空间向量与立体几何复习导航

1、空间向量与立体几何复习导航一、复习目标1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用数量积判断向量的共线与垂直4.掌握向量的长度公式、两向量夹角公式、空间两点间的距离公式，并会解决简单的立体几何问题.二、知识梳理例1. 如图所示 ,在平行六面体 abcd-a1b1c1d1中,p是ca1中点,m是cd1的中点 ,n是c1d1的中点 ,点q在ca1上,且cq:qa1=4:1,用基底 a,b,c表示以下向量 :(1).;(2).;(3).;(4).解析 连结ac、ad1.(1

2、).;(2).;(3).(4).【知识链接】空间中任意三个不共面的向量a，b，c叫做空间的一组基e底，利用空间的一组基底，可以把空间中的任一向量都可以用a+b+c线性表示 . 且的值唯一确定 . 本题是空间向量基本定理的直接考查, 注意结合已知与所求 , 观察图形 , 联想相关的运算法则和公式等, 表示所需向量 , 再对照目标即基底 a,b,c, 将不符合的向量作新的所需向量, 如此反复 , 直到所涉及向量都可用向量的基底表示例2.四棱锥 p-abcd 的底面是正方形， pa底面 abcd ，pa=ad=2 ，点m、n分别在棱 pd、pc上，且 pc平面 amn.(1).求am 与pd所成的角

3、；(2).求二面角 p-am-n 的余弦值；(3).求直线 cd与平面 amn 所成角的余弦值 .解析：如图 ,建立空间直角坐标系a-xyz，使 a（0,0,0），c（2,2,0），p（0,0,2）， d（0,2,0）， =（2,2,-2），=（0,2,-2），设 m（x1,y1,z1）， ，（ x1,y1,z12）= （0,2,-2）， x1=0，y1=2 ，z1=-2 2， m（0,2 , 2-），平面 amn, ， =0 ，（ 2,2,-2） （0,2 , 2-2 ）=0，2（22 ）=0， =， m（0,1,1），设 n（x2,y2,z2）， =t，（ x2,y2,z22）= t（2,

4、2,-2）， x2=2 t，y2=2 t，z2=2 t2，n（2 t，2 t，22 t，）， =0 ，（ 2 t，2 t，22 t，） （2,2,-2）=0，4 t4 t2（22 t）=0，t=，n（）.(1).cos?,?= ，am 与pd所成角为 900;(2).ab 平面 apd，pc 平面 amn ，、分别是平面 apd，平面 amn的法向量， =(2,0,0) (2,2,-2)=4， cos=,二面角 pam n的余弦值为 ;(3).是平面 amn 的法向量 ,cd与平面 amn 所成角即为 cd与法向量所成角的余角 ,= （-2,0,0） （2,2,-2）=4,cos,直线 cd与

5、向量所成角的余弦值为 ,即cd与平面 amn 所成角的余弦值为 .【知识链接】根据向量的数量积运算, 我们知道 , 向量, 夹角的余弦值可以表示为 , 而空间的角一般可以转化为两条直线所成的角, 而利用向量求角不必作出对应的角 , 而直接采用向量的运算即可. 而建立空间直角坐标系有多种不同的方法 , 得出的点的坐标也可能不同, 这就要求我们进行灵活选择, 一般尽量选择题中有三条垂直且相交于一点的直线作为坐标轴,这样可以比较方便地写出点的坐标. 需要注意的是 : 求出角的余弦后还要结合角的取值范围进行适当取舍, 否则可能得出的是要求角的补角。三、复习小结：1空间向量的定义，运算及应用与平面向量的

6、类似，因此在复习时要注意类比2要善于将立体几何问题转化为向量问题转化的途径主要有两个：一是利用基向量；另一个就是建立空间直角坐标系，通过坐标运算来求证有关问题，其中方法二比较常用四、实战演练1. (2012河南安阳高二期末测试)设a=(x,4,3),b=(3,2,z),且a/b,则等于 ( )a. b. c. d.2.(2012 安徽马鞍山高三期末测试)设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点球面上有两个点，的坐标分别为，则a18 b12 c d3. (2012 江西南昌一中高二期末测试)已知向量 a=(1,1,0),b=(1,0,2),且kab与2ab互相垂直 ,则k的值为 ( )a. b.

7、c. d.4(2012 辽宁实验中学高二月考)已知正方体 abcda1b1c1d1中，e为侧面 bcc1b1的中心若 zxy，则 xyz的值为 ( )a1 b. c2 d.5(2012 广西南宁二中高三模考)在正三棱柱 abca1b1c1中，aa1ab，则ac1与平面 bb1c1c所成的角的正弦值为()a. b. c. d.6.(2012 河南新乡市高三模考)如图，正方体 abcda1b1c1d1的棱长为1，o是底面 a1b1c1d1的中心，则点 o到平面 abc1d1的距离为 ()a. b. c. d.7(2012 湖北襄樊五中高二月考)已知正方体 abcd? a1b1c1d1中，点e、f分

8、别是底面 a1b1c1d1和侧面 cdd1c1的中心，若 0，则 _.8(2012 河南郑州一中高三月考)已知正方体 abcd? a1b1c1d1的棱长为 1，点 p在线段 bd1上，当 apc最大时，三棱锥 p? abc的体积为_9. (2012 河南郑州实验中学高二月考)已知非零向量 e1、e2不共线，如果 e1e2，2e18e2，3e13e2，求证： a、b、c、d共面.10.（2012 东北三校高三二模）11.（2012北京朝阳区高三二模）在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，.ecbdmaf（1）若点在线段上，且满足,求证：平面；（2）求证：平面；（3）求二面角的余弦值.12.

9、（2012浙江五校高三第二次联考）如图，垂直平面，点在上，且（1）求证：；（2）若二面角的大小为，求的值1. a ab.2. c根据空间中两点间距离得3.b ka+b=(k1,k,2),2ab=(3,2,2),由3(k1)+2k+2 (2)=0,得k=.4.c .5.c以线段 bc的中点 d为原点，直线 bc、ad分别为 x轴、y轴建立空间直角坐标系，如图设ab1，则a(0， 0)，c1(，0,1)，设ac1与平面 bb1c1c所成角为 ，易知平面 bb1c1c的一个法向量为(0， 0)，又(， 1)，sin |cos， |，故选 c.6.b以d为原点， da、dc、dd1为x轴、y轴、z轴建

10、立空间直角坐标系，则 a(1,0,0)，b(1,1,0)，d1(0,0,1)，c1(0,1,1)，o，设平面 abcd的法向量 n(x，y,1)，则， n(1,0,1)，又， o到平面 abc1d1的距离 d .7. 解析：连接 a1d、c1d，a1c1，则ef綊a1d，故，即 .8. 解析：如图，以 b为坐标原点， ba为x轴，bc为y轴，bb1为z轴建立空间直角坐标系，设1(0 1) ，可得 p( ， ， )，再由 cosapc可求得当 时， apc最大，故vpabc11，故填 .9.证明令 (e1e2) (2e18e2)v(3e13e2)0.,则( 2 3v)e1( 8 3v)e20.,

11、e1，e2不共线，易知是其中一组解，则-5+=0.a、b、c、d共面 .10. 解：如图建立空间直角坐标系.(1)设， 则， 3分设平面的一个法向量为，则令得 而，所以，即，又平面故平面(2)，设与平面所成角为，由直线与平面所成角的向量公式有11. 证明：（ 1）过作于，连结，edcmafbn则，又，所以.又且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.又平面，平面，所以平面.xzecbdmafy（2）因为平面，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得.显然.则，所以.即，故平面.（3）因为，所以与确定平面，由已知得，.因为平面，所以.由已知可得且，所以平面，故是平面的一个法向量 .设平面的一个法向量是.由得即令，则.所以.由题意知二面角锐角， 故二面角的