全等三角形及三角形全等的条件一对一辅导讲义

1、课 题全等三角形及三角形全等的条件教学目的1、掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能进行简单的推理计算。2、理解并掌握三角形全等的判定定理，能准确找到判定定理的条件，并熟练运用。教学内容1、 课前检测1如图（1），ABC中，AB=AC，AD平分BAC，则_2斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是_，底边和腰相等的两个等腰三角形全等的根据是_3已知ABCDEF，DEF的周长为32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm则AB=_，BC=_，AC=_图（1） 图（2） 图（3）4 如图（2），AC=BD，要使ABCDCB还需知道的一个条件是_5 如图（3），若1=2，C=D，则A

2、DB_，理由_6 不能确定两个三角形全等的条件是（ ）A三边对应相等B两边及其夹角相等C两角和任一边对应相等D三个角对应相等7·ABC和DEF中，AB=DE，A=D，若ABCDEF还需要 （ ）AB=EBC=F CAC=DFD前三种情况都可以8· 在ABC和ABC中AB=ABBC=BCAC=ACA=AB=BC=C，则下列哪组条件不能保证ABCABC （ ）A具备B具备C具备D具备参考答案：1ADBADC2ASA（或AAS）SSS39 cm12 cm11 cm4ACB=DBC或AB=CD5 ACBAAS 6·D 7·D 8·A2、 知识梳理知识要

3、点：要点1：全等三角形的概念及其性质（1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（2）全等三角形性质：对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等要点2：全等三角形的判定（1）两边及夹角对应相等SAS； （2）两角及夹边对应相等ASA；（3）两角及其中一角的对边对应相等AAS； （4）三边对就应相等SSS。要点3：找全等三角形的对应边，对应角的方法 （1）若给出对应顶点即可找出对应边和对应角。（2）若给出一些对应边或对应角，则按照对应边所对的角是对应角，反之，对应角所对的边是对应边就可找出其他几组对应边和对应角。（3）按照两对对应边所夹的角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边

4、来准确找出对应角和对应边。（4）一般情况下，在两个全等三角形中，公共边、公共角、对顶角等往往是对应边，对应角。要点4：寻找两个三角形全等的途径（1）三角形全等的判定是这个单元的重点，也是平面几何的重点有两组对应角相等时；找有两组对应边相等时；找有一边，一邻角相等时；找有一边，一对角相等时；找任一组角相等（AAS）（2）利用两个三角形的公共边或公共角寻找对应关系，推得新的等量元素如图（一）中的AD，图（二）中的BC都是相应三角形的公共元素。图（三）中如有BF=CE，利用公有的线段FC就可推出BC=EF。图（四）中若有DAB=EAC，就能推出DAC=BAE。三、例题讲解：例1. 如图，四点共线，。

5、求证：。. 思路分析：从结论入手，全等条件只有；由两边同时减去得到，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是，也可以是。由条件，可得，再加上，可以证明，从而得到。解答过程：，在及中(HL)，即在及中(SAS)解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路例2. 如图，在中，是ABC的平分线，垂足为。求证：。思路分析：直

6、接证明比较困难，我们可以间接证明，即找到，证明且。也可以看成将“转移”到。那么在哪里呢？角的对称性提示我们将延长交于，则构造了FBD，可以通过证明三角形全等来证明2=DFB，可以由三角形外角定理得DFB=1+C。解答过程：延长交于在及中(ASA 又。解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例3. 如图，在中，。为延长线上一点，点在上，连接和。求证：。思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段为边的绕点顺时针旋转到的位置，而线段正好是的边，故只要证明它们全等即可。解答过程：，为延长线上一点在及中(SAS)。解题后的思考

7、：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。例4. 如图，是的边上的点，且，是的中线。求证：。思路分析：要证明“”，不妨构造出一条等于的线段，然后证其等于。因此，延长至，使。解答过程：延长至点，使，连接在及中(SAS)，又，在及中(SAS)又。解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。4、 课堂练习一、选择题：1. 能使两个直角三角形

8、全等的条件是( )A. 两直角边对应相等B. 一锐角对应相等C. 两锐角对应相等D. 斜边相等2. 根据下列条件，能画出唯一的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，3. 如图，已知，增加下列条件：；。其中能使的条件有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 （第3题） （第4题） （第5题） （第6题）4. 如图，已知，则等于( )A. B. C. D. 无法确定二、填空题：5. 如图，在中，的平分线交于点，且，则点到的距离等于_；6. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，为折痕，则的大小为_；三、解答题：7. 如图，为等边三角形，点分别在上，且，及交于点。求的度数。8. 如图，为上一点

9、，交延长线于点。求证：。9. 如图，已知AEAD，AFAB，AF=AB，AE=AD=BC，AD/BC.求证：（1）AC=EF，（2）ACEF10.已知：如图，在RtABC中，AB=AC，BAC=90°，1=2，CEBD的延长线于E.求证：BD=2CE.参考答案一、选择题：1. A2. C3. B4. C二、填空题：5. 46. 三、解答题：7. 解：为等边三角形，在及中(SAS)。8. 证明：，在及中(AAS)。9. 证明：（1）AD/BC，BDAB=180°又DAB4EAF3=360°，3=4=90°DABEAF=180°B=EAF在ABC和

10、FAE中ABCFAE（SAS）AC=EF（2）ABCFAE1=F又13=2F2=3又3=90°2=90°AGEF，即ACEF10.证明：延长BA、CE交于点F.3=90°，5F=90°又BECE，4=90°，7=90°1F=90°，6=180°90°=90°1=5在ABD和ACF中ABDACF（ASA）BD=FC在BEF和BEC中BEFBEC（ASA）EF=ECFC=2ECBD=2EC5、 课堂小结(1) 全等三角形的概念及其性质(2) 全等三角形的判定(3) 找全等三角形的对应边，对应角的方法

11、(4) 寻找两个三角形全等的途径六、课后作业 一、填空题1·如图（1），C=E，1=2，AC=AE，则ABD按边分是_ 三角形2·如图（2），AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，交BD于P，则PD_PE（填“<”或“>”或“=”）3如图（3），ABC中，AB=AC，现想利用证三角形全等证明B=C，若证三角形全等所用的公理是SSS公理，则图中所添加的辅助线应是_图（1） 图（2）图（3） 图（4）4 一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=_5 如图（4），AD=AE，若AECADB，则需增加的条件是_（至少

12、三个）2、 选择题6如图（8），图中有两个三角形全等，且A=D，AB及DF是对应边，则下列书写最规范的是（ ）AABCDEFBABCDFECBACDEFDACBDEF7如图（9），AC=AB，AD平分CAB，E在AD上，则图中能全等的三角形有_对A1B2C3D4图（8）图（9）图（10）图（11）8如图（10），ABC中，D、E是BC边上两点，AD=AE，BE=CD，1=2=110°，BAE=60°，则CAD等于 （ ）A70°B60°C50°D110°9如图（11），ABCD，且AB=CD，则ABECDE的根据是 （ ）A只能用AS

13、AB只能用SASC只能用AASD用ASA或AAS10如图（12），ABCAEF，AB和AE，AC和AF是对应边，那么EAC等于（ ）AACBBBAFCFDCAF11如图（13），ABC中，C=90°，AC=BC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E且AB=6 cm，则DEB的周长为 （ ）A40 cmB6 cmC8 cmD10 cm图（12）图（13）图（14）12如图（14），1=2，C=D，AC，BD相交于点E，下面结论不正确的是（ ）ADAE=CBEBDEA及CEB不全等CCE=CDDAEB是等腰三角形三、解答题13已知EF是AB上的两点，AE=BF，ACBD，且AC=DB，

14、求证：CF=DE 图（15）14一块三角形玻璃损坏后，只剩下如图（16）所示的残片，你对图中作哪些数据测量后就可到建材部门割取符合规格的三角形玻璃并说明理由图（16）15如图（17），在ABC中，AM是中线，AD是高线图（17）（1）若AB比AC长5 cm，则ABM的周长比ACM的周长多_ cm（2）若AMC的面积为10 cm2，则ABC的面积为_cm2A10 B20 C30D40（3）若AD又是AMC的角平分线，AMB=130°，求ACB的度数16已知如图（18），B是CE的中点，AD=BC，AB=DCDE交AB于F点求证：（1）ADBC （2）AF=BF图（18）参考答案一、1·等腰2=3AD为ABC的中线4115AEC=ADB或C=B或AC=AB或BE=CD（多写一个加一分）二、6B7C8B9D10B11B12B三、13证明：ACFBDE（SAS）CF=DE14测量A，B的度数和线段AB的长度，做A=A，