一点 N,使PN= PD过点N作PC的平行线与SC的交点为E,连接BN在 BDN,易得 BN/ PO又因为 NE/ PC所以平面 BEN/平面PAC所以BE/平面PAC因为 SN： NP= 2： 1,所以 SE： EC= 2： 1.(12 分)(20)(本小题满分12分)已知椭圆E的中心在原点，焦点在 x轴，焦距为2,且长轴长是短轴长的 平倍.(I )求椭圆E的标准方程；(n )设P(2 , 0),过椭圆E左焦点F

19、的直线l交E于A、B两点，若对满足条件的任意直线l ,不等式PA-PBC入(入C R)恒成立，求 入的最小值.【解析】(I )依题意,a=/2b, c=1,2解得a2=2, b2=1,椭圆E的标准方程为1" + y2= 1.(4分)(n )设 A(xi, y1) , B(x2, y2),贝UPA PB= (Xi-2, y1) (x22, y。=(Xi2)( x22)+ yy2,21当直线 l垂直于 x轴时，xi = X2=1, yi = y2且 yi = "2,此时 PA (3, yi), PB= (3, y2)= (3, yi),所以 PAPb= (3)2y2=; (7

20、分)当直线l不垂直于x轴时，设直线l ： y= k(x+i),y= k (x+1) , »2 2224k2由 i 2 2 2 2 整理得(i + 2k ) x + 4k x+2k 2=0,所以 xi+ x2= - H2p，xix2=2k2- 2 i + 2k2'所以 PAV PB= xix22(xi + x2)+4+k2(xi + i)( xz+i)=(i +k2)xix2+(k2 2)( xi + x2) + 4+k2=(i +k2) . 21/ (k22) "2 + 4+k2.2i7k + 2 i7 i3 i7=2k2+ i =万一2 (2k2+i) <&

21、quot;T一一一一 i7要使不等式PA-PB<入(入C R)恒成立，只需 入>(PA- P§max=万，即 入的最小值为i7 八y.(i2 分)(2i)(本小题满分i2分) x已知函数f(x)=mx- aln x e g(x) =ft,其中 簿a均为头数，e为自然对数的底数.e(I )求函数g( x)的极值；ii()设mR i,a<0,若对任意的 xi,x2C 3 ,4( xi 刈，| f(x2) f (xi)|< 1g(x2)- g(xi)恒成立，求实数a的最小值._. . _ _ .一 一i x .一【解析】(I)由题得，g (x)=e3i，令g (x)

22、 = 0,得x=i,列表如下:x(一00, i)i(i +°°)g' (x)K 010小于0g(x)极大值当x=i时，g(x)取得极大值g(i) =i,无极小值；(4分)(n )当 mR i, a<0 时，f(x) = x aln x- i, xC(0, 十°°),x-ie_x，. f ' (x) =xa>0在区间3, 4上恒成立, x，一、，一一，、-i f (x)在区间3 , 4上为增函数，设 h(x)=-g x /4上为增函数,.ex i (x i) . . .h (x) =2>0在区间3 , 4上恒成立，h(x)

23、在区间3 ,x不妨设x2>xi贝U 1f (x2) f(x1)|< |g-x2- g (必) 等价于 f(x2) -f (x1)<h(x2)-h(x1)x- 1一、-e即 f(x2)h(x2)<f(x1) h(x。，设u(x)=f (x) h(x)=xalnx- 1 -,ex (x1)<0在区间3 , 4上x_ . _ .a则u(x)在区间3 , 4上为减函数，u (x) = 1 x.a>x-ex 1 + ex-在区间3, 4上恒成立，a>& ex-1+ex- 1I , x e 3 , 4 x max设 v( x) =xex1x-1 e+ ,

24、xC 3 , 4, x则 v' ( x) = 1 e、/j=1+-2常,e"1!|i- 1； + 3 >3e2>1,，v' (x)<0,则 v(x)在区间3 , 4上为减函数, 42；44 . v(x)在区间3 , 4上的最大值 v(3) =3 2e2,a> 3-|e2,33实数a的最小值为3 2e2.(12分) 3请考生在(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.(22)(本小题满分10分)选彳4-4:坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程是p =2,以极点为原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角x= 1 +1坐标系，直线l的参数方程为厂(t为参数).)=2+四(I)写出直线l的普通方程与曲线 C的直角坐标方程；x = x(n)设曲线C经过伸缩变换11后得到曲线 C ,设M(x, y)为C'上任意一点，求iy, =2yx2q3xy+2y2的最小值，并求相应的点 M的坐标.【解析】(I ) p =2,故圆C的方程为x2+y2=4'x = 1 + t直线l的参数方程为，直线l方程为3xy V3+2=0.(5分) 旷=2 十43