2014年高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 2.7幂函数

1、 2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：2.7幂函数一、幂函数定义的应用1、相关链接（1）判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：指数为常数；底数为自变量;幂系数为1.（2）若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征.（3）几个具体函数的定义正比例函数； 反比例函数；一次函数；二次函数；幂函数（）2、例题解析例1已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3,m为何值时，f(x)：(1)是幂函数；(2)是幂函数，且是(0，+)上的增函数；(3)是正比例函数；(4)是反比例函数.【方法诠释】利用幂函数必须满足的三个特征，构建关于m的式子求解(1)(2)；利用正比

2、例函数、反比例函数的定义，构建关于m的方程，求解(3)(4).解析：(1)f(x)是幂函数，故m2-m-1=1,即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.(2)若f(x)是幂函数，且又是(0,+)上的增函数，则m=-1.(3)若f(x)是正比例函数，则-5m-3=1,解得此时m2-m-10,故(4)若f(x)是反比例函数，则-5m-3=-1,则此时m2-m-10,故2 / 13例2已知y=(m2+2m-2)·+(2n-3)是幂函数，求m、n的值.思路解析：本题是求实数m、n的值，由于已知幂函数的解析式，因此在解题方法上可从幂函数的定义入手，利用方程思想解决.解答：由题意得：，解得，所

3、以，。二、幂函数的图象与性质（一）幂函数的图象及应用1、相关链接幂函数的图象与性质由于的值不同而比较复杂，一般从三方面考查：（1）的正负：>0时，图象过原点和（1，1），在第一象限的图象上升；<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；（2）曲线在第一象限的凹凸性：>1时，曲线下凸；0<<1时，曲线上凸；<0时，曲线下凸；（3）=（其中，且互质）。当为偶数时，为偶函数，其图象关于轴对称；当都为奇数时，为奇函数，其图象关于原点对称；当为偶数，为奇数时，为非奇非偶函数，其图象只能在第一象限。(4)幂函数的图象最多只能出现在两个象限内； (5)如果幂函

4、数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.注：幂函数的图象无论取何实数，其必经过第一象限，且一定不经过第四象限。2、例题解析例1已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上定义试求函数h(x)的最大值以及单调区间.【方法诠释】本题是求函数h(x)的最大值以及单调区间，只需作出其图象,数形结合求解即可，但由于在条件中已知函数h(x)在相应段上的解析式，所以，在求解方法上，应在每一段上求最大值及函数的单调区间，同时要注意函数端点值解析：设幂函数为f(x)=x，因为点在f(x)的图象上，所以所以=2，即f(x)=x2；又设g(x)=x，点()在g(x)的图象上，所以(2)=，所以=2，即g(x)=x2

5、.在同一直角坐标系中画出函数f(x)与g(x)的图象，如图所示：则有：根据图象可知：函数的最大值等于1，单调递增区间是(，1)和(0，1)，单调递减区间是(1，0)和(1，+).注：解决与幂函数图象有关的问题，常利用其单调性、奇偶性、最值(值域)等性质去确认与应用，而与幂函数有关的函数的性质的研究，常利用其相应幂函数的图象，数形结合求解.例2 已知函数（1） 求的单调区间；（2） 比较与的大小（3）解答：（1）方法一：=1+，其图象可由幂函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图：所以该函数在上是减函数，在上是增函数。方法二：=1+，设在定义域内，则（2）图象关于直线对称，又。（二）幂

6、函数的性质与应用1、相关链接<一>比较幂值大小的类型及方法(1)当幂的底数相同，指数不相同时，可以利用指数函数的单调性比较；(2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较；(3)当幂的底数与指数都不同时，一种方法是作商，比较商值与1的大小关系，确定两个幂值的大小关系；另一种方法是找中介值，即找中间量，通过比较两个幂值与中间量的大小，确定两幂值的大小关系；(4)比较多个幂值的大小，一般也采用中间量法，即先判断每个幂值与0、1等数的大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再比较大小，最后确定各数间的大小关系.<二>幂函数y=x的性质(1)定义域、值

7、域及奇偶性,要视的具体值而定.(2)当0时，幂函数在(0，+)上是增函数，当0时，幂函数在(0，+)上是减函数.2、例题解析【例1】(1)试比较0.40.2,0.20.2,20.2,21.6的大小.(2)已知幂函数y=x3m-9(mN*)的图象关于y轴对称，且在(0，+)上函数值随x的增大而减小，求满足的a的取值范围.【解题指南】(1)前三个同指数的幂值用幂函数y=x0.2的单调性比较，而后两个同底数的幂值利用指数函数y=2x的单调性比较.(2)利用幂函数的性质，构建出m的不等式，并求出m的值，再根据其单调性，由关于a的已知不等式，构建a的不等式，从而求出a的范围.【规范解答】(1)因为函数y

8、=x0.2在R上为增函数，且0.20.42,0.20.2 0.40.220.2,又函数y=2x在R上为增函数，且0.21.6,20.221.6,0.20.20.40.220.221.6.(2)函数在(0，+)上递减，3m-9<0，m<3，mN*，m=1,2.又函数的图象关于y轴对称，3m-9为偶数，当m=1时,3m-9=-6为偶数，当m=2时,3m-9=-3为奇数，而在(-,0)，(0，+)上均为减函数，等价于a+1>3-2a>0或0>a+1>3-2a或a+1<0<3-2a，解得a<-1或a的取值范围是a|a<-1或.三、幂函数中的三

9、类讨论题所谓分类讨论，实质上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略 分类讨论时应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重、不漏的分类讨论在幂函数中，分类讨论的思想得到了重要的体现，可根据幂函数的图象和性质，依据幂函数的单调性分类讨论，使得结果得以实现类型一：求参数的取值范围例1已知函数为偶函数，且，求m的值，并确定的解析式分析：函数为偶函数，已限定了必为偶数，且，只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定的解析式解：是偶函数，应为偶数又，即，整理，得，又，或1当m=0时，为奇数（舍去）；当时，为偶数故m的值为1，评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖

10、掘已知条件中的每一个信息，做到不重不漏，才可为正确解题奠定坚实的基础类型二：求解存在性问题例2已知函数，设函数，问是否存在实数，使得在区间是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由分析：判断函数的单调性时，可以利用定义，也可结合函数的图象与性质进行判断，但要注意问题中符号的确定，要依赖于自变量的取值区间解：，则假设存在实数，使得满足题设条件，设，则若，易知，要使在上是减函数，则应有恒成立，而，.从而要使恒成立，则有，即若，易知，要使在上是增函数，则应有恒成立，而，要使恒成立，则必有，即综上可知，存在实数，使得在上是减函数，且在上是增函数注：本题是一道综合性较强的题目，是幂函数性质的综合应用判断函数的单调性时，可从定义入手，也可根据函数图象和性质进行判断，但对分析问题和解决问题的能力要求较高，这在平时要注意有针对性的训练类型三：类比幂函数性质，讨论函数值的变化情况例3讨论函数在时随着x的增大其函数值的变化情况分析：首先应判定函数是否为常数函数，再看幂指数，并参照幂函数的性质讨论解：（1）当，即或时，为常函数；（2）当时，或，此时函数为常函数；（3）即时，函数为减函数，函数值随x的增大而减小；（4）当即或时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；（5）当即时，函数为增函数，函数值随x的增大而增大；（6）当，即时，函