核心素养测评四十一

1、温馨提示:此套题为 Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看 比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评四一一等差与等比数列的综合(30分钟 60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1. 已知1,ai,a2,9四个实数成等差数列,1,b i,b2,b3,9五个数成等比数列，则b2(a 2-a i)=()A.8B.-8C. 士8D8PT 8【解析】选A.由1,a1,a2,9成等差数列,得公差d=a2-a 1 一由1,b 1,b2,b3,9成4-1 3等比数列，得；：=1X 9,所以b2=± 3,当b2=-3时,1,b 1,-3成等比数列，此时=1Xg

2、(-3)无解,所以 b2=3,所以 b2(a 2-a 1)=3 x=8.2. 等差数列an,等比数列bn,满足a1=b1=1,as=b3,则a9能取到的最小整数是( )A.-1B.0C.2D.3【解析】选B.等差数列an的公差设为d,等比数列bn的公比设为q,q工0,由 a1=bi=1,as=b3,可得 1+4d=cj2,则 a9=1+8d=1+2(q2-1)=2q2-1>-1,可得a9能取到的最小整数是0.3. 已知在等差数列an中,ai>0,d>0,前n项和为S,等比数列bn满足bi=ai,b 4=a4,前n项和为千,则 ()A.S4>T4B.S4VT1C.S4=T

3、4D.S4W T4【解析】选A.设等比数列bn的公比为q,则由题意可得q>1,数列b n单调递增，口斗(小 丄、ij-1又 St-T4=a2+a3-(b 2+b3)=ai+a4-a iq- =ai(1-q)+a 4=(a4-a1 q)二(b4-b2)>0,所以 S>T4.<7【一题多解】 选A.不妨取an=7n-4,则等比数列bn的公比q=' = =2,所以S=54,T4=，、一 =45,显然 S>Tu4. 已知a,b,c成等比数列,a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列，贝F +等于m tiA.4B.3C.2D.1【解析】选C.由题意得b2=ac,2m

4、=a+b,2 n=b+c,G f (TJi+CTM 口 一" c 3 _ _ 贝廿改+m_啊北=狂卄市"鱼些一皿十旺+环+比_2.2 2 2【一题多解】解答本题,还有以下解法： 特殊值法：选C.因为a,b,c成等比数列,所以令 a=2,b=4,c=8,又a,m,b和b,n,c分别成两个等差数列贝卩 m=3,n二=6,2 2c 2 8因此匕+=尸=2.m n 3 6二、填空题(每小题5分,共20分)5.Sn为等比数列an的前n项和.若ai=1,且3S ,2S2,S3成等差数列，则【解析】由3S,2S2,S3成等差数列,得4S2=3S+S,即3S-3Si=S3-S2,则3&qu

5、ot;,得公 比 q=3,所以 an=aiqn-1=3n-1.答案：3n-16. 已知等差数列a n的公差和首项都不等于0,且a2,a 4,a 8成等比数列，则住1+口弓+口号盘2 + £1工【解析】设公差为d,因为在等差数列an中,a2, a4,a 8成等比数列，所以加=a2a8,所以(ai+3d)2=(ai+d)(a i+7d),所以 d2=aid,因为 dz 0,所以 d=ai,所以=3.CI+Qg5口答案:37. (2020 银川模拟)已知an是等差数列,a1=1,公差dz 0,Sn为其前n项和，若a1,a2,as成等比数列，则S二. 【解析】因为a1,a2,as成等比数列,

6、则匚二a as,2即(1+d) =1X (1+4d),解得 d=2.所以 an=1+(n-1) x 2=2n-1,a 8=2 x 8-1=15,(a. +tTo Jx8s二=4x (1 + 15)=64.答案:648. 已知等差数列加阳的公差0,且a1,a 3,a 13成等比数列，若a=1,Sn为数列牖債的前n项和，则叱兰的最小值为.na+S 11【解析】依题意：因为a,a3,a13成等比数列,a1=1,所以；=aQ13,所以(1+2d) 2=1+12d,d 工 0,解得 d=2.可得 an=2n-1,Sn=n2,则厶= = ' 4 一 =+2一-4 >4,当且仅当n=2时,等号

7、成立.CE乳 士5h+2?i+2n-¥1答案：4三、解答题(每小题10分,共20分)9. (2019 全国卷H )已知数列an和bn满足 a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1 = 3bn-a n-4.(1)证明:a n + bn是等比数列,a n-bn是等差数列.求an和bn的通项公式.【解析】(1)由题设得 4(a n+1 + bn+1)= 2(a n+bn),即 an+1 + bn+1h(an + bn).又因为a1+b1=1,所以是首项为1,公比为-的等比数列.由题设得4(a n+1 - b n+1)=4(a n-b n) + 8, 即 an+1-bn+

8、1二an-bn+2.又因为ai-bi=1,所以是首项为1,公差为2的等差数列. 由(1)知,a n+bn=,a n-b n=2n-1. 1 1 1所以 an(a n+bn) + (a n-bn)= 一 +，1 1 1 bn二一 (a n+bn)-(a n-bn)= -n + .10.已知等差数列an前三项的和为-3,前三项的积为8.(1) 求数列an的通项公式.(2) 若a2,a 3,a 1成等比数列,求数列|a n|的前n项和S.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,贝卩 a2=a1+d,a3=a1+2d.+ 日宀/曰+ 3d = 3由题意得.I為(ar + 也丿他1 + 2d) = 3,o 1=2>j(严 jj解得_刁或曲吒(圧3,3 = 3.所以由等差数列通项公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5 或 an=-4+3(n-1)=3n-7.故 an=-3n+5 或 an=3n-7.(2)当an=-3n+5时,a 2,a 3,a 1分别为-1,-4,2,不成等比数列;当an=3n-7时砂砂砂分别为-1,2,-4,成等比数列，满足条件.f3n + 7 , n = 乙故|a n|=|3n-7|= _I3nji > 3.记数列|a n|的前n项和为Sn.当 n=1 时,Si=|ai|=4;当 n=2时,S2=|a i|+|a 2|