2020年上海市中考一模数学代几压轴题(教师版)

1、2020年上海市16区中考数学一模汇代几综合(解答题 25题压轴题)1.(长宁、金山25).如图，已知在 RtVABC中， C 90，AC 8，BC 6 ,点P、Q分别在边AC、射线CB上，且AP CQ ,过点P作PM AB ,垂足为点M ,联结PQ ,以PM、PQ为邻边作平行四边形PQNM ,设AP X ,平行四边形PQNM的面积为y .(1) 当平行四边形PQNM为矩形时，求 PQM的正切值；(2) 当点N在VABC内，求y关于X的函数解析式，并写出它的定义域；(3) 当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形 PQNM 一边的中点时，直接写出 X的值.1 / 43【整体分析】PM(1) 当

2、四边形 PQMN是矩形时，PQ/ AB .根据tan PQM =求解即可.PQ(2) 如图1中，延长 QN交AB于K.求出 MK , PM ,根据y = PM?MK求解即可.(3) 分两种情形：如图3-1中，当平分MN时，D为MN的中点，作NE / BC交PQ于E,作NH丄CB1交CB的延长线于H, EG BC于G 根据EG= PC构建方程求解.如图 3-2中，当平分NQ时，D是2NQ的中点，作 DH丄CB交CB的延长线于H 根据PC= GH构建方程求解即可.【满分解答】(1)在 Rt ACB 中， C = 90 , AC = 8, BC = 6,AB = '. AC2 BC2 = 8

3、2 62 = 10,当四边形PQMN是矩形时，PQ/ AB .PM tan PQM =兄3PA5IPA925(2)如图1中，延长QN交AB于K.图: C= 90 ,AC = 8,BC = 6, AB=IO. SinA=COSB=BC = 6AB =103AC,cosA=s inB=5AB由AP X,得BQ = 6-x ,QN = PM = APS inA=103X,54AM = APCOSA= x, KQ = BQSinB=54BQ =524 4x5318 3xBK = BQCOSB= BQ =5. MK = AB-AM-BK532 X QN V QK ,324 4xX V ,5. X V24

4、7PM?MK = 3x×5(3)如图3-132 X96x 3x225中，当平分MN时,延长线于H , EG丄BC于G. PD / BC , EN / BC ,.PD / NE ,. PE / DN ,(0 X VD为MN24)的中点，作 NE / BC交PQ于E ,作NH丄CB交CB的43595 / 43四边形PDNE是平行四边形,. PE = DN , DN = DM , PQ= MN , PE = EQ,EG / PC, CG = GQ, EG = 1 PC,2四边形EGHN是矩形， PM AB QN 丄 AB则 ABC+ NQH= NQH + QNH=90 ABC= QNH33

5、339. NH = EG = NQcos QNH= NQcos ABC =YNQ =- PM =-× X = xPC= 8-x555525 ,91 X =? ( 8-x ),252解得X = 200 .43DH丄CB交CB的延长线于 H .1 9 8-x = 1? x,2 25400 解得X =-,59综上所述，满足条件 X的值为 型或400【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添 加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.2.(闵行区 25).已知：如图，在 Rt ABC 和 RtA AC

6、D 中，AC=BC， ACB=90°， ADC=90°，CD=2， (点A、B分别在直线 CD的左右两侧)，射线CD交边AB于点E,点G是Rt ABC的重心，射线 CG交边 AB 于点 F, AD=X , CE=y.(1)求证： DAB= DCF.当点E在边CD上时，求y关于X的函数关系式，并写出 X的取值范围如果 CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求 AD的长.【整体分析】(1) 首先根据点 G是Rt ABC的重心，得出 CF是Rt ABC的中线，又由AC=BC , ACB=90 , 得出CF AB ,即 AFC=90 ,然后等量转换即可得出 DAB= DCF ；BH E

7、H(2) 首先判定厶 CAD BCH ,得出 BH = CD ,CH = AD ,又根据 ADC= BHC=90 ,得出 AD / BH , 进而得出JAD -DE ,列出等式，即可得出 y关于X的函数关系式；(3)分两种情况进行求解：当GC=GD时，根据直角三角形斜边中线定理得出MD=MC ,进而得出MG丄CD ,且直线 MG经过点B,那么BH与MG共线，即可得出 AD ；当CG=CD时，CG=2,点G为 ABC的重心，然后运用勾股定理即可得出AD.【满分解答】证明：点 G是Rt ABC的重心，CF是Rt ABC的中线.又在 Rt ABC , AC=BC , ACB=90 , CF 丄 AB

8、 ,即 AFC=90 . DEF= ADE+ DAE= EFC+ ECF ,且 ADE= EFC=90 , DAB= DCF.解：如图，过点 B作BH丄CD于点H.DAC HCBAC CBDCA HBC CAD BCH (ASA ). BH = CD = 2 , CH = AD = X , DH = 2-x. ADC= BHC=90 AD / BH.ADDEBHEH .XDEX 2DE EH DHEH42x2EH，2EHEH ，X2yCECH HE4 2x X2 X-(0X2)解：当GC=GD时，如图1,取AC的中点 M ,联结 MD.那么MD=MC ,联结MG, MG丄CD ,且直线 MG经

9、过点B.那么BH与MG共线.1又 CH=AD ,那么 AD=CH= -CD 1.2当CG=CD时，如图2,即CG=2 ,点G ABC的重心，342LCF -CG 3 , AB=2CF=6 , AC AB 3 2 ,22AD AC2 CD218 414.综上所述，AD=1或 J4.【点睛】此题主要考查三角形与函数的综合应用，涉及到的知识点有直角三角形斜边中线定理、重心、 勾股定理等，熟练掌握，即可解题3.(静安区25)已知：如图，在 ABC中，AB=AC,点D、E分别在边 BC、DC上，AB2 = BE -DC， DE:EC=3:1 , F是边AC上的一点，DF与AE交于点G.(1) 找出图中与

10、 ACD相似的三角形，并说明理由；(2) 当DF平分 ADC时，求DG:DF的值；(3) 如图，当 BAC= 90°且DF丄AE时，求DG:DF的值.13 / 43【整体分析】(1)根据相似三角形的判定方法，即可找出与 ACD相似的三角形;IDG(2)由相似三角形的性质，得 -DFDEADADCD,由DE=3CE ,先求出AD的长度，然后计算得到DFDG(3)由等腰直角三角形的性质，得到 DAG= ADF=45。，然后证明 ADE DFA ,得到ADDFAEAD,求出DF的长度，即可得到DFDG【满分解答】解：(1)与厶ACD相似的三角形有： ABE、 ADC ,理由如下: AB2

11、=BE -DC ,.BE AB AB DC . AB=AC ,. B= C,BEABACDC，. AED= DAC . AED= C+ EAC , DAC= DAE+ EAC , DAE= C .(2) . ADECDA , DF 平分 ADC , DG DE ADDF AD CD ，设 CE=a,贝U DE= 3CE=3a, CD=4a,3aADAD石，解得AD2、3a （负值已舍）DF AD 2 .3aDG CD4a2(3) BAC=90 , AB=AC , B= C=45 , DAE= C=45 , DG 丄 AE , DAG= ADF=45 , AG=DG= 2 AD 2 23a 、6

12、a ,2 2 EG ' DE2 DG23a， AED= DAC , ADE DFA , AD AE_ DF AD，2 DF 4( 6 -.3) a,AE.DG 2 一 2DF 4.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，正确找出证明三角形相似的条件4.（崇明区25）.如图，在 ABC中，AB AC 10，BC 16 ,点D为BC边上的一个动点（点 D不与点B、点C重合）.以D为顶点作 ADE B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF AD交射线DE于点F (1) 求证：AB CE BD CD ;(2)

13、当DF平分 ADC时，求AE的长；(3) 当 AEF是等腰三角形时，求 BD的长.【整体分析】(1)根据题意证明BDAS CED即可求解；(2)根据OF平分ADC得到 ADECDE ,再根据AEDF /AB 得到-BD得到ACBCBADC ,从而得到BDA S BAC ,即可求解；(3)过点A作AHBC ,垂足为H ,根据三线合一得到1BH CH - BC28 ,由勾股定理得出AF 3AH 6 ,再得到 tan ADF -AF 3 ,设 AF 3k，则 AD 4k，DF 5k ,根据 BDAS CED 得 AD 4AD AB一到，再分点F在线段DE的延长线上， 点F在线段DE上，当 AEF是等

14、腰三角形进行DE CD讨论求解.【满分解答】(1)证明：Q AB ACQ ADC B BAD即 ADE CDE B BADQ ADE BBAD CDEBDAS CEDAB BDCD CEAB CE BD CD(2) QoF 平分 ADC ,ADE CDEQ CDE BADADE BADDF /AB,BDAC BCQ ADE B CBAD C又Q B是公共角，BDA S BACBDBABD1025BDBABC10LJ L16425AE41016125AE32(3)过点A作AHBC ,垂足为HQ AB AC, AH BC1BH CH BC 8 2由勾股定理得出 AH 6, tanB 34Q ADE

15、 B, AF ADtan ADFAD设 AF 3k ,贝U ADQ BDAS CEDAD AB344k , DF 5k ,AFE是个钝角只存在FAFE3k这种可能，则DE 8k104kCD8kCD :2016 ,不符合题意，舍去综上所述,当AEF是等腰三角形时，BD的长Q AFE 90 ADF11或39或空42DE CD点F在线段DE的延长线上，当 AEF是等腰三角形时，存在以下三种情况:1.FAFE3k,则DE2k104kCD5BD 16511CD2k2.EAEF ,则ED2.5k104k252539CDBD16CD2.5k4443.AEAF3k,则DE7k5104k7725CDBD 16C

16、D7k2225点F在线段DE上，当 AEF是等腰三角形时,【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、等腰 三角形的性质5.（奉贤区25）.如图，已知平行四边形 ABCD中，AD 5 , AB 5 , ta nA 2 ,点E在射线AD 上，过点E作EF AD ,垂足为点E ,交射线AB于点F ,交射线CB于点G ,联结CE,CF ,设AE m.（1）当点E在边AD上时，求CEF的面积；（用含m的代数式表示）当 S DCE 4S BFG 时，求 AE : ED 值;15/43(2)当点E在边AD的延长线上时，如果 AEF与CFG相似,求m的值.【整体分析】

17、(1)作 EM 丄 AB , DN 丄AB ,由 S CEF SAFCD易证：？AEF?BGF ,得：(EF)2SVAEFAFS DCE =5 5m , S DCE 4S BFG ,即可得到答案;由 AEF= FGC=90° , AEF 与 CFG 相似AEF CGF时，分别求出答案，即可mVBGF =5m)当寸，当SAEFDCE5m)2AEF FG【满分解答】(1)作EM丄AB，DN丄AB ,如图1, tan A 2 ,. EM :AM : AE=2 : 1 :,5 , DN : AN : AD=2 :1:.,5 , AE EM=,DN=-5 2 2,5 EFAD , tan A=

18、 EFAE,即:EF=2m,AF= 5m , S CEFSAFCDS AEFS DCE如5m 5)(2即：S CEFm22 5m在平行四边形 ABCD中，AD / BC, ?AEF?BGF ,SVBGF( BF )2 (55m)SVAEFAF( 5m)(5 .5m)2 2 5m2 10、.5m 252 匸 L = m 25m 5 ,5SVBGF(、5m)2m :1 J2,5S DCE5 (225当 S DCE4S BFG时，5m)=5.5m ,5m =4 (m? 2 5m 5),解得：g3_4-5, m2.5 (舍) AE= ,5 , DE= . 54 AE : ED =4： 1；(2) AE

19、F= FGC=90° , AEF与CFG相似，分两种情况讨论: 当AEF FGC时，如图1, AFE= FCG , AFE+ GBF=90 , FCG+ GBF=90 , BFC=90 , BF: CF: BC=I : 2:5,. BC=AD= . 5 , BF=I , AF=AB+BF=5+ 仁6 ,. AE : EF: AF=1 : 2:, AE=6÷ yJ5 = v5 ,即：m=6*5 ;55 当AEF CGF时，如图4, AFE= CFG ,在？ BFG和？ CFG中，17 / 43AFE CFGGF GFBGF CGF ?BFG?CFG(ASA), . BG=CG

20、= 1cd2 BG : GF : BF=I : 2:5， BF=图3 AF=5+ 5 =157. AE : EF: AF=I : 2: , AE= 15 ÷j5 = 5/5，即：m= /5 ;2 2 2综上所述：m= 6 5或52图1图213 / 4323 / 43【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，根据题意，进行分类讨论，画出图形，是解题 的关键，体现了数形结合和分类讨论的数学思想6.(黄埔区25)如图12， ABC是边长为2的等边三角形，点 D与点B分别位于直线 AC的两侧，且AD=AC,联结BD CD, BD交直线 AC于点E.(1)当 CAD=9O时，求线段 AE

21、的长.(2)过点A作AHCD,垂足为点 H，直线AH交BD于点F，当 CAD<120°时，设AE X， y SVBCE (其中SVBCE表示 BCE的面积，SVAEF表示 AEF的面积)， SVAEF当7时，请直接写出线段 AE的长.求y关于X的函数关系式，并写出X的取值范围;SVBCEsvaef评分标准：（1） ABC是等边三角形， AB=BC-AC=2, BAC= ABC= ACB=60°. AD=AC, AD=AB. ABD= ADB. ABD+ ADB+ BAC+ CAD=180°, CAD=90°, ABD=15°. EBC=

22、45 ° （厂分）.过点E作EG BC,垂足为点 G. （1分）设 AE X ,则 EC 2 X.在 RtA CGE中， ACB=60 °31EG EC Sin ACB （2 x） , CG EC COS ACB 1 一x.（1分）221 BG 2 EG 1X.2在 RtA BGE 中， EBC=45 °1 31 -X (2 X). (-1-分)-2 2解得X 4 2 3.所以线段AE的长是4 2 3. (1分)(2)设 ABD,贝U BDA , DAC BAD BAC 120° 2 AD=AC, AHCD,1 CAF DAC 60o (勺分)2又. A

23、EF 60o, AFE 60°. (分)( AFE ACB.又 AEF BEC , AEF BEC (.分s/ BCE s/ AEFBE2AEy.由（1）得在RtA CGE中,BG12x,EG T2 X) BE2BG2 EG22X2 2x 42XX2 2x(0 X2)(2分)当 CAD<120° 时，AE23 ； 当 120 < CAD<180 时，AE 1. 7.（嘉定区25） . 25.已知：点P在厶ABC内，且满足 APB= APC（如下图）, APB+ BAC=180 ,(1) 求证： PABPCA :PC(2) 如下图，如果 APB=120 &#

24、176; ABC=90。求的值;PB(3)如图，当 BAC=45 ° ABC为等腰三角形时，求 tan PBC的值.【整体分析】(1)由已知和等量代换得 PBA= PAC,再根据 APB= APC可证明 PABPCA(2)由厶PABPCA可得PAPCAC ABC=90求出，则可得出ABPCPBPBPA值AB ,通过变形得到ACPB(AC)2 ,再利用 APB=120° ,AB(3)当 BAC=45。时，可以推出 tan BPC= PCPBBA=BC ,CA=CB ,AB=AC三种情况，分情况讨论即可【满分解答】(1) APB+ PBA+ PBA=180 ° BAC

25、= PAB+ PBA PBA= PAC APB= APC PAB PCA(2)PAPBAB"PCPAAC.PCPCPAACo . ( )PBPAPBAB APB=120 BAC=60(AC )2 , ABC为等腰三角形，分AB ABC=90ACAB PCRB(3) BAC=45 APB=135 = APC BPC=90AC)2ABPCtan BPC=PB BAC=45 , ABC是等腰三角形当 BA=BC时，由勾股定理可得 AC. 2AB ，tan BPC=（'、2）2 2当 CA=CBL/121时，由勾股疋理可得 AB - 2BC , tan BPC=()22当 AB=AC

26、时，tan BPC=1综上所述，1tan PBC=2 或 或 12【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，等腰三角形分情况讨论等，能够找到三角形相似的条件和分情况讨论是解题的关键评分标准:证明：ABP(1) BAPABPAPBBAP APB 180 , APB BAC 180 ,APB BAC.1分1分即ABPBAPAPBAPB BAP CAP.ABPCAP. 1分又APBAPC, PABPCA.1分(2)如图 10-1 , APB BAC 180 , APB 120 , BAC 60 .1 分1在厶ABC 中， ABC 90 , BAC 60 ,二 AB 丄 AC 1分2又 PABPCA

27、 , PB _PAJAB 1. 1 分C(3) I BAC 45 , APBBAC180 ,APBAPC , APB APC 135BPC 360APBAPC36013513590 . 1分PA PCACPCPC PAAC 2 PCAPAB , ()2.PB PAAB ,PBPA PBAB如图10-2 ,当 ABC是等腰三角形，且ABAC时，tan PBC PC (AC)21.PB AB 1分如图10-3 ,当 ABC是等腰三角形，且ABBC时，ACB BAC 45 , ABC 90 ,ACPC ,AC .2易得2 , tan PBC()2 2 分ABPBAB如图10-4 ,当 ABC是等腰三

28、角形，且 AC BC时， ABC BAC 45 , ACB 90 ,AC. 2PC“AC、？1,八易得, tan PBC(). 1 分AB2PBAB21备注：写出tan PBC 2 , tan PBC -这两个答案之中的一个，即可得到2分；两个全部写出，得2AB边上一动点（点D与点 AB8.（浦东新区 25）.在 Rt ABC 中，A 90 ,AB 4, AC 3，D不重合），联结CD ,过点D作DE DC交边BC于点E (1)如图，当ED EB时，求AD的长;(2)设AD x,BE y ,求y关于X的函数解析式并写出函数定义域;(3)把 BCD沿直线CD翻折得 CDB',联结AB&#

29、39;,当 CAB'是等腰三角形时，直接写出 AD的 长.【整体分析】(1) 过E作EM丄AB于M ,构建一线三垂直”，即证 ACDMDE,利用相似三角形对应边成比例列比例式，再结合等腰三角形性质求解；(2) 作EN丄AB于N ,用三角函数将线段 EN , BN用y表示，再根据 ACD NDE列出比例式， 将比例式变形求解；(3) 作B'H丄AB,交AB或AB延长线于点 H,作B'G丄AC ,交CA延长线于G,构建直角三角形，先 结合Rt AGB'和Rt CGB',利用勾股定理求出 AG , GB'长，再结合 Rt AB'H和Rt DB&

30、#39;H ,利用勾股 定理列含X的方程，即可求解.【满分解答】解：(1)如图，过E作EM丄AB ,垂足为M,亠出3在 Rt CAB 中，AC=3 , AB=4 , /. tanB=,4/ ED=EB, DM=BM,设 AD=X,贝V DM=BM= EM= 3?44- X212- 3x8 CDE= A= EMD=90 EDM+ ADC=90 , ACD+ ADC=90 ACD=EDM,ACD MDE, AC = AD "DM=EM ,3 =X 4- x = 12- 3x , 8. XI 9 , X2 4 (不符合题意，舍去) 49即AD4(2)如图，过E作EN丄AB ,垂足为N,BC

31、=5,.O 343SlnB=,cosB=,ta nB=554EN= 3y4y,BN=55DN= 4-X-4y5在Rt CAB中，AC=3 , AB=4 ,由勾股定理得 CDE= A= END=90 , EDN+ ADC=90 ACD+ ADC=90° ACD=EDN,AC=ADDN=EN ,3 =X .4 3x4- X- y5520x95x2Zr(OX 4)(3)如图，过 B'作B'H丄AB,交AB或AB延长线于点 H,作B'GAC ,交CA延长线于 G,由折叠可得 CB'=CB=5 , B'D=BD=x , CAB'是等腰三角形， A

32、C=AB =3，设AG=m , B'G=n,由勾股定理得，m2+n2=32, (m+3)2+ n2=52,解得,7m=6,n=T第一种情况：在 Rt B'HD中，由勾股定理得,解得，X=7215 1143 4372 15 L即 AD=11 ;43 43第二种情况：在 Rt B'HD中，由勾股定理得，7215 G解得，X=1143 4372 15 L即 AD=11 ；43 43 AD=7215 11.43 43【点睛】本题考查三角形相似的综合应用及勾股定理的综合应用，构建一线三垂直”得相似三角形和构建直角三角形得勾股定理是解答此题的突破口9.（普陀区 25）如图 13,在

33、梯形 ABCD 中，ADPBC， C 90，AD 2，BC 5，DC 3， 点E在边BC上，tan AEC 3 ,点M是射线DC上一个动点（不与点 D、C重合），联结BM交射线 AE于点 N ,设 DM X，AN y.（1）求BE的长；（2）当动点M在线段DC上时，试求y与X之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3） 当动点M运动时，直线BM与直线AE的夹角等于45 ,请直接写出这时线段 DM的长.0 B【满分解答】（1） 作高，构建直角三角形，利用三角比来求解，BE 2 ；（2）延长BM，AD交于点G，31 / 43DG DM DGCB CM 5X3"DG35xX，AG 25xX

34、633xX解得:y(0X3)tf【总结】添加辅助线，构造 X型，利用比例线段求解;6 3xAN AG y 3 X EN BE，1。y23.fx-X 12-(3)当 BNE 45 时， ENBsA EBA,EB2 EN EA,则有4X) 10,解得：X 112 X2当 ANB 45 时， BNAsA EBA, AB2 AN EA, 则有(3 .2)2帀无2 '碱X 3 ,12 X解得X 131综上所述：线段 DM的长为或13.2【总结】分类讨论，等角转换找到子母型相似33 Z 4310.(青浦区 25).如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC, BC=BD= 10, CD= 4, A

35、D= 6.点 P 是线段 BD 上 的动点，点 E、Q分别是线段 DA、BD上的点，且 DE=DQ=BP ,联结EP、EQ .(1) 求证：EQ/ DC ;(2) 如果 EPQ是以EQ为腰的等腰三角形，求线段 BP的长；(3) 当BP=m (0<m<5)时，求 PEQ的正切值.(用含 m的式子表示)【整体分析】(1) 利用两边成比例且夹角相等可判定 DEQBCD ,从而证得结论；2(2) 设 BP 的长为 X,贝U DQ=x, QP=2x-10,利用(1)的结论 DEQBCD ,求得 EQ -X .分5类讨论：当EQ = EP、QE=QP时，分别求得答案即可；(3) 过点P作PH丄

36、EQ,交EQ的延长线于点 H ;过点B作BG DC,垂足为点 G ,易证得 PHQ S BGD ,利用对应边成比例通过计算得到PH、EH的值，从而求得答案【满分解答】(1) . AD/BC , EDQ = DBC .DE , BD ,. DE BDDQ BCDQ BC DEQ s BCD. DQE= BDC , EQ/CD .(2)设 BP 的长为 x,贝U DQ=x, QP=2x-10. DEQ s BCD, EQ QD"DC CB ， EQ X .5(i)当 EQ=EP 时， EQP = EPQ , DE = DQ , EQP = QED , EPQ = QED ,解得X(ii)

37、2X5 254 BPDEQ , EQ QPDE EQ ,125 ,或X 0 (舍去).23当QE=QP时,2x 10 ,解得 X 25 ,46 ,此种情况不存在.12523延长线于点22X52x 10 X,H;过点B作BG丄DC,垂足为点 G. BD = BC, BG 丄 DC , DG=2, BG 4.6,/ BP= DQ = m, PQ=10-2m.EQ / DC PQH = BDG .又 PHQ = BGD= 90 ；PHQ s BGD .PHPQHQPH102mHQBGBDGD, 46102HQ102mPH2 6102m55EH102m2m2,55' tan PEQPHEH2

38、6 10 2m5【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，等腰三角形的性质，分类讨论是正确解答第 小题的关键，作出辅助线构建两个相似的直角三角形是正确解答第（3）小题的关键.11.（松江区25）已知tan MON=2 ,矩形 ABCD的边AB在射线OM上，AD=2, AB=m，垂足为点F.（1）如图（1），作AEON ,垂足为点E.当m=2时，求线段EF的长度；CF 丄 ON，图（1）OC,当m=2 ,且CD平分 FCO时，求 COF的正弦值;（3）如图（3）,当厶AFD与厶CDF相似时，求 m的值35 / 43.V图(3)【整体分析】(1) 如图1 ,延长FC交OM于点G,证 BCG=

39、 MON ,在Rt AoE中，设0E=a,可求得 OA,6 5OG , OF 的长，贝U EF OF OE;5(2) 如图2,延长FC交OM于点G,由(1)得CG 2 5 ,推出CO CG 2.5 ,在Rt COB中，由勾股定理求出 a的值，得出OF的长，可求出cos COF的值，进一步推出 Sin COF的值；(3) 需分情况讨论：当 D在 MON内部时， FDA FDC时，此时 CD=AD=2 , m=2 ;当厶FDA S CDF时，延长 CD交ON于点Q,过F作FPCQ于P,可利用三角函数求出 m的值；当D在 MON 外部时，可利用相似的性质等求出m的值.【满分解答】延长FC交OM于点G

40、 ,Q BCG CGB90 ,MON CGB 90 ,BCG MON则 tan BCG tanMONBG 2BC 4, CG 5BC 2 5 ,27 / 43在Rt AoE中，设 OE a ,由 tan MON 2 ,可得 OA 5a ,则 OG 5a 6, OFl50G a 6-5 ,65EF OF OE555 / 43(2)如图2,延长FC交OM于点G ,由（1）得CG 2 5，解得a1（舍去），a2Q CD平分FCO，FCDDCO，Q CD/OMFCDCGO， DCOCOG，CGOCOG，CO CG2 .5，在 Rt COB 中，由 BC2 BO2 OC2，(5a 2)2(2 .5)2得

41、22OFCOS COFOFOC855 ，Sin COF(3)当D在 MoN内部时,如图3 1 ,3-lFDAS FDC 时，此时 CD AD 2 ,m 2 ；CQ 于 P ,当 FDAS CDF时,则 FDC FDA 135 ,FDP 45 ,DP ,Q PC FPgtan PFC FPgtan MON 2FP 2DP CDFP PD CD m,FD 2m,Q FDAS CDF ,FD CDDA FD，FD ADgCD . 2m ,.2m .2m , m 1 ;90 ,当D在 MoN外部时，ADF 90 , DFCADF DFC,DFI FDI , ID IF ,FDAS DFC 时，此时 F

42、DA DFC ,CF AD 2 ,Q DAF FCD FHD ,A、O重合，延长BC交ON于R ,FR 2CF 4 , CR 2 .5 , BR 2 2 5 ,m CD AB -BR 15 ；2如图3 4 ,0),延长BC交ON于R ,过F作FSCD 于 S ,DHFC，ID1 IF -CF.5t，2ISt， FS 2t，CSQ FDAS CFD ,ADDFDFFC，DF2ADgZC2DHQ DF 2DS2 FS245t4t2(.51)21245 1解得，t1 1，t21 2DH2 5t 55 24. 5t0 （舍去）4t ,AD ,矛盾,Q DFC FDH ,DS(、5 1)t , DH F

43、C2 5t ,综上所述：m 1或m 2 ,或m 1 -.5 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是注 意分类讨论思想的运用.12.（徐汇区25）.如图，在 ABC中，AB AC 5，BC 6 ,点D是边AB上的动点（点 D不与 点A,B重合），点G在边AB的延长线上， CDE A， GBE ABC，DE与边BC交于点F （1）求COSA的值；（2）当 A 2 ACD时，求AD的长；（3） 点D在边AB上运动的过程中，AD: BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD : BE的值;如果变化，请说明理由【整体分析】（1）作AH丄BC于H , BM

44、丄AC于M .解直角三角形求出 BM , AM即可解决问题.（2）设AH交CD于K.首先证明 AK=CK ,设AK=CK=X ,在Rt CHK中，理由勾股定理求出 X,再证明 ADKCDA ,理由相似三角形的性质构建方程组即可解决问题.（3）结论:AD : BE=5 : 6值不变.证明 ACD BCE ,可得ADBEACBC【满分解答】(1)作AH丄BC于H , BM丄AC于M . AB=AC , AH 丄 BC ,. BH=CH=3 ,AHAB2BH252 324,Svabc 2 BC2AH1AC BM ,2BM=BC AH24AC5 ,2AM.AB2BM 2.52254AM7CoSAAB2

45、5(2)设AH交CD于K. BAC=2 ACD , BAH= CAH ,. CAK= ACK ,.CK=AK ,设 CK=AK=X ,在 Rt CKH 中，则有 X2= (4-x) 2+32,25解得X=825.AK=CK= -8， ADK= ADC , DAK= ACD ,ADK CDA ,AD AK.CD ACDK255AD88 ,设 AD=m , DK=n ,5m5258n 125则有8,解得m22539m nn8625 n31212539(3)结论：AD : BE=5 : 6值不变.理由： GBE= ABC , BAC+2 ABC=180 ° GBE+ EBC+ ABC=180 ° . EBC= BAC , EDC= BAC ,. EBC= EDC , D , B , E, C四点共圆，. E