高考数学专题训练——14外接球

1、1 培优点十四外接球1正棱柱，长方体的外接球球心是其中心例 1：已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）a16b20c24d32【答案】 c 【解析】162hav，2a，24164442222haar，24s，故选 c2补形法（补成长方体）cab图1cpababc图2pcbaabc图3cbpaabc图4pco2ba例 2：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是【答案】9【解析】933342r，249sr3依据垂直关系找球心例 3：已知三棱锥pabc的四个顶点均在同一个球面上，底面abc满足6babc，2abc，若该三棱锥体积的最大

2、值为3，则其外接球的体积为（）a8b16c163d323【答案】 d【解析】 因为abc是等腰直角三角形，所以外接球的半径是11232r，设外接球的半径是r，球心 o 到该底面的距离d ，如图，则1632abcs，3bd，由题设116336abcvshh，2 最大体积对应的高为3sdh，故223rd，即2233rr，解之得2r，所以外接球的体积是343233r，故答案为d一、单选题1棱长分别为2、3、5的长方体的外接球的表面积为（）a 4b 12c 24d 48【答案】 b 【解析】 设长方体的外接球半径为r， 由题意可知：22222235r，则：23r，该长方体的外接球的表面积为244 31

3、2sr本题选择b选项2设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为2 3 ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）a12b28c44d60【答案】 b 【解析】 设底面三角形的外接圆半径为r ，由正弦定理可得：2 32sin60r，则2r，设外接球半径为r，结合三棱柱的特征可知外接球半径222327r，对点增分集训3 外接球的表面积2428sr本题选择b选项3把边长为3 的正方形abcd 沿对角线ac 对折，使得平面abc平面 adc ，则三棱锥dabc 的外接球的表面积为（）a 32b 27c 18d 9【答案】 c 【解析】 把边长为3 的正方形 abcd 沿对角线ac 对折，使得平面abc

4、平面 adc ，则三棱锥 dabc 的外接球直径为3 2ac，外接球的表面积为2418r，故选 c4某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为（）a2ab22ac23ad24a【答案】 c 【解析】 由题可知， 该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为2a的正三角形， 一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为a的正三棱锥， 另一个是棱长为2a 的正四面体，如图所示：该几何体的外接球与棱长为的正方体的外接球相同，因此外接球的直径即为正方体的体对4 角线，所以2223232raaaara，所以该几何体外接球面积22234432sraa，故选 c5三

5、棱锥abcd 的所有顶点都在球o 的表面上，ab平面 bcd ，2bcbd，24 3abcd，则球 o 的表面积为（）a 16b 32c 60d 64【答案】 d 【解析】 因为2bcbd，2 3cd，所以222222 31cos2222cbd，23cbd，因此三角形bcd 外接圆半径为122 sincdcbd，设外接球半径为r，则222=2 +412162abr，2=464sr，故选 d6如图1111abcda b c d 是边长为1 的正方体，sabcd 是高为 1 的正四棱锥，若点s，1a ，1b ，1c ，1d 在同一个球面上，则该球的表面积为（）a916b2516c4916d8116

6、【答案】 d 【解析】 如图所示，连结11ac ，11b d ，交点为m，连结 sm ，5 易知球心 o 在直线 sm 上，设球的半径rosx，在1rtomb中，由勾股定理有：22211omb mb o ，即：222222xx，解得：98x，则该球的表面积2298144816sr本题选择d选项7 已知球 o 的半径为r，a，b， c 三点在球 o 的球面上，球心 o 到平面 abc 的距离为12r ，2abac，120bac，则球 o 的表面积为（）a169b163c649d643【答案】 d 【解析】 由余弦定理得：44222cos1202 3bc，设三角 abc 外接圆半径为r ，由正弦定

7、理可得：2 32sin120r，则2r，又22144rr，解得：2163r，则球的表面积26443sr本题选择d选项8已知正四棱锥pabcd ( 底面四边形abcd 是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心) 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为10 ，若该正四棱锥的体积为503，则此球的体积为（）a 18b 8 6c 36d 32 3【答案】 c 【解析】6 如图，设正方形abcd 的中点为e，正四棱锥pabcd 的外接球心为o ，q 底面正方形的边长为10 ，5ea，q 正四棱锥的体积为503，21501033pabcdvpe，则5pe，5oer ，在aoe中由勾股定理可得：2255r

8、r，解得3r，34363vr球，故选 c9如图， 在abc中，6abbc，90abc，点d为 ac 的中点， 将abd沿bd折起到pbd的位置，使pcpd ，连接 pc ，得到三棱锥pbcd 若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（）a 7b 5c 3d【答案】 a 【解析】 由题意得该三棱锥的面pcd 是边长为3的正三角形，且bd平面 pcd ，设三棱锥 pbdc 外接球的球心为o ，pcd外接圆的圆心为1o ，则1oo面 pcd ，四边形1oo db 为直角梯形，由3bd，11o d，及 obod ，得72ob，外接球半径为72r，该球的表面积274474sr故选 a10四面

9、体abcd 中，60abcabdcbd，3ab，2cbdb，则此四面7 体外接球的表面积为（）a192b19 3824c 17d17 176【答案】 a 【解析】由题意，bcd中，2cbdb，60cbd，可知bcd是等边三角形，3bf，bcd的外接圆半径2 33rbe ，33fe，60abcabd，可得7adac，可得6af，affb， afbcd ，四面体abcd 高为6af设外接球r， o 为球心， oem，可得：222rmr ，2226efr 由解得：198r四面体外接球的表面积：21942sr故选 a 11将边长为2 的正abc沿着高ad折起，使120bdc，若折起后abcd、 、四点

10、都在球 o 的表面上，则球o 的表面积为（）a72b 7c132d133【答案】 b 【解析】bcd中，1bd，1cd，120bdc，底面三角形的底面外接圆圆心为m，半径为 r ，由余弦定理得到3bc，再由正弦定理得到321sin120rr，见图示：8 ad是球的弦，3da，将底面的圆心m平行于ad竖直向上提起，提起到ad的高度的一半，即为球心的位置o，32om，在直角三角形omd中，应用勾股定理得到od，od 即为球的半径球的半径37142od该球的表面积为247od；故选 b12在三棱锥abcd 中，6abcd，5acbdadbc，则该三棱锥的外接球的表面积为（）a43 4324b43 4

11、36c432d 43【答案】 d 【解析】 分别取ab， cd 的中点e，f，连接相应的线段ce ，ed，ef，由条件，4abcd，5bcacadbd，可知，abc与adb，都是等腰三角形，ab平面 ecd ，abef，同理 cdef ，ef是ab与 cd 的公垂线，球心 g 在ef上，推导出agbcgd，可以证明g 为ef中点，2594de，3df，1697ef，72gf，球半径743942dg，外接球的表面积为2443sdg故选 d9 二、填空题13棱长均为6 的直三棱柱的外接球的表面积是_【答案】 84【解析】 由正弦定理可知底面三角形的外接圆半径为16162 32sin60232r，则

12、外接球的半径2232 391221r，则外接球的表面积为244 2184sr14已知棱长都相等正四棱锥的侧面积为16 3 ， 则该正四棱锥内切球的表面积为_【答案】3216 3 【解析】 设正四棱锥的棱长为a，则23416 34a，解得4a于是该正四棱锥内切球的大圆是如图pmn的内切圆，其中4mn，2 3pmpn2 2pe设内切圆的半径为r ，由pfopen，得fopoenpn，即2 222 3rr，解得2 26231r，内切球的表面积为2244623216 3 sr15已知三棱柱111abca b c 的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3 ，2ab，1ac，60bac，则此球的表面积等于_【答案】 8【解析】 三棱柱111abca b c 的侧棱垂直于底面，棱柱的体积为3 ，2ab，1ac，10 60bac，112 1sin 6032aa，12aa，2222cos60412bcabacab acq，3bc，设abc外接圆的半径为r，则2sin 60bcr，1r，外接球的半径为112 ，球的表面积等于2428故答案为8 16 在三棱锥 abcd 中