2022考研数学二真题及答案解析（全）

1、2021考研数学二真题答案解析2021考研数学真题及答案解析数学(二)一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)(1)当x 9 0时，劝时M的(A)低阶无穷小.(B)等价无穷小.(C)高阶无穷小.(D)同阶但非等价无穷小.【答案】C.【解析】因为当xfO时，辿 =2x，-l)2/，所以辿是高阶无穷小，正确答案为C.ex-l(2)函数,在x = 0 处l,x = 0(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值.(C)可导且导数为0.(D)可导且导数不为0.【答案】D.【解析】因为lim/&quo

2、t;尸1而岂二=1 = 0),故f(x)在x = 0处连续；xtOx->0 x-1 _ Jx因为=limet1,X =-,故/，(0) = ,正确答案为 D.XT。 X-0 XT。X-03。 x2 22(3)有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2 cm/s, -3 cm/s,当底面半径为10 cm, 高为5 cm时，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为(A)125c/$ , 407rcm2 /s .(B) 1257icm3 Is， -4071cm2 /s.(C)- IOOttc/?3 / s , AO/rcm2 / s.(D) - 100 tcctyi Is, -40 7r

3、cm2 / s.【答案】C.【解析】由题意知，= 2,= -3,又尸=乃户儿S = 2乃泌+ 2乃产 dt dtdV . , dr 2 dh dS t dr . dh . dr贝!J= 2 冗 rh-7ir ,=27th+2r+4乃尸一dt dt dt dt dt dt dt当叱= 100肛竺=40肛选 C.dtdt(4)设函数/。)=5-61!1(0>0)有两个零点，则幺的取值范围是 a(A)(e,+oo).【答案】A.【解析】令 /(x) = ax - bn x = 0 , fx) = a -,令 /'(x) = 0 有驻点 x ， /f= a ' -In <

4、0 , xa aj a a从而ln2>l,可得正确答案为a. aa(5)设函数/(x) = secx在x = 0处的2次泰勒多项式为l + ar + b/ ,则 1- 1(A) a = ,h -.(B)tz = ,b 22(C)a = Q,b = .(D)a = 0,b =.22【答案】D.【解析】由小)=/(。) + /,(。 +等，+。(马知当/(x)-ecx时/(0) = sec O = 1 J'(0) = (sec x tan x) |x=0 = 0 J"(0) = (sec x tan 2x + sec 3x) |A.=0 = 1,则 f(x) = secx

5、= 1 + g/ +o(x2).故选 D.(6)设函数/(xj)可微，且/(x,x2)= 2x21nx ,则4(1,1)二(A.)dx + dy .(B) dx-dy .(C)dy .(D) -dy.【答案】C.I解析】f；(x +1,e、) + exf；(x +1,/) = (x +1) 2 + 2x(x + 1)(x, x2) + 2a/V (x.x2) =4xlnx + 2xx = 0 x = 1将 ，分别带入式有y = 0 y = 工乳 1) + -(1,1) = 1,小,1)+2以1,1) = 2联立可得工'(1,1) = 0, .4(1,1) = 1, #(1,1) = f

6、；(, 1)dx + f；(l,l)dydy,故正确答案为 C.(7)设函数/(x)在区间0,1上连续，则£/a粒=f° 金(2n )2n(2n ) n(C) Hm/与平)叫"停了.念 2n )n-。普 <2nJ n【答案】B.【解析】由定积分的定义知，将0,1分成份，取中间点的函数值，则 f/(x)dx = lim£LU, Jo 八 *=1 2n )n即选B.(8)二次型/(西广2/3)=(玉+&)2 +(+毛)2 一(七一玉的正惯性指数与负惯性指数依次为(A)2,0.(B)l,l.(C) 2,1.(D)l,2.【答案】B.【解析】f(x

7、9x29x3) = (%) +x2)2 +(x2 +x3)2 -(x3 -x)2 = 2x22 + 2xx2 + 2x2x3 + 2x)x37,故特征多项式为AE-A=2-1-1-1-1A= (A + 1)(2-3)A令上式等于零，故特征值为-1, 3, 0,故该二次型的正惯性指数为1,负惯性指数为1.故应选B.(9)设3阶矩阵Z = (%&,%)，B =(人仇,仇),若向量组四,a2,%可以由向量组4,夕2线 性表出，则(A) Ax = 0的解均为Bx = 0的解.(B) Arx = 0的解均为BTx = 0的解.(C) Bx = 0的解均为Ax = 0的解.(D) Brx = 0的

8、解均为Atx = 0的解.【答案】D.【解析】令4 =(卬,。2，。3)，8 =(口，儿，用)，由题4，出，。3可由，4，从线性表示，即存在矩阵尸, 使得BP = A,则当炉凝=0时,Atx0 =(BP)tx0 = prBTx0 =。.恒成立,即选D.'10(10)已知矩阵/= 2 -1-P1若下三角可逆矩阵尸和上三角可逆矩阵。，使R40为对角 -5.矩阵，则尸，。可以分别取(A)(C) 2、一30 0、1 00 L0-120、0(B)12-3(D) 00-120、0q0,00、0 b2-10-321【答案】C.【解析】(4E)12-10-12-11-50-12-13-61-21-1-

9、3012-30-12(尸,P),则P12-30-12u0010、0010010-1-30001100100010010000131Q，,则。=0,01、3.故应选C.二、上.)填空题(本题共6小题，每小题5分,共30分.请将答案写在答题纸指定位置3Tx =【答案】.In 3【解析；中*公=2In 3In 3(12)设函数y = y(x)由参数方程x = 2e' + £ +1,确定，则 y = 4(f l)e'+f22【答案】3.皿工、.dy 4tel + 2t zn 【解析】由上=，得dx 2e'+ld2y _ (4, +4te' +2)(2/ +1)

10、-(4役'+2f)2e'dx2(2,+1)3将f = 0带入得磬|仁。ax分7(13)设函数 z=z(x,y)由方程(x + l)z + y In z - arctan(2孙)=1 确定，则 dx(0.2)【答案】1.【解析】方程两边对x求导得z + (x + l)包包斗w=0， dx zdx l+4x2y2将x = 0,y = 2带入原方程得z = l,再将工=0, = 2/ = 1带入得丝=1. dx【答案】(14)己知函数/(7)=，公匚5也±方，则/w【解析】交换积分次序有/=右:sin jdx,从而sin dx ='/cos 人一 cos/4=/y

11、cos-dy-P cos ydyI COS"COS" . N .an -y CQsyayu J】【答案】y = C1ex+e-jxC7 cosx + C, sin x2 2 )【解析】由特征方程万一 1 = 0得4 = 1,4,3 =-;故方程通解为 y = Cxex +e+ C2 cosx + C3 sin x ,C ,C2,C3 g Rx x X（16）多项式/（x）= 22 -1【答案】-5.1 2x2 -1,中丁项的系数为x 11 XX1 f(x)= 22xX1-112x1X -1111-2x 2-1 x 2x 21 x-1 1【解析】所以展开式中含/项的有-4x3

12、,即/项的系数为-5.三、解答题（本题共6小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）(17)(本题满分10分)1 + f e' dt 1求极限lim 斗io ex -i sinx【答案】2( X 2- e dt解析】lim %、1sinx)= lim.v->0sinx-1- f d dtJo(ex -l)sinx又因为J； J力= J；（l + +O（）劝=%+；/+0（工3）,故(XX，+)(1 + X HX3 +。(丁 ) XX2 + 0x )原式=lim-乂-5x->0x卜 2 +0(/)= lim =.7 x2 2(18

13、)(本题满分12分)xlxl己知/(x) = _U,求/(x)的凹凸性及渐近线.1 + x【答案】凹区间(一00,-1), (0,+oo),凸区间(一1,0).斜渐近线是y = x l, y = -x-l9 y + x2(a)=y,(1 + x)2(1 + x)3,x>0i+x ,故x>0,1 + x2x x12所以X(-,-!)-1(-1,0)0(0,+x)/"(X)十-十/(X)凹拐IHI拐点凹凹区间(一00,1), (0,+oo),凸区间(1,0).xxtlim -L-L = 8, x = 1是垂直渐近线.x" l + xlimXf "Kolim

14、xx(1 +x)xxx(l+x)xxx=1, lim(u-1) = -1.XfKO (1+X)=-1, lim(一国1) =-l.斜渐近线是y = %-1, y = -x-1.xT+oo (1 + x)(19)(本题满分12分)/(x)满足 J3"x = x2x + C，£ 为曲线 V = /(x)(4Vx«9), L 的弧长为 s, 旋转一周所形成的曲面的面积为/，求s和4.【答案】丝包.9解析孚-=y/x 33曲线的弧长S = Jl + V2dx = J：；+ 9X = y .曲面的侧面积z = 2万J； y'l + y，2dx = 27J： (k 5

15、 一 x 5)小+ J_+ 2办42549(20)(本题满分12分)函数歹=y(x)的微分方程xy,-6y = -6,满足y(JJ) = 10，求y(x)；(2)尸为曲线y=y(x)上的一点，曲线y = y(x)在点P的法线在丁轴上的截距为/,为使/，.最 2021考研数学二真题答案解析小，求P的坐标.【答案】(1) y(x) = l + y.(2)尸土。)时，有最小值,.【解析】(l)y'-2夕=一9，:. y =卜一把“"dx + C =x6(4+C)= l+Cfi6将V(0) = 10代入，c = 5，.)(x) = l + .(2)设P(xj)，则过P点的切线方程为Y

16、-y = 2x5(X-x), 法线方程为Y-y = -(X-x),Y6 1令X = 0,.丫 = /产1 + ?+5/,偶函数，为此仅考虑(0,+8)令亿,)=2d 一2=0 , x = l.，xe(0,l)，(/,) <0, 4>/y(l) = /； xe(l,+oo), (/J > 0 ,/>/, (1) = /.尸±1,：时，有最小值?.(21)(本题满分12分)曲线(犬+丁2)2 =%2一/(20/20)与x轴围成的区域为。，求JJ中公方.D【答案】48【解析】jj xydxdy - jj j °S ° r3 sin 0 cos Odr D£ icos2 29sin6cos9d。Jo 4产1 ?-f4 cos- 20 d cos 23Jo 16148(22)(本小题满分12分)2 1 0、设矩阵N= 1 2 0仅有两个不同的特征值.若Z相似于对角矩阵，求a, b的值，并求可 J a "逆矩阵尸，使尸一二尸为对角矩阵.A-2 -1【解析】由根后川=-12-2-1 -a00 =(4b)(" 3)(4 1) = 02,-b8当6 = 3时，由/相似对角化可知，二重根所对应特征值至少存在两个线性无关的特征向量，则2021考研数学二真题答案解析(3