高等数学教学课件：Lecture 36-Introduction to Differential Equations

1、微分方程微分方程 第七章第七章 积分问题积分问题 微分方程问题微分方程问题 推广推广 已知已知 ( ),yf x 求求 y已知含已知含 及其及其 若干阶导数的方程若干阶导数的方程 y求求 y微分方程的基本概念微分方程的基本概念 第一节第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题解解: 设所求曲线方程为设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式则有如下关系式:d2dyxx (C为任意常数为任意常数)由得由得 C = 1,21.yx因此所求曲线方程为因此所求曲线方程为12xy 由得由得一曲线通过点一曲线通过点(1,2) , 在该曲线上任意点处的在

2、该曲线上任意点处的切线斜率为切线斜率为 2x , 求该曲线的方程求该曲线的方程.引例引例1.2 dyx x 2xC解解: 设列车在制动后设列车在制动后 t 秒行驶了秒行驶了s 米米,已知已知即求即求 s = s (t) .20 m s 的速度行驶的速度行驶, 制动时制动时获得加速度获得加速度求制动后列车的运动规律求制动后列车的运动规律.20.4 m s ,a 引例引例2. 列车在平直路上以列车在平直路上以( )0.4;s t 0( )20,ts t 0( )0.ts t 由前一式两次积分由前一式两次积分, 可可得：得：利用后两式可利用后两式可得：得：因此所求运动规律因此所求运动规律为：为：说明

3、说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住能停住, 以及制动后行驶了多少路程以及制动后行驶了多少路程. 2120.2stC tC 1220,0CC20.220stt 微分方程的定义微分方程的定义例例,yxy 23,xyyye2()dd0,txtx x,zxyx 实质实质: 联系自变量联系自变量,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某某 些些导数导数(或微分或微分)之间的关系式之间的关系式.微分方程微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程.分类分类1: 常微分方程常微分方程 (本章内容

4、本章内容), 偏微分方程偏微分方程.微分方程的分类微分方程的分类23,xyyye2()dd0,txtx x,zxyx 2220222(),uuuuxxtxyz ( )yy x ( )xx t ( , )zz x y ( , , , )uu x y z t 微分方程的阶微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的微分方程中出现的未知函数的最最高高 阶导数阶导数的的阶阶数数称为称为微分方程的阶微分方程的阶.一阶一阶微分方程微分方程高阶高阶(n)微分方程微分方程分类分类2:( , ,)0,F x y y ( , );yf x y ( )( , ,)0,nF x y yy ( )(1)( , ,).nn

5、yf x y yy d2dyxx ，(5)23,xyyye 22zxyx 分类分类3: 线性线性与与非线性非线性微分方程微分方程.( )( ),yP x yQ x 2()20;x yyyx2,zxyx 222222222uuuuxtxyzyz 2222222uuuuutxyz分类分类4: 单个单个微分方程与微分方程组微分方程与微分方程组.,zxyxzxyy d32 ,dd2,dyyzxzyzx , zxyx d, dzxzx 微分方程的解微分方程的解: 代入代入微分方程能使方程成为恒等式的函数微分方程能使方程成为恒等式的函数. ( )( , ( ),( ),( )0.nF xxxx 微分方程的

6、解的分类：微分方程的解的分类：(1) 通解通解: 微分方程微分方程的解中含有任意常数的解中含有任意常数, 且且任意任意 常数的个数与微分方程的阶数相同常数的个数与微分方程的阶数相同.设设 在区间在区间 I 上有上有 n 阶导数，阶导数，( )yx ,yy 例例;xyCe 通通解解0,yy 12sincosyCxCx通通解解(2) 特解特解: 确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.,yy 例如：例如： xyCe 通解：通解： xye 特解：特解： 0,yy 12sincos ;yCxCx通解：通解： 特解：特解： 2cosyx 解的图象解的图象: 微分方程的积分曲线微分方程的

7、积分曲线.通解的图象通解的图象: 积分曲线族积分曲线族.初始条件初始条件: 用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.过定点的积分曲线过定点的积分曲线;00( , )x xyf x yyy 一阶一阶:二阶二阶:0000( , ,),x xx xyf x y yyyyy 初值问题初值问题: 求求微分方程满足初始条件的解的问题微分方程满足初始条件的解的问题.过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.解解:12cossinxCktCkt 222d0dxk xt例例1. 验证验证:函数函数是微分方程是微分方程的解的解. 并求满足并求满足初始条件初始条件的

8、特解的特解.00, 0ttxAx 12d sincos,dxkCktkCktt 222122dcossin,dxk Cktk Cktt 221212(cossin)(cossin)0.kCktCktkCktCkt 代入原方程的得到：代入原方程的得到：00d,0,dttxxAt 所求特解为所求特解为故故 为原方程的解为原方程的解. .12cossinxCktCkt222d0dxk xt恒等于恒等于012,0.CAC12d sincos,dxkCktkCktt cos.xAkt PQxyOx解解: 如图所示如图所示, 令令 Y = 0 , 得得 Q 点的横坐标点的横坐标点点 P(x, y) 处的法

9、线方程为处的法线方程为求所满足的微分方程求所满足的微分方程.且线段且线段 PQ 被被 y 轴平分轴平分, 例例2. 已知曲线上点已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与处的法线与 x 轴交点为轴交点为 QYy1y ()Xx Xxyy ,xyyx 即即20yyx 补充补充:微分方程的初等解法微分方程的初等解法: 初等积分法初等积分法.求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)d2dyxx 12xy ( )0.4;s t 0( )20ts t 0( )0,ts t 425d2 dyx yx ？425d2dyyxx 可分离变量微分方程可分离变

10、量微分方程 第二节第二节1212( )( )d( )( )d0Mx MyxNx Nyy解分离变量方程解分离变量方程 可分离变量方程可分离变量方程 转化转化 12d( )( )dyfx fyx ( )d( )dg yyf xx ( )d( )dg yyf xx 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.425d2dyx yx 例例如如称为微分方程的隐式通解，又称通积分。称为微分方程的隐式通解，又称通积分。分离变量法分离变量法425d2d ,yyxx 解法解法 设函数设函数 和和 是连续的，是连续的， ( )g y( )f x( )d( )dg yyf xx ( )g y( )f x设函数设函数和

11、和是依次为是依次为和和函数函数, 则则的原的原( )G y( )F x( )( )G yF xC解解分离变量分离变量两端积分两端积分例例1. 求微分方程求微分方程 的通解的通解d2dyxyx d2 d ,yx xy d2 d ,yx xy 21ln|yxC2211|xCCxeyee 21Cxe ey 2xyCe为所求的通解为所求的通解2d3dyxxy 例例2. 求微分方程求微分方程的通解的通解.解解: 分离变量得分离变量得两边积分两边积分得得即即( C 任意任意常数常数 )说明说明: 在求解在求解过程过程中，每中，每一一步不一定是同步不一定是同解变形解变形,因此因此可能增、减解可能增、减解.(

12、 此式含分离变量时丢失的解此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )2d3dyx yx 2d3dyxxy 31ln yxC31exCy 31e eCx 1eCC 令令3exyC 例例3. 解初值问题解初值问题解解: 分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得即即21y xC由初始条件得由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数为任意常数 )2d(1)d0 xy xxy(0)1 y 2dd1yxxyx 21lnln(1)2yxC 故所求特解为故所求特解为211y x 2,1Ceyx 例例4. 求微分方程求微分方程 的通解的通解:2sin (1)yxy 则则1uy1,uxy令令 故有故有即即解得解得

13、所求所求通解为通解为:21sinuu 2secddu ux tanuxCtan(1)xyxC( C 为任意常数为任意常数 )解解:例例5. 求微分方程求微分方程 的通解的通解:() d() d0f xy y xg xy x y,uxy 令令 则则ddd ,ux yy xdd( ) d( )0,uy xf u y xg u xx ( )( )d( )d0,uf ug uxg uuxd( )d0, ( )( )xg uuxu f ug u 通解为通解为( )ln|d. ( )( )g uxuCu f ug u 解解:2d()dyxyx例例6. 求微分方程求微分方程 的通解的通解.解解代入原代入原方

14、程方程得：得：原方程的通解为原方程的通解为,uxy令令 dd1,ddyuxx则则2d1duuxarctan,uxCarctan(),xyxCtan().yxCx练习练习: 求方程求方程 的通解的通解. exyy 解法解法 1 分离变量分离变量( C 0 )解法解法 2( C 为任意常数为任意常数 )所求通解所求通解:e de dyxyx eeyxC 即即(e)e10 xyC,uxy令令 则则 1,uy1euu 代入原方程得代入原方程得:ln(1e )uuxCln(1e)xyyC 00tMM ，( )M tt例例7. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原

15、子的含量原子的含量 M 成正比成正比, 已知已知 求衰变过求衰变过程中程中铀含量铀含量 随时间随时间 变化的规律变化的规律. .解：解：由题设条件由题设条件0CM衰变规律衰变规律ddMt衰变速度为衰变速度为0 ddMMt ( 为衰变系数为衰变系数)ln|,MtC ,tMCe 即即00 tMM 0tMM e 例例8. 某车间体积为某车间体积为12000立方米立方米, 开始时空气中含有开始时空气中含有 0.1% 的的 CO2 , 为了降低车间内空气中为了降低车间内空气中CO2 的含量的含量, 用一台风量为每秒用一台风量为每秒 2000 立方米的鼓风机通入含立方米的鼓风机通入含0.03% 的的CO2

16、 的新鲜空气的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合同时以同样的风量将混合均匀的空气排出均匀的空气排出, 问鼓风机开动问鼓风机开动6分钟后分钟后, 车间内车间内CO2的百分比降低到多少的百分比降低到多少?解解 设鼓风机开动后设鼓风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为2CO)%(txtCO2含量的变化速度含量的变化速度CO2排出的速度排出的速度= = CO2通入的速度通入的速度 d(12000 %)20000.03%200%,d0 xxt CO2含量的变化速度含量的变化速度CO2排出的速度排出的速度= = CO2通入的速度通入的速度 d1(0.03)d6xxt 160.03,txCe 0 |0.1,

17、tx 0.07,C160.030.07,txe 16|0.030.070.056,txe 6分钟后分钟后, 车间车间内内CO2 的的百分比降低到百分比降低到0.056%.解解二二设鼓风机开动后设鼓风机开动后 时刻时刻 的含量为的含量为2CO)%(txt在在 内内, ,d t tt 2000 d0.03%,t2000 d( )%,t x tCO2的通入量的通入量CO2的排出量的排出量CO2的的通入量通入量CO2的的排出量排出量 CO2的的改变量改变量12000d %2000 0.03% d2000( )% d ,xtx ttd1(0.03)d6xxt 其它同前其它同前.内容小结内容小结1. 微分

18、方程微分方程的概念的概念微分方程微分方程;定解条件定解条件;2. 可可分离变量方程的求解方法分离变量方程的求解方法:说明说明: 通解不一定是方程的全部解通解不一定是方程的全部解 .有解有解后者是通解后者是通解, 但但不包含前一个解不包含前一个解.分离变量后积分分离变量后积分; 根据定解条件定常数根据定解条件定常数.解解; 阶阶;通解通解; 特解特解 y = x 及及 y = C 例如例如, 方程方程()0 xy y (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程常用的方法常用的方法:1) 根据几何关系列根据几何关系列方程方程2) 根据物理规律列方程根据物理规律列方程3) 根据微量分析平衡关系列方程根据微量分析平衡关系列方程(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3) 求求通解通解, 并根据定解条件确定特解并根据定解条件确定特解. 3. 解解微分方程应用题的方法和步骤微分方程应用题的方法和步骤函数是微分方程的什么解？函数是微分方程的什么解？思考题思考题思考题解答思考题解答23xye -40yy 故为微分方程的故为微分方