2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 8.5双曲线

1、2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：8.5双曲线三、双曲线（一）双曲线的定义与标准方程相关链接1在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线，还是双曲线的哪一支。2求双曲线标准方程的方法（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应即可求得方程；（2）待定系数法，其步骤是定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；定值：根据题目条件确定相关的系数。注：若不能明确双曲线的焦点在哪条坐标轴上，可设双曲线方程为：。例题解析例已知动圆M与圆外切，与圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程。思路解析：利用两圆心、外切圆心距与两圆半径的

2、关系找出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解。解答：设动圆M的半径为r则由已知。又（-4，0），（4，0），|=8，<|。根据双曲线定义知，点M的轨迹是以（-4，0）、（4，0）为焦点的双曲线的右支。（二）双曲线的几何性质相关链接1双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），2 / 8“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形）研究它们之间的相互联系。2在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程。同时要熟练掌握以下三方面内容：（1）已知双曲线方程，求它

3、的渐近线（2）求已知渐近线的双曲线的方程；（3）渐近线的斜率与离心率的关系。如注：（1）已知渐近线方程为则双曲线的标准方程为的形式，根据其他条件确定的正负。若>0，焦点在x轴上；若<0，焦点在y轴上。（2）与双曲线共渐近的双曲线方程为；与双曲线共焦点的圆锥曲线方程为。例题解析例中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点，且，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3：7。（1）求这两曲线方程；（2）若P为这两曲线的一个交点，求的值思路解析：设椭圆方程为，双曲线方程为分别求a,b,m,n的值利用椭圆与双曲线定义及余弦定理求得。解答：（1）由已知：，设椭圆长、短半轴

4、长分别为a、b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n，则，解得a=7,m=3.b=6,n=2.椭圆方程为双曲线方程为。（2）不妨设分别为左右焦点，P是第一象限的一个交点，则所以又，=（三）直线与双曲线的位置关系例（1）求直线被双曲线截得的弦长；（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程解析：由得得（*）设方程（*）的解为，则有 得，（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为，它被双曲线截得的弦为对应的中点为， 由得（*）设方程（*）的解为，则，且，得或。方法二：设弦的两个端点坐标为，弦中点为，则得：， 即， 即（图象的一部分）注：圆锥曲线中参数的范围及最值问题，由于其能很好地考查学生对数学知识的迁移、组合、融会的能力，有利于提高学生综合运用所学知识分析、解决问题的能力，所以成为高考的热点。在圆锥曲线中经常遇到求范围问题，这类问题在题目中往往没有给出不等关系，需要我们去寻找。对于圆锥曲线的参数的取值范围问题或最值问题，解法通常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义时，可考虑利用数形结合法求解或构造参数满足的不等式（如双曲线的范围，直线与圆锥曲线相交时>0等），通过解不等式（组）求