北师大版七年级下全等三角形压轴题分类解析

1、七 年 级 下 三 角 形 综 合题归 类一、双等边三角形模型1. (1)如图7,点O是线段AD的中点，分别以Ao和Do为边在线段AD的同侧作等边 三角形OAB和等边三角形OCD连结AC和BD,相交于点E,连结BC求 AEB的 大小；(2)如图8, OAB固定不动，保持 OCD勺形状和大小不变，将 OCD着点O旋 转( OAB和 OCDf能重叠)，求 AEB的大小.2.已知：点C为线段AB上 且AN BM相交于O. 求证：AN=B 求 AOB勺度 若AN MC相交于点BN都是等边P，(BM NC交于点Q图7湘B三角形,求证：PQ/ AB。潭中考题)同类变式：已知，如图所示,在 ABC和 ADE

2、 中 , AB AC ,AD AE ,BAC DAE ,且点B, A, D在一条直线上, 连接BE , CD , M , N分别为BE, CD的中点D图(1)求证： BE CD : AM AN ；(2)在图的基础上，将 ADE绕点A按顺时针方向旋转180o ,其他条件不变，得 到图所示的图形请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立4.如图,四边形ABCD和四边形AEFG匀为正方形，连接BG与 DE相交(1)证明： ABGADE :C点 H.试猜想 BHD勺度数，并说明理(3)将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转(QODVBA面积图为S , ADG勺面积为S2 ,判断S与S2的大小关系，并给予证

3、明.(2)BBAE V 18MO),设厶 ABE的E图AC于点G ,5. 已知：如图， ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG 在GD的延长线上取点E ,使DE DB ,连接AE, CD *(1)求证： AGEDAC ;G(2)过点E作EF / DC ,交BC于点F ,请你连接AF ,并判断 AEF是怎样的三角 形，试证明你的结论.二、垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容) 考点1 :利用垂直证明角相等1.如图， ABC中， ACB= 90°, AC= BC, AE是BC边上的中线，过C作CFAE,垂 足为F,过B作BD丄BC交CF的延长线于D.求证：(1) AE=

4、 CD(2)若 AC= 12 cm,求 BD的长.考点2:利用角相等证明垂直1.已知BE, CF是厶ABC的高，且BP=AC CQ=AB试确定AP与 AQ的数量关系和位置关 系2.如图，在等腰Rt ABC中， AC90°, D为BC的中点，DEAB,垂足为E,过点 B作BF/ AC交DE的延长线于点F,连接CF.B ACB 交 AB(1)求证：CD=BF求证：ADL CF;连接AF,试判断 ACF的形状.拓展巩固：如图9所示， ABC是等腰直角三角形， =90o, AD是 BC边上的中线，过C作AD的垂线, 于点E,交AD于点F,求证： ADC= BDE(提示：对比此题的条件和上面那

5、题的条件， 对比此题的图形和上题的图橡， 有什么区 别和联系？)Z3X3. 如图1,已知正方形 ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接_AEGC .(1)试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；A图(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上图如图2,连接AE和GC.你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.4. 如图1, ABC的边BC在直线I上，AC BC,且AC BC, EFP的边FP也 在直线I上，边EF与边AC重合，且EF FP(1) 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出 AB与AP所满足的 数量关系和位置关系

6、；(2) 将EFP沿直线I向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q)连接AP, BQ .猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；EAA(E(3)将EFP沿直线I向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长 线于点Q,连结API BQ ,你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位 置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由三、等腰三角形(中考重难点：BEI，考丿1 丿 2 / / I / U(I - P1. 如图， ABC 中，AB AC， BAC 90，D 是 BC 中点，EDFBZDF PD FD 与 AC 交于 F .求证：BE (AF

7、， AE CF .(32. 两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC ,如图所示放置，巳A(Q三点在一条直线上，连结BD ,取BD的中点M，连结ME,MC .试判断EMC的形状，并 说明理由.压轴题拓展：(三线合一性质的应用) 已知Rt ABC中，AC BC， C 90，D为AB边 的中点，EDF 90， EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB (或它们的延长线) 于 E、F .当EDF绕D点旋转到DE AC于E时(如图"，易证SDEF SCEF AABC .当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若

8、 成立，请给予证明；若不成立，S DEF， SCEF， SABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.提示：此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。3.已知：如图， ABC中， ABC=45°, CDLAB于 D, BE平分 ABC 且 BE丄AC于 E，1与CD相交于点F,H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G(1) BF=AC(2) CE=- BF2(3) CE与 BC的大小关系如何。考点2 :等腰直角三角形(45度的联想)1.如图1,四边形ABCDi正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A, B重合)

9、,另一条直角边与 CBM的平分线BF相交于点F.如图14 1,当点E在AB边的中点位置时： 通过测量DE EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ; 连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是 请证明你的上述两猜想 如图14 2,当点E在AB边上的任意位置时，请你在 AD边上找到一点N,使得NE=BF进而猜想此时DE与 EF有怎样的数量关系并证明2.在 Rt ABC中，AC= BC ACB= 90°, D是 AC的中点，DGL AC交 AB于点 G.(1)如图1, E为线段DC上任意一点，点F在线段DG上，且DE=DF连结EF与CF, 过点F作FHL FC,交直线A

10、B于点H. 求证：DG=DC 判断FH与FC的数量关系并加以证明.(2)若E为线段De的延长线上任意一点，点F在射线DG上，(1)中的其他条件不变, 借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变.(本小题直接写出结论，不必证明)BB长线上一点，直(点E不与点B C勺顶点E在BC上滑同类变式：(期末考试原题哦)已知：弹C为等边三角形，M是B 角三角尺的一条直角边经过点 A, 重合)，斜边与 ACMI勺平分线尢F交于点F(1)如图(1)当点E在BC边得猜想AE与EF满足的数量关系是o角的点位置时DC E连结点E与AE边得图点1N,猜想EE和CF满足的

11、数量关系是 请证明你的上述猜想；(2)如图(2)当点E在EC边得任意位置时，AE和EF有怎样的数量关系，并说明你的理由？M图(2)四、角平分线问题1. 如图：E在线段CD上，EA EB分别平分 DAB和 CBA, AEB=90 ,设 AD= x,BC= y ,且 Xly满足 x2 y2 6x 8y 25 0(1)求AD和BC的长；(2)你认为AD和BC还有什 么关系？并验证你的结论；(3)你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.2. 如图，OP是 MoN勺平分线，请你利用该图形画一对以 OP所在直线为对称 等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题(1) 如

12、图，在厶 ABe中, ACB是直角， B=60o, 的平分线，AD CE交于点F。请你判断并写也FE与FD之间的数量关系；(2) 如图，在厶ABC中，如果 ACB不是直角，而 中的其它条件不变，请问, 你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理 由。E分别是 BAO图N A图CD图 C3.(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD ,过C作CE A盯E , 并且AE 1(AB AD),贝U ABC ADC等于多少？24.如图， ABe中，AD平分 BAC DGL BC且平分 BC DEAB于 E, DFAC于 F.F(1)说明 BE=CF的理由；(2

13、)如果 AB=a，Ae=O ,求 AB BE的长.5、在厶 ABe中，AB=2AC AD平分 BAe AD=BD 求证：CDL Ae6、如图，已知在厶ABC中，/ BAC为直角，AB=Ae D为AC上一点，CEL BD于 E.1(1)若BD平分 ABe求证CEqBD(2)若D为AC上一动点， AEC如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。7已知：如图E在厶ABC的边AC上，且 AEB ABC(1)求证： ABE C; 若 BAE的平分线AF交BE于F, FD/ BC交AC于D,设AB=5 AC=8求DC的长五、中点问题1. 在厶ABC中,D为BC的中点， 过D点的直

14、线GF交AC于F,交AC的平行线BG于点G。 DE GF ,并交AB于点E.连结EG .(1) 求证：BG CF ；(2) 请猜想BE CF与EF的大小关系,并加以证明2. 如右下图，在ABe中，若 B 2 C , AD Be , E为Be边的中点求证：AB 2DE 3. 已知ABe中，AB Ae , BD为AB的延长线，且BD AB, CE为ABC的AB边上的中线.求证CD 2CE (提示：倍长中线试 试)附加思考题：(此题有很好地思维训练价值，值得深入思考探究)以ABo的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE , BAD CAE 90 .连接DE , M、N 分别是

15、BC、DE的中点.探究：AM与DE的位置关系及数量关系.如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ；线段AM与DE的数量关系是；将图中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转(O90)后，如图所示，问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.6、问题：已知 ABC中，BAC 2 ACB ,点D是厶ABC内的一点，且AD CD , BD BA .探 究 DBC与 ABC度数的比值.A请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.(1) 当BAC 90时，依问题中的条件补全右图.观察图形，AB与AC得数量关系为 ；当推出 DAC 15时，可进一步推出DBC的度数为；可得至U DBC与 ABC度数的比值为 .(2) 当 BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值是否与(1) 中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.8 (1)如图1,在正方形ABCC中，点E, F分别在边CD上，AEBF 交于点 Q