专题06超越不等式()型(压轴题解法分析与强化训练)

1、专题06超越不等式(方程)型真题再现例1(2020 南京三模 20改编)已知函数/()=(WR),其中e为自然对X-ClX + a数的底数，若函数/(x)的立义域为R，且/(2) > f(a) 9求的取值范国.【解析】由函数Xx)的左义域为R,得x2-s+0恒成立，所以a2-4a<Q9解得OVV4.方法1 (讨论单调性)得 y()=ex(-)(-2)(2-+)2当a=2时2)=皿不符题意.当O<q<2时,因为当<x<2时，广<0,所以Xx)在(e 2)上单调递减，所以)>2),不符题意.当2<a<4时，因为当2<x<时，.

2、厂(X)V0,所以TU)在(2, )上单调递减，所以)<2),满足题意.综上，的取值范用为(2, 4).方法2 (转化为解超越不等式，先猜根再使用单调性)由X2)>X),得7>-因为OVaV4,所以不等式可化为e2>-(4tz)4a aa设函数 (X)=(4x)-e2>0<x<4.因为g(x)=L二¾0恒成立，所以g(x)在(0, 4)上单调递减又因为g(2)=0,所以g(x)<O的解集为(2, 4).所以，的取值范围为(2, 4).例2 (2016 宿迁三校学情调研14)已知函数TW=X-I-(C-I)Inx,其中e为自然对数的底，则

3、满足,er)<O的X的取值范用为【解析】易得*1)=*M), 广CV) = Ij)XX当 Xe(O-I)时，广(X)VO , /(羽 在(Oi-I)单减：当 x(6>-l,+oo)时,V)>O, /(x)在 一1, F)单增，(X)V O 的解集是 IvXVW 令IVKV-得0<x<l,故./(L)VO的X的取值范用为(0,1)例3 (2020 扬州五月测试 20改编)不等式XL-lnx<O的解集是.X【解法一】显然X = I是方程X-I-InX = O一个根X(1 丫 、IX+ 令 f (x) = x-丄一lnx,则 ,(x) = l + -!一丄=二&g

4、t;0XX" XAr故/(X)在(O,+o)单增，且/(1) = 0,所以不等式X-I-Inx 0的解集是(0,lX【解法二 1 x-lnx0变形为x-nx 设/(x) = X 丄，g(x) = lnxXXX而/(x) = x-在(0,+oo)单减，g(x) = lnx在(0.+8)单增，且图象均过(1, 0) 所以不等式x-lnx0的解集是(0J.X例4方程77T + 75 + 3x + 4 = 0的根是.【解析】原方程可化为+(x+1) + 5 + (2x + 3) = 0设/(x) = 7+x,易得其为/T上的单增奇函数，(x+l) + (2x+3) = 0, X = 士为所求

5、.强化训练1. (2020 北京6)已知函数f(x) = 2x-x-,则不等式/(X) >0的解集是().扎(-1,1) B. (P,I)U(I,P)C. (0,1) D. (P,0)u(l,H<o)【解析】因为/(x) = 2x-x-l,所以/(x)>0等价于25+1，在同一直角坐标系中作出y = 2x和y = .v÷l的图象如图：两函数象的交点坐标为(OJ),(1,2),不等式2x>x +1的解为XVo或x>l.所以不等式/(x)>0的解集为：(o,0)u(l,+oo).2. 关于X的不等式x2+lnx-lO的解集为【答案】1,-h×>)3. 方程xer+elnx-e = O的根是.【解析】设卩(兀)=Xe"+elnx-s 则9(x) = (x + l)ev + >O,所以0(x)单调递增，因为0(1) = 0,所以X = 1.4. 已知a、卩分别是方程+x÷l=O. x + 7+l = O的根，贝Ja+的值是.【答案】一15. 已知实数x、y 满足(x + x2+l)(y + Jb+1) = L 则疋 一3-4y2-6x-Gy + 2020的值是.【提示】两边取自然对数得ln(x+jF+l) + ln(y + Jy2+) = o设/(x) = ln(x + x2+ 则易得其