同济大学矩阵论课件

1、graduate engineering mathematics 同济大学数学系同济大学数学系 20092009- -3 3- -2222 工科研究生数学工科研究生数学 -矩阵论矩阵论 第第 3 章章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换 吴吴 群群 同济大学数学系同济大学数学系 g g e me m 3.1 线性空间的基本概念线性空间的基本概念 2 定义：设定义：设 v 是一个非空集合，是一个非空集合，f 为数域，为数域，a a, , b b, , g g v, 对于任意的对于任意的a a, , b b v, 总有唯一的元素总有唯一的元素 g g v 与之对应，与之对应，称称 g g 为为a

2、 a 与与b b 的和，的和，记作记作 g g = =a a + +b b，且，且 ;) 1 (a ab bb ba a+ += =+ +);()()2(g gb ba ag gb ba a+ + += =+ + +，存在零元素：存在零元素：a ab ba aa ab b= =+ + ,)3(vv; 0,)4(= =+ + b ba ab ba a，存在负元素存在负元素vv;0为为并记并记为零元素，为零元素，称称b bb b;a ab ba ab b 为为并记并记的负元素，的负元素，为为称称g g e me m 3 对于任意的对于任意的 l l f 及任意的及任意的a a v ，总有唯一的元素

3、总有唯一的元素 d d v 与之对应，与之对应，称称d d 为为l l与与a a 的积，记作的积，记作 d d = = lala，且，且 a aa a= =1)8(a allaal l)()()5(= =lblblalab ba al l+ += =+ +)()7(aalalaa a l l+ += =+ +)()6(则则称称v 为数域为数域 f 上的线性空间，上的线性空间，称称v 的元素为向量，的元素为向量， 称满足称满足(1)-(4)的和为加法，的和为加法，满足满足(5)-(8)的积为数乘。的积为数乘。 g g e me m 4 定义加法：定义加法： t2211),(nnyxyxyx+ +

4、 + += =+ +b ba a,),(t21nxxx= =a a,),(t21nnrxxx = =b b,|),(trxxxxxxrnnn = =2121例例1. 实数域上全体实数域上全体 n 维向量的集合维向量的集合 rk 定义数乘：定义数乘： ,),(t21nkxkxkxk= =a a上的线性空间。上的线性空间。是数域是数域rrn上的线性空间。上的线性空间。是数域是数域ccng g e me m 例例2 2 实数域实数域 r上的全体上的全体 mn 矩阵，对矩阵的加法矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成和数乘运算构成 r上的线性空间，记作上的线性空间，记作 rmn ,nmnmnmnmrcba

5、 = =+ +,nmnmnmrda = =l l rmn是一个线性空间。是一个线性空间。 ,)(|raaaarijnmijnm = = = 5 g g e me m 对于多项式的加法、数乘多项式构成对于多项式的加法、数乘多项式构成线性空间。线性空间。 111010 , =+=+nnnnp xaxa xa aar6 例例3 3 次数小于次数小于n 的多项式的全体，记作的多项式的全体，记作 pxn g g e me m p00001+ + + += = xxnxqn 对于多项式的加法和乘数运算不构成对于多项式的加法和乘数运算不构成线性空间线性空间 n 次多项式的全体次多项式的全体 0 0 1 +

6、+ + + + + = = a a x a x a x q n-1 n-1 n-1 n 例例3 3 . 对运算不封闭对运算不封闭 x q n 7 g g e me m 例例 正弦函数的集合正弦函数的集合 sin,r .s xaxb a b=+=+对于通常的函数加法及数与函数的乘法构成对于通常的函数加法及数与函数的乘法构成 线性空间线性空间 8 g g e me m 11111bxabxas+ += =+ += =sinsinl ll ll lxs 是一个线性空间是一个线性空间. xs 221121bxabxass+ + + += =+ +sinsin xbxaxbxasincossincos2

7、211+ + + += = xbbxaasincos2121+ + + += = bxa+ += =sin.xs 9 g g e me m 例例 在区间在区间a, b上全体实连续函数，对函数的上全体实连续函数，对函数的 加法与数和函数的数量乘法，构成实数域加法与数和函数的数量乘法，构成实数域r上的上的 线性空间，记作线性空间，记作ca, b。 10 ,)()(bacxgxf + + ca, b是一个线性空间。是一个线性空间。 ,)(| )(,上连续上连续在在baxfxfbac= =,)()(bacxgxf ,)(),(bacxgxf g g e me m 例例6 6 正实数的全体正实数的全体

8、r+ ，在其中定义加法及乘数，在其中定义加法及乘数 运算为运算为 + + = = = rbaraaabba,l ll ll l验证验证 r+对上述加法与乘数运算构成线性空间对上述加法与乘数运算构成线性空间 11 g g e me m ;)1(abbaabba = = = = );()()()(2(cbacabcabcba = = = = = ;11aaa= = = = ; 111= = = = aaaa有有 对任何对任何 中存在零元素中存在零元素 , , 1 ) 3 ( + + + + r a r 使使 有负元素有负元素 , , ) 4 ( 1 + + + + r a r a 证明证明 12

9、g g e me m ;1)5(1aaa= = = ;)6(aaaaalll l l llll l = = = = = ; )7(aaaaaaaa l l l l l l l l l l = = = = = =+ + + l ll ll ll ll lbaababba= = = = )()()8(所以所以 对所定义的运算构成线性空间对所定义的运算构成线性空间 r+ +. babal ll ll ll l = = = =13 g g e me m 14 定义定义: : 设设v 是数域是数域f上的线性空间，上的线性空间，w 是是v 的非空子集，的非空子集， 若对于若对于v 中的加法和数乘二种运算，

10、中的加法和数乘二种运算， w 是数域是数域f 上的线性空间，则称上的线性空间，则称w 是是v 的子空间。的子空间。 注意注意. v 最小最小的的子空间为零空间：子空间为零空间： 0 v 最大的最大的子空间为：子空间为：v v 的这两个子空间统称为的这两个子空间统称为v 的的平凡子空间平凡子空间， 其它的其它的子空间称为子空间称为v 的的真子空间。真子空间。 g g e me m 15 定理定理: : 设设v 是数域是数域f上的线性空间，上的线性空间，w 是是v 的非空子集，的非空子集， 若若w 对于对于v 中的加法和数乘二种运算封闭中的加法和数乘二种运算封闭，即，即 则称则称w 是是v 的子空

11、间。的子空间。 ww + + b ba ab ba a则则,)(1wkfkw a aa a则则,)2(g g e me m 16 ,|),(trxxxxwnn = =220例例1. 实数域上实数域上 n 维向量的集合维向量的集合 的子空间。的子空间。是是则则nrw例例2. 设设a为为mn 矩阵，矩阵，向量的集合向量的集合 ,|)(nrxaxxan = = =0。或核空间或核空间的零空间的零空间称为称为的子空间的子空间是是则则)(,)(arann,|)(yaxrxryyarnm= = = =使使的象空间。的象空间。称为称为的子空间的子空间是是则则ararm,)(g g e me m ,|fxxx

12、xxxwmmm + + + += =212211a aa aa a生成的生成的为由为由并称并称的子空间的子空间是是则则mwvwa aa aa a,21例例3. 设设v 是数域是数域f上的线性空间，上的线性空间， ,vm a aa aa a21v 的子空间的子空间, 记作记作 = =mwa aa aa a,21,mspanwa aa aa a21= =或或g g e me m ,nmspanwspanwb bb bb ba aa aa a212211= = =等价，等价，与与向量组向量组若若,nmb bb bb ba aa aa a2121则则 21ww = =定理定理: 设设v 是是f上的线性

13、空间，上的线性空间， vnm b bb ba aa a,11g g e me m 19 例例4. 在线性空间在线性空间 r4中，中， 123121231224624,113453271114aaabbaaabb=1123212,.wwa a ab ba a ab b= = 证明：证明： 12ww= =g g e me m 12312,a a ab ba a ab b证明：证明：只需证只需证 121231212324246,451131114327bb a a abb a a a=12123000000339150882440g g e me m 21 121230113500000000001

14、0147011350000000000112,abbabb= +21243,abbabb= + 12312,a a ab ba a ab b即即可可由由线线性性表表示示. .31275abbabb= +11221243abbabbabbabb= += + = += + 由由可可得得11221234baabaabaabaa= = 1212,b ba ab ba a即即可可由由线线性性表表示示. .g g e me m |21ww + +b ba ab ba a且且为为w1与与 w2 的和，记作的和，记作 w1+ w2 定义定义: 设设w1, w2 是线性空间是线性空间v 的子空间，称集合的子空间

15、，称集合 称集合称集合 |21ww a aa aa a且且为为w1与与 w2 的交，记作的交，记作 w1 w2 g g e me m 定理定理: 设设w1, w2 是线性空间是线性空间v 的子空间，则的子空间，则w1+ w2 与与 w1w2 都是都是v 的子空间。的子空间。 称称 w1+ w2 为为w1与与 w2 的和空间，的和空间， 称称 w1w2 为为w1与与 w2 的交空间。的交空间。 g g e me m |),(trxxrx = =00例例4. 线性空间线性空间r3的子空间的子空间 |),(tryyry = =00,|),(tryxyxrxy = =0求求 rx+ ry ， rx+

16、rxy 和和rx rxy 。 ,|),(tryxyxrryx = =+ +0 xyr= =,|),(tryxyxrrxyx = =+ +0 xyr= =),(t000= =yxrr |),(trxxrrxyx = =00 xr= =g g e me m 定义定义: : 设设v 是一个线性空间，是一个线性空间，a a1, a a2, a anv 若若 (1) a a1, a a2, a an 线性无关，线性无关， (2) a av , a a 可由可由a a1, a a2, a an 线性表示，线性表示， a a = = x1a a1+ x2a a2+ +xna an 则称则称a a1, a a

17、2, a an 为为v 的一组基，的一组基， 称称 x1, x2 , , xn为为a a 在基在基a a1, a a2, a an 下的坐标，下的坐标， 称称 n 为为v 的维数，记作的维数，记作 dimv = n 。 25 3.2 维数、基与坐标维数、基与坐标 g g e me m 26 例例1 设设 2 2, , ,abra b c drcd =则则 2 2r 是实数域是实数域 r 上的线性空间。上的线性空间。 g g e me m 27 自然基自然基 = = = = = = = =100001000010000122211211eeee,22211211decebeaedcbaa+ +

18、+ += = = =g g e me m 28 = = = = = =100210321321a aa aa a,例例2 设设 123,a aaa aa下的坐标。下的坐标。 求求a a = = (1,0,- -1)t 在在基基 为为 r3 的一组基，的一组基， g g e me m 332211a aa aa aa axxx+ + += =29 = =+ + += =+ += = + + + += = 123021232101321211321211xxxxxxxxxxxx, = = = = =021321xxx为坐标向量为坐标向量 021212a aa aa a = =g g e me m

19、30 123411011110,11100000aaaa=2 2r 1211= = a例例3 求求 中的元素中的元素 ，在基，在基 下的坐标。下的坐标。 g g e me m 31 解：设解：设 11223344ax ax ax ax a=+=+1341231211211xxxxxxxxx+= =+ + 134112321231411221111xxxxxxxxxxxxx+=+= = += =+= = = g g e me m 32 12342aaaaa=+=+1234,aaaaa在在基基下下的的坐坐标标向向量量是是t),(1121 g g e me m 例例4 设设 111232221+ +

20、 = =+ + = =+ + += =xxfxfxxf,122+ + += =xxf(1) 证明证明 的基；的基；是是3321,xpfff(2) 求求 f 在这组基下的坐标。在这组基下的坐标。 g g e me m 定理定理: 设设w 是是 n 维线性空间维线性空间v 的子空间，的子空间，dimw = m， a a1 1, , , , a am 为为w 的一组基，则存在的一组基，则存在n- -m个个v 中中向量向量 a am+1, , a an 使使 a a1, , a am, a am+1, , a an 为为v 的基。的基。 定理定理(维数公式维数公式): 设设v1, v2 是线性空间是线

21、性空间v 的子空间，则的子空间，则 )dim()dim(dimdim212121vvvvvv+ + += =+ +g g e me m 例例5 设设v1, v2 是是n维线性空间维线性空间v 的子空间，若的子空间，若 nvv + +21dimdim则则v1, v2 中必有非零的公共向量。中必有非零的公共向量。 021 )dim(vv g g e me m 3.3 基变换与坐标变换基变换与坐标变换 定义定义: : 设设v 是一个线性空间，是一个线性空间，a a1, a a2, a anv b b1, b b2, b bnv 为为v 的两组基，若的两组基，若 + + + += =+ + + +=

22、=+ + + += =nnnnnnnnnpppppppppa aa aa ab ba aa aa ab ba aa aa ab b22112222112212211111【基变换公式基变换公式】 g g e me m pnn),(),(2121a aa aa ab bb bb b= =，即即的的 则则 p 称为由基称为由基 12,na aaa aa到基到基 12,nbbbbbb【基变换公式基变换公式】 转移矩阵（或过渡矩阵），其中转移矩阵（或过渡矩阵），其中 = =nnnnnnpppppppppp212222111211g g e me m 38 例例3 设设 3r123,a aaa aa12

23、3,bbbbbb是是 中的两组基，求由基中的两组基，求由基 到基到基 的转移矩阵的转移矩阵p p ； 1231231001002 ,1 ,0 ;1 ,1 ,1321111aaabbbaaabbb = g g e me m 39 = =310111001321321),(),(a aa aa ab bb bb b基变换公式基变换公式 = = = = = =3233222113a aa ab ba aa ab ba aa ab bp 是由基是由基 123,a aaa aa到基到基 123,bbbbbb的转移矩阵。的转移矩阵。 p g g e me m 定理定理: : 设设v 是线性空间是线性空间，

24、a a1, a a2, , a an , b b1, b b2, , b bn 是是v 的两组基，的两组基，p 是由是由a a1, a a2, , a an到到b b1, b b2, , b bn 的的 过渡矩阵，则过渡矩阵，则 xpy1 = =是由是由 x 到到 y 的坐标变换公式，其中的坐标变换公式，其中 tntnyyyyxxxx),(,),(2121= = =g g e me m 41 pyyyyyxxxxnnnnnnn),(),(),(a aa aa ab bb bb bb bb bb ba aa aa aa aa aa aa a21212211212211= = =+ + + +=

25、= =+ + + += =xpypyx1 = = =,g g e me m 4242 例例4 设设 3r123,a aaa aa是是 中的两组基，中的两组基， 下的坐标下的坐标 a a在在基基 1231231001002 ,1 ,0 ;1 ,1 ,1321111aaabbbaaabbb = 123,bbbbbb下的坐标。下的坐标。 向量是向量是 (1, 2,1)，求，求 在在基基 a ag g e me m 43 = =110040101001131021111001),(xp = = = 1411xpyg g e me m 44 例例5 设设 是是r2 2中的两组基，求中的两组基，求 ;,

26、= = = = = = = =10000100001000014321eeee = = = = = = = =10111121111101214321aaaa,到基到基 的过渡矩阵的过渡矩阵p 4321eeee,4321aaaa,(1)(1)由基由基 (2)(2) = =1121a在基在基 下的坐标下的坐标. . 4321aaaa,g g e me m = =111001111212111143214321),(),(eeeeaaaa + + = =+ + + + = =+ + + = = + += =42144321343212321122eeeaeeeeaeeeeaeeea45 g g e

27、 me m = = = = = 814181311121111001111212111111xpy = =1381311341318100001000010000111211110011112121111),(xp46 g g e me m 例例6 设设线性空间线性空间rx3 的二组基分别是的二组基分别是 ;)(的过渡矩阵的过渡矩阵基基求由前一组基到后一组求由前一组基到后一组1.)()(,)()(,),()()(在前一组基下的坐标在前一组基下的坐标求求在前一组基下的坐标为在前一组基下的坐标为且且在后一组基下的坐标为在后一组基下的坐标为设设xgxf,xgxftt+ + 3201240323223

28、211111xxxxxxxxx+ + + + + + +,和和g g e me m 3.4 子空间的直和子空间的直和 定义：设定义：设v1, v2 是线性空间是线性空间v 的子空间，若对每个向量的子空间，若对每个向量 a v1+ v2 都有唯一的分解式都有唯一的分解式 221121vavaaaa + += =,则称则称v1与与v2 的和的和v1+ v2是直和，记作是直和，记作 v1 v2 。 g g e me m |),(trxxrx = =00例例1. 线性空间线性空间r3的子空间的子空间 |),(tryyry = =00求求 rx ry ，rx ryz 。 ,|),(tryxyxrryx

29、= = 0 xyr= =,|),(trzyzyryz = =0,|),(trzyxzyxrryzx = = 3r= =g g e me m 定理：设定理：设v1, v2 是线性空间是线性空间v 的子空间，则下列命题等价的子空间，则下列命题等价 (2) 向量向量 0 的分解式是唯一的；的分解式是唯一的； (4) v1的一组基与的一组基与v2 的一组基的的一组基的简单并简单并是是v1+ v2的基；的基； (1) v1与与v2 的和的和v1+ v2是直和是直和; (3) v1 v2 = 0; (5) dim(v1+ v2) = dimv1 + dimv2 。 g g e me m 例例2. 设设 ,

30、|nntraaaav = = =1,|nntraaaav = = =221vvrnn = = 证明：证明：g g e me m 定理：设定理：设v1 是线性空间是线性空间v 的子空间，则存在的子空间，则存在v 的的 子空间子空间v2 ，使得，使得v = v1 v2 。 称称v2 是是v1在在v 中的直和补。中的直和补。 g g e me m 3.5 线性变换线性变换 定义定义 设设v 为线性空间，为线性空间， v 上的变换上的变换 t : v v 若满足若满足 (1)()( )( )(2)()( )tttt kktababababaaaa+=+=+= =则称则称 t 为为 v 上的线性变换。上

31、的线性变换。 g g e me m 例例1. 设设t 为为r2上的线性变换，上的线性变换， t : r2r2 t (a) = a （如图）（如图） t 把向量把向量 a 绕原点逆时针绕原点逆时针 旋转旋转 q q 角度变换为角度变换为a。 称称t为旋转为旋转 变换。变换。 x y o a a q q g g e me m 例例2. 设设t 为为r3上的线性变换，上的线性变换， t : r3r3 = = 0yxzyxt称称t 为投影变换。为投影变换。 g g e me m 例例3 3 设设 i 为为v上的线性变换，上的线性变换，i : v v vxxxi = =,)(称称 i 为恒等变换。为恒等

32、变换。 设设 o 为为v上的线性变换，上的线性变换，o : v v vxxo = = ,)(0称称 o 为零变换。为零变换。 g g e me m nrxaxxt = =,)(例例4. 设设t 为为 上的线性变换，上的线性变换， nrnnrrt:其中矩阵其中矩阵a是是 n 阶方阵阶方阵. g g e me m 线性变换的性质：设线性变换的性质：设t 是是v上的线性变换，则上的线性变换，则 (2)()( )ttaaaa= = (1)(0)0t= =11221122(3)()()()()mmmmt xxxx tx tx taaaaaaaaaaaa+=+=+1212(4),(),(), ()mmtt

33、ta aaa aaaaaaaa若若线线性性相相关关，则则线线性性相相关关. .线性变换的性质线性变换的性质 g g e me m 定理定理: : 设设 a a1 1, , a a2 2, , , , a an 是是线性空间线性空间v 的一组基，的一组基， b b1 1, , b b2 2, , , , b bn v , 则存在则存在v上唯一的上唯一的线性线性 变换变换t , 使得使得 t(a ai) = b bi , i = 1, 2, , n g g e me m 线性变换的运算线性变换的运算 定义：设定义：设t1, t2 为数域为数域 f上线性空间上线性空间 v 的线性变换，的线性变换，k

34、 f 则则t1与与 t2 的和、乘积及的和、乘积及k与与t1的数乘为的数乘为 )()()(a aa aa a2121tttt+ += =+ +)()(a aa a2121tttt= =)()()(a aa aa a111ktktkt= = =g g e me m 线性变换的运算性质：线性变换的运算性质： 12211tttt+ += =+ +)()()()(3213212tttttt+ + += =+ + +toto= =+ +,)(有零变换有零变换3ottt= = + + )(,)(有负变换有负变换4)()()(ltktkl= =521216ktktttkltkttlk+ += =+ + +=

35、 =+ +)(;)()(tt = =17 有标量单位元，有标量单位元，)(ottt= = + + )(,)(有负变换有负变换4g g e me m )()()8(321321tttttt= =tttttttttttttt21212121+ += =+ + += =+ +)(;)()9(tittii= = =,)(有恒等变换有恒等变换10g g e me m 定义：设定义：设t 为线性空间为线性空间 v 上的线性变换，若存在上的线性变换，若存在v 上的上的 变换变换 s 使得使得 则称则称t 是可逆是可逆 的，的，s 为为t 的逆变换，记作的逆变换，记作 istts= = =st= = 1定理：

36、设定理：设t 为线性空间为线性空间 v 上的线性变换，若上的线性变换，若t 是可逆是可逆 的的 则则t 的逆变换的逆变换t - -1是是v 上的线性变换。上的线性变换。 g g e me m 3.6 线性变换的矩阵线性变换的矩阵 定义定义 设设 t 为为 v 上的线性变换，上的线性变换，a a1, a a2, , ,a an为为 v 的基的基 + + + += =+ + + += =+ + + += =.)(,)(,)(22112222112212211111nnnnnnnnnntttttttttttta aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa ag g e me m

37、 = = =nnnnnnnnnttttttttttttt212222111211212121),()(,),(),(),(a aa aa aa aa aa aa aa aa aa 称为称为 t 在基在基 a a1, a a2, , ,a an 下的矩阵下的矩阵. . 65 a g g e me m 例例1. 设设 t 为为 上的线性变换上的线性变换， ， 求求 t 在基在基 22 r( )3t aaa =123411011110,11100000aaaa=下的矩阵下的矩阵. . g g e me m 1111()32t aaaa =解：解： 2222()34t aaaa =3332323()3

38、210t aaaaa =+=+4444()32t aaaa =1234123420000410(,)(,)00200002t aaaaaaaa=g g e me m 2000041000200002eal ll ll ll ll l = 2,2,2,4llllllll初等因子组初等因子组: ( )(2)(4)tmllllll=g g e me m 例例2. 设设 t 为为r3上的变换上的变换， ttxxxxxxxt),(),(3131321+ += = (2) 求求 t 分别在基分别在基 e1, e2, e3和基和基 (1) 证明：证明： t 为为 r3上的线性变换；上的线性变换； 下的矩阵下

39、的矩阵. . = = = = = =100,101,011321a aa aa ag g e me m + += = = = =+ += = =31322111010000011eeeteteeetttt),()(),()(),()( = =100001101321321),(),(eeeeeetg g e me m = = =+ += = = = =2321211101112011a aa aa aa aa aa aa atttttt),()(),()(),()( = =000110011321321),(),(a aa aa aa aa aa atg g e me m 定理：设定理：设 n

40、 维维线性空间线性空间 v 上的线性变换上的线性变换t 在两组基在两组基 12,na aaa aa12,nbbbbbb和和下的矩阵分别为下的矩阵分别为a, b, ,pnn的过渡矩阵为的过渡矩阵为到到且由且由b bb bb ba aa aa a2121则则 bapp= = 1g g e me m pnn),(),(a aa aa ab bb bb b2121= =，tt= =apn),(a aa aa a21= =appn121 = =),(b bb bb bptn),(a aa aa a21= =),(ptna aa aa a21注：注：ptttn)(,),(),(a aa aa a21= =

41、),(nnnnnnppppta aa aa aa a+ + + + += =111111)(,),(nnnnnnpptppta aa aa aa a+ + + + += =111111)()(,),()(nnnnnntptptptpa aa aa aa a+ + + + += =111111ptn),(a aa aa a21= =g g e me m 推论：设推论：设t 为复数域上为复数域上线性空间线性空间 v 的线性变换，的线性变换， 则存在则存在v 的一组基，使的一组基，使t 在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为 jordan标准形。标准形。 g g e me m 定义：设定义：设t 为为线性空间线性空间 v 上的线性变换，上的线性变换， 则称矩阵则称矩阵v 的秩为的秩为t 的秩。的秩。 12,na aaa aa是是v 的一组基，的一组基，t 在这组基下的矩阵为在这组基下的矩阵为a ， 特别的，若特别的，若a是满秩的，也称是满秩的，也称 t 为满秩的。为满秩的。 于是，于是，t 是满秩的充要条件是是满秩的充要条件是 t 为可逆的。为可逆的。 g g e me m 线性变换的核与象线性变换的核与象 定义：设定义：设t 为为线性空间线性空间 v 上的线性变换，上的线性变换， t 的核的核kert 与与t 的象的象imt 都是都是v 的子空间。的子空间。 则称则称